Conectividade (matemática)

A conectividade é uma noção de topologia que formaliza o conceito de “objeto em uma peça”. Diz- se que um objeto está conectado se for feito de uma única "peça". Caso contrário, cada uma das peças é um componente conectado do objeto estudado.

Definição

Seja E um espaço topológico . As quatro proposições a seguir são equivalentes:

E não é a união de duas aberturas não vazias disjuntas ;
E não é a união de dois não-vazios disjuntos fechados ;
os únicos aberto-fechado de E são ∅ e E ;
qualquer mapa contínuo de E em um conjunto de dois elementos com a topologia discreta é constante.

Se uma dessas condições equivalentes for satisfeita, dizemos que o espaço E está conectado .

A última dessas quatro caracterizações é geralmente a mais conveniente de usar para demonstrar um resultado de conexão.

Uma parte X de um espaço topológico E é dita conectada se for um espaço conectado quando é fornecida com a topologia induzida .

Conectividade e números reais

As partes conectadas de ℝ são os intervalos .

Propriedades

A noção de conexão é claramente invariante pelos homeomorfismos .
Qualquer conjunto fornecido com sua topologia grosseira é conectado. Segue-se que o conjunto vazio está conectado, assim como qualquer espaço reduzido a um ponto .

União, interseção, adesão, produto

Se X e Y são duas partes conectadas de um espaço topológico, em geral a união e a interseção de X e Y não estão conectadas.

Por outro lado, a união das duas partes conectadas é conectada tão logo elas tenham um ponto comum (basta que uma das duas encontre a adesão da outra). De forma geral :

Para qualquer família (finita ou não) de partes conectadas cuja intersecção não seja vazia, a união é conectada.

Exemplos de aplicação:

qualquer parte conectada por arcos é conectada (como uma união dos caminhos nesta parte tendo todos a mesma origem fixa);
se for uma sequência de partes conectadas de forma que cada uma tenha um ponto em comum com a próxima, então a união é conectada (como uma reunião das quais, por indução, são conectadas). $(X_ {n}) _ {{n \ in \ mathbb {N}}}$ $(\ forall n \ in \ mathbb {N}, X_ {n} \ cap X _ {{n + 1}} \ neq \ varnothing)$ $\ cup _ {{n \ in \ mathbb {N}}} X_ {n}$ $Y_ {n}: = \ xícara _ {{k \ leq n}} X_ {k}$

Se A é uma parte conectada de E, então sua aderência A está conectada porque, mais geralmente, qualquer parte B de E tal que A ⊂ B ⊂ A está conectada.

Teorema de desalfandegamento: em um espaço topológico, qualquer parte relacionada, que atende tanto a parcela C e sua complementar corresponder necessariamente o limite de C .

Um produto de espaços não vazios é conectado se (e somente se) cada fator for. De forma mais geral, o espaço total de um feixe de base e fibra relacionada é conectado.

Componentes relacionados

Dado um ponto x de um espaço topológico E , a união de todas as partes conectadas contendo x é conectada. É a maior (no sentido da relação de inclusão) de todas as partes conectadas contendo x . É denotado por C x e é chamado componente conectado de x em E . Os componentes conectados dos pontos de E são, portanto, as partes conectadas máximas para inclusão (há apenas uma se o espaço estiver conectado). Eles formam uma partição de E ; ou seja: eles são a classe de relação de equivalência em E . Diz- se que dois pontos de E estão conectados se estiverem no mesmo componente conectado.

No mínimo, temos C x = { x }; isso significa que { x } é o único subconjunto conectado de E contendo x, mas não necessariamente que x é um ponto isolado (ver exemplos). Se C x = { x } para qualquer ponto x de E , dizemos que E é totalmente descontínuo . No máximo, temos C x = E ; este é o caso onde E está conectado.

Os componentes conectados estão sempre fechados, mas nem sempre abertos (eles estão se e somente se o espaço for sua soma topológica ); Contudo:

os componentes conectados de um espaço conectado localmente são abertos;
qualquer parte não vazia conectada que esteja fechada e aberta é um componente conectado.

Exemplos

ℝ * tem dois componentes conectados: ℝ + * e ℝ - *.
Mais geralmente, o grupo GL ( n , ℝ) de matrizes invertíveis de tamanho n tem duas componentes conectadas, dadas pelo sinal do determinante .
Em ℕ e mais geralmente em um espaço dotado de topologia discreta, os componentes conectados são os singletons.
Em ℚ, nenhum ponto é isolado, mas os componentes conectados também são singletons. O mesmo fenômeno ocorre em toda a Cantor . Estes são, portanto, exemplos de espaços totalmente descontínuos .
Qualquer abertura de ℝ está localmente conectada (porque ℝ é), portanto, é uma união ( portanto, uma reunião para o mais contável ) $\cup k \inκ I k$ de intervalos abertos não vazios disjuntos: seus componentes conectados. É, portanto, homeomórfico a ℝ × $κ$ (onde $κ$ é dotado de topologia discreta ).

Conectividade e continuidade

De acordo com a definição, um espaço está conectado quando sua imagem por um mapa contínuo nunca é o espaço discreto {0, 1}. No entanto, este último ( a fortiori ) não está conectado. De forma geral :

Qualquer imagem contínua de um relacionado está relacionada.

Isto quer dizer que, se E é um conexidade e f um mapeamento contínuo de E em um espaço F , então f ( E ) é um subconjunto conexo de F . De fato, se g é um mapa contínuo de f ( E ) no espaço discreto {0, 1}, então g ∘ f - contínuo no E conectado - é constante, portanto g é constante. Em particular :

isto fornece uma prova do fato de que qualquer caminho está conectado - o que corresponde ao caso em que E é um intervalo real - e do teorema dos valores intermediários (que é o caso particular de um caminho em ℝ) sob a condição de ter previamente provado que qualquer intervalo real é conectado, como indicado acima , sem usar este teorema;
cada quociente de um conectado está conectado.

Aplicações locais constantes

Definição - Um mapa f de um espaço topológico X em um conjunto Y é considerado localmente constante (en) em X se qualquer ponto de X tiver uma vizinhança na qual f é constante.

Uma função localmente constante em X não é necessariamente constante em X , mas é se o espaço X estiver conectado, como mostra o teorema a seguir.

Teorema - Se f é localmente constante em X quando ele é constante em cada componente conexa de X .

O inverso desse teorema é falso em geral (tome X = ℚ), mas verdadeiro se X estiver conectado localmente.

Duas aplicações fundamentais para análise

Para mostrar que uma propriedade é verdadeira para todos os pontos de uma parte que sabemos estar conectada, mostramos que o conjunto de pontos que a satisfaz é aberto e fechado.

Isso é o que é feito para o teorema da unicidade das soluções globais de uma equação diferencial e para o princípio da extensão analítica .

As aplicações são numerosas. A linha ℝ e o plano ℝ 2 não são homeomórficos: se fosse esse o caso, a linha privada de um ponto seria homeomórfica ao plano privado de um ponto. Mas o segundo espaço está conectado, o primeiro não.

O mesmo argumento mostra que o círculo S 1 não é homeomórfico a um intervalo.

Este argumento não se estende a dimensões superiores. Se quisermos mostrar, usando as mesmas idéias, que ℝ 2 e ℝ 3 não são homeomórficos, temos que introduzir a conexão simples (ou seja, a conexão por arcos do espaço da renda ). O resultado ainda é verdadeiro para as dimensões superiores , mas exige ferramentas mais poderosas como homologia para a demonstração .

Podemos citar também, como aplicação de conectividade, a análise do enigma das três casas . O objetivo deste enigma é conectar três pontos da planta identificados com casas a três outros, identificados com fornecedores (água, gás e eletricidade). Cada casa deve estar ligada aos três fornecedores e os links não devem se cruzar. A prova da impossibilidade de resolução é baseada no teorema de Jordan , que é expresso em termos de conectividade.

Em um grupo topológico G , o componente conectado da identidade, chamado de componente neutro (en) e observado G 0 , é um subgrupo distinto . Como qualquer componente conectado , G 0 é fechado em G e, além disso, aberto se G estiver conectado localmente (em particular se G estiver conectado localmente por arcos, em particular se G for um grupo de Lie ). O grupo quociente G / G 0 (fornecida com a topologia quociente ) é totalmente descontínua ; é discreto se e somente se G 0 estiver aberto.

A seguinte propriedade é muito útil para mostrar resultados de conectividade:

Seja G um grupo topológico e H um subgrupo. Se o grupo H e o espaço G / H estão conectados, então o próprio G está conectado.

Notas e referências

Esta propriedade é demonstrada no capítulo da Wikiversidade sobre conectividade ( veja abaixo ).
(in) Gregory Naber, Topologia, Geometria e Campos de Medição: Fundações , Springer ,2013( leia online ) , p. 81.
Veja, por exemplo, este exercício corrigido sobre a Wikiversidade .
(in) Markus Stroppel, Grupos Localmente Compactos , EMS ,2006( leia online ) , p. 55.
(en) O. Ya. Viro (en) , OA Ivanov, N. Yu. Netsvetaev e VM Kharlamov (de) , Topologia elementar , AMS ,2008( leia online ) , p. 192 e 201.

Veja também

Bibliografia

Georges Skandalis , topologia e análise 3 rd ano , Dunod , coll. "Sciences Sup", 2001
Claude Wagschal, Topologia e análise funcional , Hermann , col. "Métodos", 1995