Círculo de Euler

Em geometria , o círculo de Euler de um triângulo (também chamado de círculo de nove pontos , círculo de Feuerbach , círculo Terquem , círculo do meio ) é o único círculo através dos nove seguintes pontos notáveis:

Os três pontos médios dos três lados do triângulo; $I_ {i}$
O pé de cada uma das três alturas do triângulo; $Oi$
O ponto médio de cada um dos três segmentos que conectam o ortocentro H a um vértice do triângulo. $J_ {i}$

Descoberta

Em 1821, os matemáticos franceses Brianchon e Poncelet juntos demonstraram que os pontos médios dos lados e os pés das alturas do triângulo são cocíclicos: destacam assim a existência de um círculo que passa por esses seis pontos notáveis. No ano seguinte, o resultado foi redescoberto pelo agrimensor alemão Feuerbach . O círculo de Euler também é chamado de círculo de Feuerbach. Além disso, ainda em 1822, ele demonstrou que o círculo dos nove pontos é tangente externamente aos círculos inscritos e tangente internamente ao círculo inscrito do triângulo. Esse resultado é chamado de teorema de Feuerbach e adiciona quatro novos pontos notáveis: os pontos de contato, chamados de pontos de Feuerbach .

A partir daí, Terquem demonstrou que outros três pontos pertencem a esse círculo: os pontos médios dos segmentos formados pelos vértices do triângulo e o ortocentro. Em 1842, Terquem forneceu uma segunda prova do teorema de Feuerbach. Uma terceira prova geométrica foi fornecida em 1854.

Desde então, algumas dezenas de outros pontos notáveis do triângulo foram adicionados à lista de pontos do círculo.

Demonstração geométrica

O quadrilátero é um trapézio porque é paralelo a . Este trapézio é isósceles porque, de acordo com o teorema de Tales no triângulo , é a metade de . Agora é o mesmo com a mediana do triângulo retângulo . Agora, um trapézio isósceles pode ser escrito em um círculo. Daqui resulta que os pontos , , e são cíclicos. O mesmo é verdade para os outros pontos . ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} I_ {2} H_ {1}}$ ${\ displaystyle (I_ {2} I_ {3})}$ ${\ displaystyle (BC) = (I_ {1} H_ {1})}$ $(ABC)$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {2}}$ $AB$ ${\ displaystyle H_ {1} I_ {3}}$ ${\ displaystyle ABH_ {1}}$ $I_1$ $I_ {2}$ $I_ {3}$ $H_ {1}$ $Oi$
O ângulo está certo. O mesmo é verdade para o ângulo porque é paralelo a e, de acordo com o teorema de Tales no triângulo , é paralelo a , que é perpendicular a . Como resultado, os dois triângulos e são rectângulos, assim chamados no diâmetro de círculo e, portanto, os pontos , , e são cíclicos. Os três primeiros sendo elementos do círculo de Euler, é o mesmo com . O mesmo raciocínio se aplica aos outros pontos . ${\ displaystyle I_ {1} H_ {1} J_ {1}}$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {3})}$ $(AC)$ ${\ displaystyle ABH}$ ${\ displaystyle I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle (BH)}$ $(AC)$ ${\ displaystyle I_ {1} H_ {1} J_ {1}}$ ${\ displaystyle I_ {1} I_ {3} J_ {1}}$ ${\ displaystyle [I_ {1} J_ {1}]}$ $I_1$ $I_ {3}$ $H_ {1}$ $J_ {1}$ $J_ {1}$ $J_ {i}$

Prova de homotetia

O círculo dos nove pontos de Euler é homotético do círculo circunscrito ao triângulo em duas homotetias:

a homotetia do centro G e razão $- 1 / 2$ : permite configurar a linha e o círculo de Euler.

a homotetia do centro H e razão $1 / 2$ : permite encontrar os nove pontos do círculo de Euler como pontos correspondentes do círculo circunscrito.

A homotetia do centro G

Denote por I 1 o ponto médio de [ BC ], I 2 o ponto médio de [ AC ] e I 3 o ponto médio de [ AB ]. A homotetia do centro G e razão $- 1 / 2$ transforma o triângulo no triângulo mediano e o círculo circunscrito ao círculo circunscrito a : este último círculo é precisamente o círculo de Euler . $(ABC)$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$ $(ABC)$ ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$

Seja H o ponto alinhado com G e O , seja a homotetia com centro G e razão $- 1 / 2$ se transforma em O : então H é o ortocentro do triângulo ABC . Na verdade, seja A 1 simétrico de A em relação a O e considere o triângulo AHA 1 : G é o seu centro de gravidade desde em $2 / 3$ da linha que une o vértice H ao ponto O , ponto médio do lado AA 1 ; AG é outra mediana; I 1 é, portanto, o ponto médio de HA 1 , as linhas ( OI 1 ) e ( AH ) são, portanto, paralelas, e . Uma vez que ( OI 1 ) é ortogonal a ( BC ) pela construção do círculo circunscrito ao triângulo ABC , a linha ( AH ) é uma altura dele, assim como ( BH ) e ( CH ) por raciocínio idêntico. ${\ displaystyle {\ overrightarrow {OI_ {1}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ overrightarrow {AH}}}$

Homotetia do centro H

A homotetia do centro H e razão $1 / 2$ , transforma A 1 em I 1 , da mesma forma que os pontos I 2 e I 3 são as imagens de dois pontos do círculo circunscrito. O círculo de Euler circunscrito ao triângulo é a imagem do círculo circunscrito a , na homotetia com centro H e razão ${\ displaystyle (I_ {1} I_ {2} I_ {3})}$ $(ABC)$ $1 / 2$ .

Denotamos por K 1 , o ponto de intersecção (diferente de A ) da altura ( AH 1 ) com o círculo circunscrito. Sendo o segmento [ AA 1 ] um diâmetro, o triângulo AK 1 A 1 , inscrito em um semicírculo, é um retângulo. As retas ( BC ) e ( K 1 A 1 ), perpendiculares à altura ( AH 1 ), são paralelas. A linha ( I 1 H 1 ) passa pelo ponto médio I 1 de [ HA 1 ], é a linha dos pontos médios de HA 1 K 1 , H 1 é portanto o ponto médio de [ HK 1 ]. Sendo a reta ( HK 1 ) perpendicular a ( BC ), K 1 é a simétrica de H em relação a ( BC ).

As simétricas do ortocentro em relação aos lados do triângulo estão localizadas no círculo circunscrito ao triângulo.

Ponto H 1 é o ponto médio de [ HK 1 ], de modo que a imagem de K 1 pelo centro homothety H . Como K 1 está localizado no círculo circunscrito, H 1 está no círculo de Euler.

Os pés das alturas estão localizados no círculo de Euler.

A homotetia com centro H transforma os vértices do triângulo nos pontos médios dos segmentos [ AH ], [ BH ] e [ CH ] que são os três pontos de Euler K 1 , K 2 , K 3 localizados no círculo.

Foi o matemático Leonhard Euler quem primeiro notou que em qualquer triângulo ( ABC ) o centro de gravidade G , o centro do círculo circunscrito Ω e o ortocentro H estão alinhados. (Precisamente, a homotetia do centro G e razão $- 1 / 2$ transforma H em O. )

Algumas propriedades

Mostramos, usando a homotetia introduzida no primeiro parágrafo, que:

O raio do círculo de Euler é a metade do raio do círculo circunscrito.

Seu centro, ou seja , está à direita de Euler , temos: $\Ómega$

${\ displaystyle {\ overline {GH}} = - 2 {\ overline {GO}}}$ e ${\ displaystyle {\ overline {G \ Omega}} = - {1 \ over 2} {\ overline {GO}}}$

o que é inferido que em um triângulo, o centro do círculo de Euler , é o ponto médio de [ HO ], segmento que une o ortocentro H no circuncentro ó . $\Ómega$

Deduzimos dessas relações que os pontos estão em divisão harmônica : ${\ displaystyle (O, \ Omega, G, H)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ overline {GO}} {\ overline {G \ Omega}}} = - {\ frac {\ overline {HO}} {\ overline {H \ Omega}}}}$

o círculo de Euler é o círculo circunscrito ao triângulo mediano (formado pelos pontos médios dos lados) e ao triângulo ortic (formado pelos pés das alturas).
qualquer hipérbole equilátero que passa pelos três vértices tem seu centro no círculo de Euler, em particular a hipérbole de Kiepert , Jeřábek e Feuerbach . Este é o teorema cônico de Feuerbach .
O círculo de Euler é tangente internamente ao círculo inscrito com ABC e tangente externamente aos círculos inscritos. Este é o teorema de Feuerbach .

Hexagrama de Pascal

Teorema - Em uma estrela de seis pontas de gravação lados opostos intersectam-se P , Q e R . Os pontos P , Q e R estão alinhados na linha de Pascal ( PQ ).

Os lados opostos do hexágono atravessar H 1 I 2 H 2 I 3 H 3 I 2 H 1 , inscrito no círculo intersectam Euler em P , Q e R .

Uma propriedade projetiva que Euler não tinha visto:

A direita Pascal do hexagrama é a linha de Euler do triângulo.

Generalização

O círculo Euler é um caso especial de secção cónica , quando foi considerado os três vértices A , B e C e sua ortocentro H . Esses quatro pontos formam um quadrilátero completo, mas acima de tudo um sistema ortocêntrico . Se considerarmos um quadrilátero completo que não é ortocêntrico, encontramos uma propriedade semelhante ao mostrar que há uma curva cônica passando pelas interseções das diagonais e pelos pontos médios dos seis lados do quadrilátero. A curva é uma elipse se H estiver dentro do ABC , e uma hipérbole se não estiver (é até equilátero se H estiver no círculo circunscrito do ABC ).

Veja também

Bibliografia

Jean-Denis Eiden, Classical analytical geometry, Calvage & Mounet, 2009 ( ISBN 978-2-91-635208-4 )

Notas e referências

Este triângulo retângulo está inscrito em um círculo de centro e raio . $I_ {3}$ ${\ displaystyle I_ {3} A = I_ {3} B = I_ {3} H_ {1}}$
Trajan Lalesco, A geometria do triângulo , Paris, Gabay,1987( 1 st ed. Vuibert - 1952), 120 p. ( ISBN 2-87647-007-1 )