Em matemática , um endomorfismo é um morfismo (ou homomorfismo) de um objeto matemático dentro de si mesmo. Assim, por exemplo, um endomorfismo do espaço vetorial E é um mapa linear f : E → E , e um endomorfismo do grupo G é um morfismo dos grupos f : G → G , etc. Em geral, podemos falar de endomorfismo de qualquer categoria .
Dado um objecto X de uma categoria C e dois endomorfismos de f e g de X (por conseguinte, de tipo X → X ), o composto de g por F , denotado f ∘ g , também é um endomorfismo de X (isto também tem o tipo X → X ). Como o mapa de identidade de X também é um endomorfismo de X , vemos que o conjunto de todos os endomorfismos de X forma um monóide , denotado por Fim C ( X ) ou simplesmente Fim ( X ) se a categoria for conhecida.
Em muitas situações, é possível adicionar endomorfismos, e com a composição das aplicações, os endomorfismos de um determinado objeto formam um anel , denominado anel de endomorfismos (en) do objeto. Isso é possível, por exemplo, nas categorias de grupos Abelianos , nos módulos , nos espaços vetoriais , e mais geralmente em todas as categorias de pré-aditivos (in) .
Um isomorfismo é um morfismo que tem um morfismo recíproco.
Um endomorfismo que também é um isomorfismo é denominado automorfismo .
Portanto, temos as seguintes implicações:
| automorfismo | ⇒ | isomorfismo |
| ⇓ | ⇓ | |
| endomorfismo | ⇒ | (homo) morfismo |