A aritmética é um ramo da matemática que é a ciência dos números .
A aritmética limita-se a iniciar o estudo das propriedades dos números naturais , dos números inteiros e racionais (como frações ) e das propriedades das operações sobre esses números. As operações aritméticas tradicionais são adição , divisão , multiplicação e subtração . Essa disciplina foi então ampliada com a inclusão do estudo de outros números como os reais (na forma de expansão decimal ilimitada), ou ainda de conceitos mais avançados, como a exponenciação ou a raiz quadrada . Uma aritmética é uma forma de representar formalmente - isto é, "código" - os números (na forma de uma lista de números, por exemplo); e (graças a esta representação) definir as operações básicas: adição, multiplicação, etc.
A etimologia da palavra aritmética é baseada no grego antigo ἀριθμός ( arithmos ), que significa número .
A origem da aritmética parece ser uma invenção fenícia . Na escola pitagórica na segunda metade do VI º século aC. AD , a aritmética era, junto com a geometria , astronomia e música , uma das quatro ciências quantitativas ou matemáticas ( Mathemata ). Estes foram agrupados em sete artes liberais por Marciano Capella ( V th século) e, mais precisamente designado como o quadrivium por Boethius . As outras três disciplinas eram literárias ( gramática , retórica , dialética ) e foram objeto da obra de Cassiodoro e, posteriormente, de Alcuíno que lhes deu o nome de trivium .
O termo "aritmética elementar" às vezes se refere à forma mais básica de matemática, aprendida na escola primária . Este é essencialmente o estudo de números e operações elementares ( subtração , adição , divisão , multiplicação ).
Este termo também se refere aos conceitos básicos de técnicas aritméticas. As ferramentas utilizadas são a divisão euclidiana , o lema de Euclides , o teorema de Bachet-Bézout ou o teorema fundamental da aritmética . Eles nos permitem demonstrar teoremas como o pequeno teorema de Wilson ou Fermat .
Este segundo significado do termo é tratado no artigo detalhado.
Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) estuda o conjunto de classes de congruência de inteiros relativos módulo de um determinado inteiro . Cada classe corresponde a um resto da divisão euclidiana por esse inteiro, e o conjunto é naturalmente fornecido com uma adição e uma multiplicação.
O estudo dessa estrutura é denominado aritmética modular. Torna possível generalizar os resultados da aritmética elementar. O teorema de Euler , correspondendo a um resultado mais forte do que o pequeno teorema de Fermat, ilustra uma generalização.
A aritmética modular é usada em criptologia ou para a construção de códigos corretivos em ciência da computação .
Muitas perguntas ficam sem resposta, mesmo com técnicas aritméticas modulares. Os exemplos vêm de equações diofantinas , ou seja, de equações cujos coeficientes são inteiros e cujas soluções desejadas são inteiros. Um método consiste em estender o conjunto de inteiros para uma nova estrutura chamada de anel de inteiros algébricos , como a dos inteiros gaussianos .
O estudo dessas estruturas, mais gerais do que os da aritmética modular que se limita aos anéis euclidianos , constitui o primeiro capítulo da teoria algébrica dos números .
O estudo da aritmética, no sentido de inteiros, supõe o estabelecimento de teoremas. Esses teoremas são demonstrados usando técnicas que não se limitam a números inteiros. É possível fazer uso da mesma abordagem em outras estruturas, como a de polinômios . Através do estudo de polinômios ciclotômicos , Gauss consegue encontrar um novo polígono regular construtível com régua e compasso , de 17 lados.
Sua abordagem é aritmética , por isso falamos de aritmética polinomial.
A totalidade dos números foi subdividida em vários conjuntos . Os mais famosos são:
Alguns desses conjuntos são subconjuntos de outros; todos os elementos de também pertencem a , por exemplo. Mas, inversamente, um elemento de não é necessariamente um elemento de . Estes conjuntos podem ser representados por círculos concêntricos: o menor é seguido , , , e .
É possível considerar apenas parte de um conjunto. Assim, denotamos o conjunto de números positivos de . Da mesma forma, denotamos o conjunto privado de 0. Notamos, entre outras coisas, isso e aquilo (trata-se de “privado de” ).
Muitos inteiros têm propriedades especiais. Essas propriedades são o assunto da teoria dos números . Entre esses números particulares, os números primos são indiscutivelmente os mais importantes.
Este é o caso dos chamados números primos . Esses são os números naturais que têm apenas dois divisores positivos distintos, a saber, 1 e eles próprios. Os primeiros dez números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. O inteiro 1 não é primo porque não tem dois divisores positivos distintos, mas apenas um, a saber, ele mesmo. Existe uma infinidade de números primos. Completando uma grade de tamanho 10 × 10 com os primeiros 100 inteiros naturais diferentes de zero e riscando aqueles que não são primos, obtemos os números primos pertencentes a {1, ..., 100} por um processo chamado peneira de Eratóstenes , em homenagem ao estudioso grego que o inventou .
Os números naturais podem ser divididos em duas categorias: pares e ímpares .
Um número inteiro par é um múltiplo de 2 e, portanto, pode ser escrito com . Um número ímpar não é um múltiplo de 2 e pode ser escrito com .
Mostramos que qualquer número inteiro é par ou ímpar, e isso para um único : denotamos .
Os primeiros seis inteiros pares são 0, 2, 4, 6, 8 e 10. Os primeiros seis inteiros ímpares são 1, 3, 5, 7, 9 e 11.