A impredicatividade é um termo do campo da matemática , da lógica , da teoria dos conjuntos e da teoria dos tipos . Diz-se que existe impredicabilidade “quando um objeto fala por si”. Uma definição é imprevisível se o objeto definido intervém na própria definição.
O paradoxo de Russell é um famoso exemplo de impredicatividade que leva a uma contradição: ele introduziu "o conjunto de todos os conjuntos que não se contêm" (por "conter" entende-se "elementos")
Em reação a este paradoxo e a outros, Henri Poincaré e Bertrand Russell enunciaram o “princípio do círculo vicioso ” ou a petição de princípio . No entanto, todo uso de impredicatividade não leva necessariamente a uma contradição.
A rejeição de objetos definidos imprevisivelmente, ao mesmo tempo em que aceita números naturais (um número natural é zero ou o sucessor de um número natural), levou à posição conhecida como predicativismo, defendida por Poincaré e Hermann Weyl. Em Das Kontinuum , Poincaré e Weyl defendem que o definições impredicativas são problemáticas apenas quando os conjuntos envolvidos são infinitos.
Frank Ramsey argumenta que algumas definições imprevisíveis podem ser inofensivas: por exemplo, a definição de "pessoa mais alta na sala" é imprevisível porque depende de um conjunto de objetos dos quais o resultado faz parte. Outro exemplo é “o maior limite inferior”.
O sistema F é o arquétipo dos sistemas impredicativos , de fato a expressão ∀α.B define um tipo por quantização em todos os tipos α . No entanto, tem se mostrado consistente.
Burgess (2005) discute em detalhes o impredicativo predicativo e as teorias no contexto da lógica de Frege , da aritmética de Peano , da aritmética de segunda ordem e da teoria dos conjuntos .
Em matemática, a definição de uma função pode ser imprevisível e, portanto, ser definida chamando a si mesma. Isso pode fornecer um algoritmo para calcular a função. Isso é amplamente utilizado na ciência da computação. Isso geralmente é feito por indução em inteiros dando um valor para 0 e definindo o valor para n + 1 de valores de 0 a n. Isso está de acordo com a definição computacional da função considerada pelo algoritmo. Para um exemplo simples, definimos a adição em aritmética de uma forma imprevisível por: x + 0 = x e x + S (y) = S (x + y), onde S (x) é o sucessor de x nos inteiros (intuitivamente x + 1).