Condição Samuelson

A condição Samuelson , enunciada por Paul Samuelson , diz que a produção ótima de bem público puro requer igualdade entre a soma das taxas marginais de substituição e a taxa de transformação dos produtos .

Formalização matemática

Tanto o bem público quanto ( ) os bens privados. A função de produção na forma implícita é dada pela seguinte expressão: onde é a quantidade produzida do bem j. ${\ displaystyle q_ {o}}$ $q _ {{j}}$ ${\ displaystyle j = 1,2, \ ldots, m}$ ${\ displaystyle \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q }} _ {m}) = 0}$ ${\ displaystyle {\ hat {q}} _ {j}}$

As funções utilitárias são:

{\ displaystyle u_ {i} (q_ {o}, q_ {i1}, q_ {i2}, \ ldots, q_ {im}) \ qquad i = 1,2, \ ldots, h}

onde está a quantidade do bem j consumido pelo indivíduo i. Não há índice i para a quantidade consumida do bem público porque é a mesma para todos. Por outro lado, cada indivíduo consome uma quantidade de bem privado que depende de suas preferências e de sua renda. ${\ displaystyle q_ {ij}}$

Um estado de máximo retorno social pode ser obtido maximizando a utilidade do primeiro consumidor sob as restrições usuais. O Lagrangiano é:

{\ displaystyle L = u_ {1} (q_ {o}, q_ {11}, q_ {12}, \ ldots, q_ {1m}) + \ sum _ {i = 2} ^ {h} \ lambda _ { i} (u_ {i} -u_ {i} ^ {o}) + \ sigma \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) + \ mu _ {o} (q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o}) + \ sum _ {j = 1} ^ {m} \ mu _ {j} (q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alpha j})}

onde estão os multiplicadores de Lagrange e é o estoque do bem j. ${\ displaystyle \ lambda _ {i}, \ sigma, \ mu _ {j}}$ ${\ displaystyle q_ {j} ^ {o}}$

As condições do primeiro pedido são:

{\ displaystyle (1) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {o}}} = \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} \ lambda _ {\ alpha} {\ frac { \ parcial u _ {\ alpha}} {\ partial q_ {o}}} - \ mu _ {o} = 0 \ qquad (\ lambda _ {1} = 1)}

{\ displaystyle (2) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial q _ {\ alpha j}}} = \ lambda _ {\ alpha} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} { \ parcial q _ {\ alpha j}}} - \ mu _ {j} = 0 \ qquad \ qquad \ quad \ alpha = 1,2, \ ldots, h \ quad; \ quad j = 1,2, \ ldots , m}

{\ displaystyle (3) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} = \ sigma {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial {\ hat {q}} _ {s}}} + \ mu _ {s} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad s = 0,1, \ ldots, m}

{\ displaystyle (4) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ lambda _ {i}}} = u_ {i} -u_ {i} ^ {o} = 0 \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \; i = 2,3, \ ldots, h}

{\ displaystyle (5) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ sigma}} = \ varphi ({\ hat {q}} _ {o}, {\ hat {q}} _ {1} , {\ hat {q}} _ {2}, \ ldots, {\ hat {q}} _ {m}) = 0}

{\ displaystyle (6) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {o}}} = q_ {o} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {o} -q_ {o} = 0}

{\ displaystyle (7) \ qquad {\ frac {\ partial L} {\ partial \ mu _ {j}}} = q_ {j} ^ {o} + {\ hat {q}} _ {j} - \ soma _ {\ alpha = 1} ^ {h} q _ {\ alpha j} = 0}

Ao eliminar os multiplicadores de Lagrange, obtém-se:

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q_ {o}}} {\ frac {\ partial u _ { \ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}}} = {\ frac {\ varphi _ {o}} {\ varphi _ {j}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ {\ alpha j}}} {\ frac {\ partial u _ {\ alpha}} {\ partial q _ { \ alpha s}}}} = {\ frac {\ varphi _ {j}} {\ varphi _ {s}}}}

Quando tomamos as três quantidades consumidas , e , podemos escrever: ${\ displaystyle q_ {o}}$ $q _ {{j}}$ ${\ displaystyle q_ {s}}$

{\ displaystyle \ sum _ {\ alpha = 1} ^ {h} TMS_ {oj} ^ {\ alpha} = TTP_ {oj}}

{\ displaystyle TMS_ {js} ^ {\ alpha} = TTP_ {js}}

A segunda relação, relativa aos bens privados jes, é idêntica à obtida na economia do bem-estar . As taxas de substituição marginal (MRS) devem ser iguais às taxas de transformação dos produtos (TTPs). A primeira relação nos dá a condição de otimalidade para o bem público. A soma das taxas marginais de substituição (entre o bem público e qualquer bem privado) de todos os consumidores deve ser igual à taxa de transformação dos produtos.

Bibliografia

Michael Pickhardt: Cinquenta anos após a “Teoria Pura das Despesas Públicas” de Samuelson: O que nos resta? In: Journal of the History of Economic Thought. 28, Nr. 4, 2006, S. 439–460.
Agnar Sandmo: Bens públicos. In: Steven N. Durlauf e Lawrence E. Blume (Eds.): The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Internet http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000245&edition=current#sec1 (edição online).
Paul Samuelson: The Pure Theory of Public Expenditure. In: The Review of Economics and Statistics. 36, Nr. 4, 1954, S. 387–389.

Veja também

Bens públicos