Triângulo retângulo

Na geometria euclidiana , um triângulo é um triângulo do qual um dos ângulos é certo . Os outros dois ângulos são então complementares , de medida estritamente inferior. O lado oposto ao ângulo reto é então chamado de hipotenusa . Os outros dois lados, adjacentes ao ângulo reto, são chamados de cateteres .

A hipotenusa é então o lado mais longo do triângulo e seu comprimento está relacionado aos dos outros dois lados pelo teorema de Pitágoras . Essa relação é até mesmo característica de triângulos retângulos. No caso de triângulos de lados inteiros, isso leva à definição de triplos pitagóricos .

Propriedades características

Teorema de Pythagore

O teorema de Pitágoras afirma que, em um triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois comprimentos dos lados do ângulo reto, ou seja, se um triângulo ABC for retângulo em C , então . NOB2=VSNO2+VSB2{\ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2}}

Por outro lado, qualquer triângulo ABC verificando a igualdade anterior é um direito triângulo C .

Área

Como um triângulo retângulo pode ser realizado como a metade de um retângulo gerado pelas duas linhas, a área de um triângulo retângulo é igual à metade do produto dos comprimentos desses dois lados.

Por outro lado, se a área de um triângulo é o produto dos comprimentos de dois lados divididos por 2, então esse triângulo é retângulo com o vértice comum a esses lados.

Círculo circunscrito

Se um triângulo for retângulo, o ponto médio da hipotenusa é equidistante dos três vértices, ou seja, é o centro do círculo circunscrito , ou mesmo que a mediana resultante do ângulo reto tenha metade do comprimento da hipotenusa.

Por outro lado, qualquer ponto de um círculo forma um triângulo retângulo com as extremidades de um diâmetro desse círculo.

Esta equivalência pode ser vista como um caso especial do teorema do ângulo central  : o ângulo inscrito é reto se e somente se o ângulo central for plano.

Alturas

A altura resultante do ângulo reto de um triângulo retângulo tem propriedades características, uma das quais aparece nas primeiras páginas do livro de René Descartes , Geometria .

Em qualquer triângulo ABC, onde H é o pé da altura de C.

• Se o triângulo estiver certo em C, então:
  • H pertence a [AB] e CH 2 = HA × HB;
  • H pertence a [AB] e AC 2 = AH × AB;
  • H pertence a [AB] e BC 2 = BH × AB;
  • CH × AB = CA × CB.
• Por outro lado, um triângulo no qual uma dessas quatro propriedades é realizada é um retângulo C.

As três primeiras propriedades são deduzidas da observação dos três triângulos semelhantes ABC, CBH e ACH. A quarta consiste em escrever a área do triângulo retângulo considerando sucessivamente BC e BA como base.

Os recíprocos usam as mesmas ferramentas: as primeiras igualdades traduzem relações iguais e a presença de um ângulo reto ou de um ângulo comum confirma a presença de triângulos semelhantes. portanto, alguns são retângulos.

O ortocentro de um triângulo retângulo é obviamente o vértice onde está o ângulo reto.

Em um triângulo retângulo, a altura resultante do ângulo reto, tem um comprimento HC igual à soma dos raios dos círculos inscritos respectivamente no triângulo retângulo inicial ABC e os dois triângulos retângulos delimitados pela altura. Se chamarmos de r o raio do círculo inscrito no triângulo ABC, r 1 o do círculo inscrito no triângulo AHC, r 2 o do círculo inscrito no triângulo BHC eh a altura CH , temos:

h=r+r1+r2{\ displaystyle h = r + r_ {1} + r_ {2}}

A altura h , os raios r , r 1 e r 2 estão ligados pelas relações: ehr1=nor{\ displaystyle {\ frac {h} {r_ {1}}} = {\ frac {a} {r}}}hr2=br{\ displaystyle {\ frac {h} {r_ {2}}} = {\ frac {b} {r}}}

r2=r12+r22{\ displaystyle r ^ {2} = r_ {1} ^ {2} + r_ {2} ^ {2}}

e

r1b=r2no=rvs{\ displaystyle {\ frac {r_ {1}} {b}} = {\ frac {r_ {2}} {a}} = {\ frac {r} {c}}}.

Bisector

Em qualquer triângulo retângulo, as bissetoras se encontram em um ponto O centro do círculo inscrito no triângulo. O raio deste círculo inscrito é igual ao meio perímetro menos a hipotenusa (ver diagrama), ou seja, com as mesmas notações:

r = AB + BC + CA/2- AB .

Encontramos o teorema de Carnot , que se aplica ao triângulo retângulo em C, dá, sendo r o raio do círculo inscrito, e R =AB/2 o do círculo circunscrito:

CA + CB/2= r + R e   CA + CB = AB + 2 r

O raio r do círculo inscrito também é igual a duas vezes a área do triângulo dividido pelo perímetro.

Casos especiais

Esses triângulos são únicos, exceto pela semelhança.

Retângulo de triângulo isósceles

O meio-quadrado é um triângulo retângulo isósceles. Seus dois ângulos agudos medem 45 °, e a relação entre sua hipotenusa e cada um de seus cateteres é de √ 2 .

Triângulo 3-4-5

O triângulo 3-4-5 é um triângulo cujos lados medem 3, 4 e 5 unidades, respectivamente. Este é o triângulo retângulo de todos os lados com a hipotenusa mínima e o único triângulo cujos comprimentos laterais seguem uma progressão aritmética. Esta forma é usada para obter um ângulo reto usando a corda de 13 nós .

Triângulo de Kepler

O triângulo Kepler é o único triângulo angular cujos comprimentos laterais seguem uma progressão geométrica. A razão para essa progressão é a raiz quadrada da proporção áurea .

Meio triângulo equilateral

O meio triângulo equilátero tem ângulos de 90 °, 60 ° e 30 °. É o único triângulo retângulo cujos ângulos seguem uma progressão aritmética.

Formulários

Decomposição

Qualquer triângulo não plano pode ser decomposto em dois triângulos retângulos admitindo como lado comum uma altura interna (por exemplo, aquela resultante de um vértice de ângulo máximo).

Este princípio torna possível reduzir os problemas de ladrilho por polígonos a problemas de ladrilho por triângulos retângulos.

Componentes em um sistema de coordenadas ortonormal

Em um sistema de coordenadas ortonormal , se um ponto M se projeta ao longo de H no eixo e ao longo de I no eixo , então OHM e OMI são triângulos retângulos. (O,eu→,ȷ→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ imath}}, {\ vec {\ jmath}})}(O,eu→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ imath}})}(O,ȷ→){\ displaystyle (O, {\ vec {\ jmath}})}

Trigonometria no triângulo retângulo

Um triângulo retângulo tem um ângulo reto e dois ângulos agudos , pelo menos na geometria euclidiana ( em uma esfera , existem triângulos com dois e até três ângulos retos).

Dois triângulos retângulos tendo um de seus ângulos não retos são semelhantes  : a proporção de dois dos lados do triângulo retângulo, portanto, depende apenas de um ângulo não reto. Esta propriedade permite introduzir as funções trigonométricas para um ângulo agudo não orientado, cuja medida está, em graus entre 0 e 90 ° (ou em radianos, entre 0 e π / 2). Por exemplo, para um triângulo ABC à direita em C:

• o cosseno do ângulo α é a razão do lado do ângulo reto adjacente a α pela hipotenusa , ou seja, cos (α) = AC / AB  ;
• o seno do ângulo α é a razão do lado do ângulo reto oposto a α pela hipotenusa, ou seja, sin (α) = BC / AB  ;
• a tangente do ângulo α é a razão do lado do ângulo reto oposto a α por lado do ângulo reto adjacente a α, tan (α) = BC / AC .

Triângulo pitagórico

Um triângulo retângulo cujos três lados são medidos por números inteiros (para a mesma unidade de medida) é chamado de triângulo pitagórico. Pelo teorema de Pitágoras , os comprimentos dos três lados de um triângulo pitagórico fornecem um triplo pitagórico , que é um tripleto de inteiros diferentes de zero ( x , y , z ) satisfazendo x 2 + y 2 = z 2 . Pelo contrário do mesmo teorema, um tripleto pitagórico torna possível construir um triângulo pitagórico.

Em particular, para qualquer número inteiro n maior ou igual a 3, podemos construir um triângulo retângulo cujo comprimento de um lado do ângulo reto é medido por este número n , os outros dois lados sendo medidos por números inteiros:

• Se n for um número par, n = 2 k , é suficiente tomar o comprimento do outro lado do ângulo reto igual a k 2 - 1. A hipotenusa tem então um comprimento igual a k 2 +1.
• Se n for um número ímpar, n = 2 k + 1, é suficiente tomar o comprimento do outro lado do ângulo reto igual a 2 k 2 + 2 k . A hipotenusa tem então um comprimento igual a 2 k 2 + 2 k + 1.

Sabemos como descrever de maneira mais geral todos os trigêmeos e, portanto, todos os triângulos pitagóricos. Fermat demonstrou que nenhum deles poderia ter um quadrado perfeito para área.

Espiral de Teodoro

A espiral de Teodoro é composta por uma série de triângulos retângulos, cada um admitindo um cateter de comprimento 1 e o outro definido pela hipotenusa do triângulo precedente. O triângulo inicial é isósceles à direita. A sequência de comprimentos das hipotenusas é composta pelas raízes quadradas dos números naturais. Esta espiral é nomeada em homenagem a Teodoro de Cirene, que teria demonstrado que as raízes quadradas dos primeiros inteiros (exceto quadrados perfeitos) eram irracionais .

Generalizações

Tetraedro triangular

Um tetraedro é considerado um trirretângulo se três de suas faces forem triângulos retângulos no mesmo vértice. O teorema de Gua então generaliza o teorema de Pitágoras estipulando que o quadrado da área da última camada é a soma dos quadrados das áreas das outras três.

Triângulo retângulo esférico

Na geometria não euclidiana , um triângulo retângulo esférico pode ter dois ou três ângulos retos.

Notas e referências

1. Se excluirmos a possibilidade de que dois vértices se confundam, um triângulo não pode admitir dois ângulos retos e um ângulo zero.
2. propriedade característica às vezes atribuída a Thales .
3. "  Relações métricas no triângulo retângulo  " , em alloprof.qc.ca .
4. Joseph Casimir Pascal, curso de geometria elementar , bacharel,1835, 367  p. ( leia online ).

Veja também

• Triângulo agudo
• Triângulo obtuso
• Retângulo especial do triângulo  (pol)