Espaço separado
Em matemática , um espaço separado , também chamado de espaço de Hausdorff , é um espaço topológico em que quaisquer dois pontos distintos sempre admitem vizinhanças disjuntas . Esta condição também é chamado axioma T 2 dentro dos axiomas de separação .
O nome se refere a Felix Hausdorff , um matemático alemão e um dos fundadores da topologia , que incluiu essa condição em sua definição original de espaço topológico.
Esta propriedade de separação equivale à unicidade do limite de qualquer filtro convergente (ou o que dá no mesmo: de qualquer sequência generalizada convergente).
Exemplos e contra-exemplos
Todo o espaço métrico é separado. De fato, dois pontos localizados a uma distância L um do outro admitem como vizinhanças disjuntas as bolas de raio L / 3 centradas em cada um deles.
Qualquer espaço discreto é separado, cada singleton constituindo uma vizinhança de seu elemento. Em particular, um espaço incontável discreto é separado e não separável .
A topologia do pedido associada a um pedido total é separada.
Exemplos de espaços não separados são dados por:
- qualquer conjunto tendo pelo menos dois elementos e fornecido com a topologia grosseira (sempre separável );
- qualquer conjunto infinito dotado da topologia co-finita (que, no entanto, satisfaz o axioma T 1 do espaço acessível );
- alguns espectros de anel fornecidos com topologia Zariski .
Propriedades principais
- Para qualquer função f com valores em um espaço separado e qualquer ponto a aderindo ao domínio de definição de f , o limite de f em a , se existir, é único. Esta propriedade é equivalente à exclusividade do limite de qualquer filtro convergente (ou qualquer sequência generalizada convergente) com valores neste espaço.
- Em particular, o limite de uma sequência de valores em um espaço separado, se existir, é único.
- Dois mapeamentos contínuos com valores separados que coincidem em uma parte densa são iguais. Mais explicitamente: se Y é separado, se f , g : X → Y são dois mapas contínuos e se existe uma parte densa D em X tal quetão
- Uma topologia mais precisa do que uma topologia separada é sempre separada.
- Qualquer subespaço de um espaço separado é separado.
- Um produto de espaços topológicos não vazios é separado se e somente se cada um deles for.
Por outro lado, um quociente de espaço de um espaço separado nem sempre é separado.
- X é separado se, e somente se, no espaço do produto X × X , a diagonal {( x , x ) | x ∈ X } está fechado .
- O gráfico de um mapa contínuo f : X → Y é fechado em X × Y assim que Y é separado. (De fato, a diagonal de Y é então fechada em Y × Y, portanto, o gráfico de f , imagem recíproca desta fechada pelo mapa contínuo f × id Y : ( x , y ) ↦ ( f ( x ), y ), é fechado em X × Y. ) “O” recíproco é falso, no sentido de que um mapeamento de grafo fechado não é necessariamente contínuo, mesmo que o espaço de chegada seja separado.
- X é separado se e somente se, para qualquer ponto x de X , a interseção das vizinhanças fechadas de x é reduzida ao singleton { x } (o que leva à separação T 1 : a interseção de todas as vizinhanças de x é reduzida em singleton).
Espaço localmente separado
Um espaço topológico X é separado localmente quando qualquer ponto de X admite uma vizinhança separada.
Esse espaço é sempre T 1, mas não é necessariamente separado ou mesmo apenas em um único limite sequencial . Podemos, por exemplo, considerar a linha real fornecida com sua topologia usual e adicionar um ponto 0 '(que clona o 0 real) cujas vizinhanças são as vizinhanças de 0 em que substituímos 0 por 0'. Nesse espaço, a sequência (1 / n ) converge tanto para 0 quanto para 0 '.
Notas e referências
- Para uma demonstração, veja por exemplo o .
- Considerando qualquer sequência como uma função definida em ℕ, ao qual o ponto é aderente em ℕ ∪ {+ ∞} dotado da topologia da ordem .
- É também uma consequência dos fatos (demonstrados no artigo Axioma da separação (topologia) ) que qualquer espaço separado é KC e todo espaço KC tem um limite sequencial único.
- Para uma demonstração, consulte, por exemplo, o .
