Boole Ring

Um anel booleano é um anel unitário ( E , +, •, 0, 1) em que cada elemento a satisfaz a relação a • a = a .

Resulta imediatamente da definição que um anel booleano é comutativo e que cada elemento é seu próprio oposto (calculando o quadrado de x + 1, depois o de x + y ).

Em um sentido que pode ser preciso, os anéis booleanos são álgebras booleanas apresentadas de outra forma. Passamos do anel booleano ( E , +, •, 0, 1) para a álgebra booleana ( E , ∨, ∧, ', 0, 1) definindo

• a∧b = ab
• a '= 1 - a
• a V b = a + b + a b

e vice-versa, com a primeira igualdade e por definição

• a + b = (a V b) ∧ (a 'V b') = a∧b 'V a'∧b.

Em particular, a adição dos anéis Boole é o exclusivo ou (ou XOR).

Para o mesmo polinômio, as operações primitivas da álgebra booleana levam às duas formas conjuntiva e disjuntiva normal , as do anel booleano à forma algébrica normal .

• Em um nível prático, o cálculo booleano é usado para o projeto de circuitos lógicos baseados em ET / AND, OR / OR, NON / NOT, NI / NAND ou NOR, cálculos em que o uso de EXCLUSIVE OR / XOR é difícil , enquanto o anel booleano apresenta ET / AND e EXCLUSIVE OR / XOR e expressa claramente as chaves de paridade. Esses dois sistemas equivalentes, portanto, tendem a abordar tecnologias diferentes.

• Matematicamente, o anel booleano permite a transição entre a computação booleana tradicional, Galois CG (2) e aplicações para códigos de detecção / correção de erros.

Referências

1. Roman Sikorski, álgebras booleanas , Springer-Verlag ,1969, p. 52-54.
2. Jean Kuntzmann, Álgebra de Boole , Dunod ,1968,?.