Dobra (material)

Em física ( mecânica ), a flexão é a deformação de um objeto sob a ação de uma carga. Isso resulta em uma curvatura. No caso de uma viga, ela tende a aproximar suas duas extremidades. No caso de um prato, ele tende a aproximar dois pontos diametralmente opostos sob a ação.

O teste de flexão de uma viga é um teste mecânico usado para testar a resistência à flexão. Utiliza-se a dobra conhecida como “  três pontos  ” e a dobra conhecida como “  quatro pontos  ”.

Na caldeiraria , a dobra de uma chapa é uma dobra para a qual queremos ultrapassar o limite elástico do material, para termos uma deformação definitiva ( deformação plástica ). Na maioria dos outros casos, ao contrário, buscam-se as condições necessárias para não ultrapassar o limite elástico, a fim de preservar a integridade da peça.

Caixa de uma viga

Na teoria do feixe , consideramos fibras, ou seja, pequenos cilindros de materiais gerados por uma porção dS e uma curva paralela à curva média (a “direção do feixe”); a curva média passa pelos centros de gravidade das seções retas (seções perpendiculares à curva média). As fibras localizadas para fora da flexão estão em extensão, estão sujeitas à tração . As fibras localizadas dentro da flexão estão em compressão .

A fibra gerada pela curva média é chamada de “fibra neutra”. Mantém o comprimento ao dobrar.

Posteriormente, salvo indicação em contrário, assumiremos que a viga é retilínea antes da dobra (a curva média forma uma linha reta) e que as seções são simétricas. Consideraremos inicialmente a flexão plana, ou seja, com cargas atuando em um plano de simetria da viga.

Deformação

Devido à hipótese de Bernoulli (durante a deformação, as seções planas perpendiculares à fibra média permanecem planas e perpendiculares à fibra média),

• a fibra neutra tem alongamento zero;
• as fibras fora da curva são esticadas;
• as fibras dentro da curva são comprimidas.

a deformação longitudinal ε varia linearmente em função de y .

Além disso, considerando uma viga reta, se chamarmos u y ( x ) de deflexão , ou seja, o deslocamento vertical do ponto da curva média localizado na abscissa x devido à flexão, temos, de acordo com a definição geral do raio curvatura  :

γ=1ρ≃d2vocêydx2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ rho}} \ simeq {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} }.

O gráfico u y ( x ) dá a forma da curva média, também chamada de “deformação da viga”.

Demonstração

Se considerarmos um elemento infinitesimal da viga, então as fibras formam arcos concêntricos de círculos com o mesmo ângulo dθ. Se ρ é o raio de curvatura da fibra neutra ( y = 0), então o comprimento l de um arco localizado em uma ordenada é igual a y :

eu=(ρ-y)⋅dθ=eu0⋅(1-yρ){\ displaystyle l = (\ rho -y) \ cdot \ mathrm {d} \ theta = l_ {0} \ cdot \ left (1 - {\ frac {y} {\ rho}} \ right)}

se l  0 é o comprimento inicial das fibras. Vemos que a deformação longitudinal

ε=Δeueu0=-yρ{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ Delta l} {l_ {0}}} = - {\ frac {y} {\ rho}}}

varia linearmente em função de y .

Esforços de coesão

Se considerarmos as forças de coesão (ver os artigos Teoria das vigas e torsor de coesão ), a flexão resulta dos momentos fletores M f y e M f z .

Vamos considerar aqui a convenção de esforços à direita.

Notamos que o valor da força de cisalhamento é a derivada do momento fletor em relação à posição x do ponto considerado:

T=-dMfzdx{\ displaystyle \ mathrm {T} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {d} x}}}.

O diagrama dos momentos fletores pode ser estabelecido pelo método funicular .

Restrições

Tensão normal para uma viga reta

Vamos considerar o caso de um momento fletor positivo M f z ; no plano (G xy ), as fibras são concêntricas, o centro O está localizado para cima. O comprimento do arco é proporcional ao raio, ou seja, varia linearmente em função da abcissa aí considerada. Da mesma forma, a tensão normal à seção varia linearmente de acordo com y e encontramos:

σxx=-MfzeuGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y }.

onde I G z é o momento quadrático do eixo (G z ), calculado de acordo com a forma da seção transversal.

Demonstração

Como o comprimento das fibras, o alongamento relativo ε é proporcional a y  :

ε(y)=-yρ{\ displaystyle \ varepsilon (y) = - {\ frac {y} {\ rho}}}

portanto, de acordo com a lei de Hooke , a tensão também varia linearmente:

σxx(y)=E⋅ε(y)=-Eρ⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} (y) = \ mathrm {E} \ cdot \ varepsilon (y) = - {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y},

a quantidade E / ρ sendo determinada. Um pequeno elemento de superfície dS recebe uma força dF de

dF=σxx⋅dS→⋅x→=-Eρ⋅y⋅dS⋅x→{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathrm {F} = \ sigma _ {xx} \ cdot {\ vec {\ mathrm {dS}}} \ cdot {\ vec {x}} = - {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {x}}}.

O momento dM f z desta força em relação ao ponto G (0,0,0), portanto pertencente à reta média, vale:

dM→fz=y→∧dF→=Eρ⋅y2⋅dS⋅z→{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm {M}}} _ {\ mathrm {f} z} = {\ vec {y}} \ wedge \ mathrm {d} {\ vec {\ mathrm { F}}} = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot y ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS} \ cdot {\ vec {z}}}

O momento fletor resulta de todos esses momentos e, integrando-se na seção reta, encontramos:

Mfz=Eρ⋅euGz{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} = {\ frac {\ mathrm {E}} {\ rho}} \ cdot \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}

com

euGz=∫Sy2⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} = \ int _ {\ mathrm {S}} y ^ {2} \ cdot \ mathrm {dS}}

Então temos:

Eρ=MfzeuGz{\ displaystyle {\ frac {E} {\ rho}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} }}

é

σxx(y)=-MfzeuGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} (y) = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y}.

O risco de quebra está na face estendida da viga. Se chamarmos -V de ordenada do ponto localizado nesta face, a restrição vale:

σxx mnox=MfzeuGz⋅V=MfzeuGzV{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} }} \ cdot \ mathrm {V} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ frac {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {V}}}}}.

A quantidade I G z / V é chamada de “módulo de flexão elástica” e é notada como W el. z  :

σxx mnox=MfzCe´eu. z{\ displaystyle \ sigma _ {xx \ \ mathrm {max}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {W} _ {\ mathrm {{\ agudo { e}} l.} \ z}}}}.

Se a viga for simétrica e de altura h , temos

V=±h2{\ displaystyle \ mathrm {V} = \ pm {\ frac {h} {2}}}

Se retermos como limite o fato de que o material deve permanecer no domínio elástico, temos no limite

σ=Re{\ displaystyle \ sigma = \ mathrm {R} _ {\ mathrm {e}}}

onde R e é o limite elástico . O limite máximo do momento de flexão é então

Mfmax=Re×Ce´eu. z{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} \, \ max} = \ mathrm {R} _ {\ mathrm {e}} \ times \ mathrm {W} _ {\ mathrm {{\ agudo { e}} l.} \ z}}.

Isso será usado para comparar com a flexão de plástico.

Observação Como é o valor absoluto da restrição que nos interessa, e que em qualquer caso o sinal depende da convenção escolhida, muitas vezes encontramos a expressão σxx=MfzeuGz⋅y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ cdot y} Tensão normal para uma viga curva

Assumimos que o feixe é gerado por uma curva plana, no plano ( x , y ), e que a fibra neutra permanece neste plano durante a deformação. Este é o caso típico de um gancho de elevação . O raio de curvatura local (em repouso) é denotado por r ( x ).

Como no caso da viga reta, sob o efeito do momento fletor, as seções retas giram, as fibras são esticadas ou comprimidas. Mas, ao contrário do caso anterior, as fibras não têm o mesmo comprimento inicial. A distribuição da tensão ao longo de y não é mais linear, mas hiperbólica, da forma:

σ(y)∝y-nor-y{\ displaystyle \ sigma (y) \ propto {\ frac {y-a} {ry}}}.Cisalhamento

Na maioria dos casos, o momento fletor é acompanhado por uma força de cisalhamento (T y com M f z , T z com M f y ). Isso gera cisão (τ xy para T y e τ xz para T z ). Essa tensão de cisalhamento gera pouco risco de falha e, portanto, é geralmente negligenciada (modelo de Bernoulli).

A distribuição das tensões não é uniforme: a tensão em uma superfície livre está necessariamente no plano da superfície, portanto a cisão nas faces externas é zero. Portanto, temos uma cisão que aumenta quando nos aproximamos da fibra neutra. A tensão máxima vale então, se S for a área da seção transversal:

• viga de seção inteira retangular  ;τmnox=32⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {3} {2}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}
• feixe completo de seção circular  ;τmnox=43⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}
• tubo circular fina:  ;τmnox≃2⋅TS{\ displaystyle \ tau _ {\ mathrm {max}} \ simeq 2 \ cdot {\ frac {\ mathrm {T}} {\ mathrm {S}}}}

onde S é a área da seção reta. Vemos que, nesses exemplos, a tensão é 1,5 a 2 vezes maior do que no caso de cisalhamento simples.

Nota-se que a cisão é máxima onde a tensão normal é zero (com a fibra neutra), e que a tensão normal é máxima onde a cisão é zero (nas faces externas). Portanto, não há sinergia entre as duas restrições.

Demonstração

Coloca-se no caso de dobrar três pontos entre os dois primeiros apoios. Consideramos um elemento de viga entre duas seções retas colocadas em x e x + d x , e entre a coordenada y 0 e a parte inferior da viga de coordenada y V. No nível da placa, a largura da viga é a .

Este elemento da matéria está sujeito a:

• para forças normais para seções retas;
• à força resultante do cisalhamento; é exercido sobre uma face retangular de dimensões l × d x .

O momento de flexão varia, então a força normal em cada uma das seções retas é diferente. Podemos, portanto, deduzir a cisão pelo princípio fundamental da estática (PFS).

A força de cisalhamento T y é uniforme entre 0 e o meio da viga, e temos:

Mfz=Ty×x{\ displaystyle \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} = \ mathrm {T} _ {y} \ times x}.

A força na face esquerda é, portanto,

F¯1=∫Vy0(-σxx)⋅dS=∫Vy0MfzeuGzy⋅dS=TyxeuGzQ(y){\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {1} = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} (- \ sigma _ {xx}) \ cdot \ mathrm { dS} = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm { G} z}}} y \ cdot \ mathrm {dS} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} x} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm { Q} (y)}

ou

Q(y)=∫Vy0y⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = \ int _ {\ mathrm {V}} ^ {y_ {0}} y \ cdot \ mathrm {dS}}

é o momento estático da parte da seção transversal entre V e y 0 .

A força no rosto certo vale a pena:

F¯2=-Ty(x+dx)euGzQ(y0){\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {2} = - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} (x + \ mathrm {d} x)} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0})}.

A força resultante é

F¯=F¯1+F¯2=-TyeuGzQ(y0)dx{\ displaystyle {\ bar {\ mathrm {F}}} = {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {1} + {\ bar {\ mathrm {F}}} _ {2} = - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0}) \ mathrm {d} x}.

O PFS é, portanto, escrito:

τxyeudx-TyeuGzQ(y0)dx=0{\ displaystyle \ tau _ {xy} l \ mathrm {d} x - {\ frac {\ mathrm {T} _ {y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} \ mathrm {Q} (y_ {0}) \ mathrm {d} x = 0}

é

τxy=TyQ(y0)euGzeu{\ displaystyle \ tau _ {xy} = {\ frac {\ mathrm {T} _ {y} \ mathrm {Q} (y_ {0})} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} eu}}}.

Temos para as seções mencionadas:

• sólido secção rectangular feixe de altura h e de largura l  :  ;Q(y)=eu2(h24-y2){\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {l} {2}} \ left ({\ frac {h ^ {2}} {4}} - y ^ {2} \ right)}
• feixe de secção circular cheia de raio r  :  ;Q(y)=23(r2-y2)3/2{\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {2} {3}} (r ^ {2} -y ^ {2}) ^ {3/2}}
• tubo circular fina delimitada por dois cilindros de raios r e R: .Q(y)=23(r3-y3){\ displaystyle \ mathrm {Q} (y) = {\ frac {2} {3}} (r ^ {3} -y ^ {3})}

Cálculo da deformação

Vimos acima disso:

1. a deformação de cisalhamento é negligenciada;
2. a curvatura γ e o raio de curvatura ρ são determinados em função do momento fletor M f z , o fator de forma I G z e o módulo de Young E: ρ=1γ=EeuGzMfz{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ frac {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}} {\ mathrm {M} _ { \ mathrm {f} z}}}} ;
3. a deformação u y está relacionada a ρ e a γ de acordo com a equação diferencial  : d2vocêydx2=1ρ=γ{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ rho}} = \ gamma}.

Pode-se assim determinar a deformação por dupla integração:

γ=d2vocêydx2=MfzEeuGz{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}}}.

Se a viga for de seção uniforme (I G z não varia) do mesmo material (E não varia), fica-se satisfeito em integrar o momento fletor:

EeuGzγ=EeuGzd2vocêydx2=Mfz⟹EeuGzvocêy=∬Mfzdx2+NO⋅x+B{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} \ gamma = \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} u_ {y}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \ Longrightarrow \ mathrm {E} \ mathrm { I} _ {\ mathrm {G} z} u_ {y} = \ iint \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z} \ mathrm {d} x ^ {2} + \ mathrm {A} \ cdot x + \ mathrm {B}}

onde A e B são constantes de integração determinadas a partir das condições de contorno:

• nos pontos de conexão, temos u y = 0;
• nos pontos de incorporação, temos u ' y = 0;
• se o problema é simétrico em comparação com a seção transversal mediana, tem-se u ' y = 0 no centro da viga.

Interessa-se em geral o valor máximo de u y , a “deflexão” da viga, que determina o estado limite em serviço (SLS, valor de carregamento a não ultrapassar para que a forma da viga permaneça compatível com a sua função )

Observação Muitas vezes encontramos notação abusiva EI G z y  '' = M f z . lá, então, designando o deslocamento. Além disso, as expressões exatas são: vocêy″(x)(1+vocêy′2(x))3/2=1ρ=γ{\ displaystyle {\ frac {u_ {y} '' (x)} {\ left (1 + u_ {y} '^ {2} (x) \ right) ^ {3/2}}} = {\ frac {1} {\ rho}} = \ gamma} e entao EeuGzvocêy″(x)(1+vocêy′2(x))3/2=Mfz{\ displaystyle \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} {\ frac {u_ {y} '' (x)} {\ left (1 + u_ {y} '^ {2 } (x) \ right) ^ {3/2}}} = \ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}}.

A deformação pode ser estabelecida graficamente pelo método funicular .

Curvatura em grande deformação

Quando o raio de curvatura ρ é menor que dez vezes a altura h da seção

ρ < h * 10,

as suposições não são mais válidas. Se, no entanto, considerarmos que:

• seções retas permanecem planas;
• as tensões normais à seção são independentes das tensões paralelas à seção;

então a tensão normal resultante do momento de flexão torna-se

σxx=MfzρS+MfzeuGzyρρ+y{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ rho \ mathrm {S}}} + {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} y {\ frac {\ rho} {\ rho + y}}}

onde S é a área da seção.

Deflexão

A flexão defletida é o caso em que as cargas não giram a seção em torno de um eixo principal de momento quadrático; sempre existem pelo menos dois eixos principais de momento quadrático qualquer que seja a seção da viga.

Feixe simétrico

No caso de uma viga simétrica, pode-se decompor o momento fletor vetorial em duas componentes diferentes de zero M f y e M f z . Se permanecermos em pequenas deformações, o sistema é linear, pode-se então considerar que se tem uma superposição de duas inflexões planas. O estresse normal, portanto, vale a pena

σxx=-MfzeuGzy+MfyeuGyz{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} z}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z}}} y + { \ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {f} y}} {\ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} y}}} z}.

O plano no qual a tensão desaparece é chamado de “plano neutro”.

Viga assimétrica

Determinamos os eixos principais de inércia Y e Z (ver o artigo Momento de inércia ), depois voltamos ao caso anterior colocando-nos na referência (G x YZ):

σxx=-MfZeuGZY+MfYeuGYZ{\ displaystyle \ sigma _ {xx} = - {\ frac {\ mathrm {M} _ {\ mathrm {fZ}}} {\ mathrm {I_ {GZ}}}} \ mathrm {Y} + {\ frac { \ mathrm {M} _ {\ mathrm {fY}}} {\ mathrm {I_ {GY}}}} \ mathrm {Z}}.

Casos isostáticos

Flexão de três pontos

A flexão de três pontos é um teste mecânico clássico. Representa o caso de uma viga colocada sobre dois apoios simples (apoios lineares retilíneos que, em um problema plano, equivale a uma conexão pontual) e submetida a uma carga concentrada, aplicada no meio da viga com ela também um contato simples. Um dos suportes é freqüentemente modelado como um pivô para ter uma viga que não se move horizontalmente.

Na figura ao lado, a viga tem comprimento L e a carga central é P.

A força de cisalhamento é constante em valor absoluto: vale metade da carga central, P / 2. Ele muda de sinal no meio do feixe. O momento fletor varia linearmente entre uma extremidade, onde é igual a 0, e o centro, onde seu valor absoluto é igual a PL / 4; é aqui que o risco de quebra é maior.

O perfil da viga é descrito por um polinômio de terceiro grau (função em x 3 ) em uma das metades da viga (a outra metade é simétrica).

Os diagramas de forças de cisalhamento e momentos fletores são tradicionalmente representados preenchidos por linhas verticais. Isso corresponde à divisão da área trapezoidal usada para o método gráfico.

Feixe em dois suportes com uma carga pontual

Este caso é a generalização da flexão de três pontos: a carga não é necessariamente aplicada ao centro. Isso possibilita, por exemplo, representar uma carga rolante.

A análise entre uma extremidade e o ponto de aplicação da carga é a mesma que para a flexão de três pontos, mas o problema não é mais simétrico.

Viga embutida

Uma viga fixa ( viga fixada , cantilever ) viga ou console, mostra o caso de um mastro, um poste de vedação no solo, de um cantilever de viga (por exemplo, um suporte).

Percebe-se que ela se comporta como metade de uma viga em flexão de três pontos, correspondendo o suporte fixo ao centro. O momento fletor máximo encontra-se ao nível do embutimento, onde o risco de falha é maior.

Flexão de quatro pontos

A principal diferença com a flexão de três pontos é entre as duas cargas: o momento fletor é constante e a força de cisalhamento é zero. Esta situação é qualificada como flexão pura ou flexão circular.

Viga em dois suportes com uma carga distribuída uniforme

Uma carga uniforme permite descrever o peso próprio da viga, ou mesmo o peso de um líquido no caso de um tubo ou tanque.

Viga em dois suportes com carga distribuída linearmente

Este caso pode ser usado para descrever a carga em uma coluna que sustenta uma parede vertical com um lado de terra ou água: a pressão aumenta com a profundidade.

Método gráfico

A resolução de problemas de flexão isostática pode ser feita graficamente.

Casos hiperestáticos

Viga suportada e embutida (grau 1)

O caso de uma viga apoiada e embutida, por simetria, é perfeitamente idêntica ao caso de uma viga sobre três apoios com vãos idênticos (com o apoio, a inclinação é nula e corresponde a um embutimento).

Feixe em três suportes (grau 1)

No caso de uma viga com dois vãos idênticos de comprimento l , sob carga uniforme q , o momento de apoio é idêntico ao momento em vão de uma viga simples, a saber  ; nada se ganha, portanto, em termos de resistência, conectando duas vigas em continuidade em um suporte comum. Por outro lado, o momento máximo no vão é válido e a deflexão máxima é reduzida em aproximadamente 40% em relação ao feixe isostático. peu2/8{\ displaystyle pl ^ {2} / 8}9peu2/128{\ displaystyle 9pl ^ {2} / 128}

Viga bi-embutida (grau 3)

Carga contínua uniformemente distribuída q	Carga triangular com máximo de q 0
Carga concentrada P	Torque M 0

Flexão de plástico

Inicialmente, mantém-se como critério de resistência (estado limite último, ULS) o fato de que o material deve permanecer no campo elástico. A carga máxima admissível deve ser tal que

σ máx ≤ R pe

com

• R pe = R e / s  : resistência prática à extensão;
• R e  : o limite elástico , normalmente 185 a 355  MPa para um aço estrutural (aço sem liga de baixo carbono);
• s  : coeficiente de segurança , normalmente entre 1,5 e 5.

Portanto, temos estruturas voluntariamente sobredimensionadas, o que torna possível lidar com sobrecargas acidentais.

Se admitirmos que certas áreas da viga podem ser plastificadas (sofrem deformação plástica), podemos dimensionar menores, portanto, projetar uma estrutura mais leve.

A abordagem geralmente adotada consiste em:

• considerar que o limite elástico é o valor máximo da tensão, o que equivale a simplificar a curva de tração  ;
• levar por critério de ruína o momento em que a totalidade de uma seção sofre deformações plásticas.

Quando a seção é totalmente plastificada, o estresse normal vale a pena:

• - h / 2 ≤ y <0: σ ( y  ) = R e  ;
• 0 < y ≤ h / 2: σ ( y  ) = -R e .

O momento de flexão vale a pena

Mf=-∫-h/2h/2y⋅σ(y)⋅dS{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f}} = - \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} y \ cdot \ sigma (y) \ cdot \ mathrm {dS} }.

Se o feixe for simétrico, então

Mf=-2∫0h/2y⋅σ(y)⋅dS=2∫0h/2y⋅Re⋅dS=Cpeu×Re{\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f}} = - 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ sigma (y) \ cdot \ mathrm {dS} = 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ mathrm {R_ {e}} \ cdot \ mathrm {dS} = \ mathrm {W_ {pl}} \ times \ mathrm {R_ {e}}}

onde W pl é o módulo de flexão de plástico:

Cpeu=2∫0h/2y⋅dS{\ displaystyle \ mathrm {W_ {pl}} = 2 \ int _ {0} ^ {h / 2} y \ cdot \ mathrm {dS}}.

Observe que temos

W pl = 2S z

onde S z é o momento estático da meia seção.

Em comparação com a flexão elástica, portanto, é aceito que a viga sofre um momento de flexão mais alto. A relação φ entre esses dois momentos é chamada de “ganho” e vale:

φ=Mf mnox peuMf mnox e´eu=Cpeu×ReCe´eu×Re=CpeuCe´eu{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f \ max \ pl}}} {{\ mathcal {M}} _ {\ mathrm {f \ max \ {\ agudo {e}} l}}}} = {\ frac {\ mathrm {W_ {pl}} \ times \ mathrm {R_ {e}}} {\ mathrm {W _ {{\ agudo {e}} l}} \ times \ mathrm {R_ {e}}}} = {\ frac {\ mathrm {W_ {pl}}} {\ mathrm {W _ {{\ agudo {e}} l}}}}}.

É um fator de forma: depende apenas da forma da seção transversal.

Ganhos para alguns perfis padronizados

Perfil	Ganho
IPN	1,18
IPE	1,15
HEA	1,15
HEB	1,16
UPN	1,19
UAP	1,18
tubo	1,27
prato	1,5
Redondo	1,7

Quando o material entra no domínio plástico, é necessário colocar em jogo a noção de junta esférica plástica , que caracteriza a plastificação local da viga. O mecanismo de falha da estrutura pode então ser determinado usando o teorema cinemático ou o teorema estático da mecânica estrutural.

Caixa de um prato

Na teoria das placas , consideramos

• folhetos, ou seja, finas fatias de material paralelas às faces da placa, estando a camada do meio localizada no meio da placa, e
• fibras normais, ou seja, tubos finos de material perpendicular à folha média.

Na teoria da placa fina de Kirchhoff-Love, a folha média dobra, mas não é esticada em seu plano (sem tensão de “membrana”) e as fibras normais permanecem perpendiculares à folha média durante a deformação. Podemos, portanto, simplesmente expressar os deslocamentos u e v de um ponto de acordo com a x e y , respectivamente, como uma função da altura z de este ponto, do seu deslocamento w de acordo com a z e da ângulos θ x e θ y  :

u ( x , y , z ) ≃ z · θ y ( x , y ); v ( x , y , z ) ≃ - z · θ x ( x , y ); θx=∂C∂y ;θy=-∂C∂x.{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ theta _ {x} = {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} {\ text {;}} \\ [1ex] \ theta _ {y} = - {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} {\ text {.}} \\\ end {matrix}}}

Em termos absolutos, a hipótese de ausência de deformação da membrana só é válida se a superfície puder ser desenvolvida, ou seja, se tiver apenas uma curvatura ( cilindro ou cone de revolução). No caso geral (veja os exemplos da esfera e da sela de um cavalo ), há necessariamente um trecho. A suposição é, portanto, válida apenas se o deslocamento w for fraco em comparação com a espessura h da placa.

Deformação

De acordo com a definição do tensor das deformações , tem-se:

{ε11=z⋅∂θy∂x=-z⋅γxε22=-z⋅∂θx∂y=-z⋅γy{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ varepsilon _ {11} = z \ cdot {\ frac {\ partial \ theta _ {y}} {\ partial x}} = - z \ cdot \ gamma _ {x} \\ [1ex] \ varepsilon _ {22} = - z \ cdot {\ frac {\ parcial \ theta _ {x}} {\ parcial y}} = - z \ cdot \ gamma _ { y} \\ [1ex] \ end {array}} \ right.}

onde γ x é a curvatura da folha média no plano xz e γ y no plano yz .

Esforços de coesão

Os momentos fletores m xy , atuando na face normal ax e cujo vetor é direcionado ao longo de y , e m yx , atuando na face normal ao y e cujo vetor é direcionado ao longo de x , criam uma distribuição linear da tensão normal. Esta situação é semelhante à da viga.

Restrições

Podemos avaliar as tensões da lei de Hooke  :

{ε11=1E⋅(σ11-ν⋅σ22)ε22=1E⋅(σ22-ν⋅σ11){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ varepsilon _ {11} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {E}}} \ cdot (\ sigma _ {11} - \ nu \ cdot \ sigma _ {22}) \\ [2ex] \ varepsilon _ {22} = {\ dfrac {1} {\ mathrm {E}}} \ cdot (\ sigma _ {22} - \ nu \ cdot \ sigma _ {11 }) \\\ end {matrix}} \ right.}

é

{σ11=-E1-ν2⋅(γx+νγy)⋅zσ22=-E1-ν2⋅(γy+νγx)⋅z{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ sigma _ {11} = - {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ cdot (\ gamma _ {x } + \ nu \ gamma _ {y}) \ cdot z \\ [2ex] \ sigma _ {22} = - {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \ cdot z \\\ end {matriz}} \ right.}

onde E é o módulo de Young e ν é o coeficiente de Poisson .

Pode-se relacionar as tensões normais aos momentos fletores pelo princípio da equivalência; é necessário para isso escolher uma convenção, como as convenções das forças à esquerda ou à direita para as vigas. Aqui, optamos por observar os momentos positivos se eles causam uma curvatura para baixo, ou seja, se a face superior está em compressão (σ ii <0 para z > 0) e a face inferior está em tensão (σ ii > 0 para z <0).

Então, se o elemento da matéria é d x × d y × h , então

{mxy⋅dy=∫-h/2h/2(σ11⋅z⋅dy)⋅dzmyx⋅dx=∫-h/2h/2(σ22⋅z⋅dx)⋅dz{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {xy} \ cdot \ mathrm {d} y = \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} \ left (\ sigma _ {11} \ cdot z \ cdot \ mathrm {d} y \ right) \ cdot \ mathrm {d} z \\ [1ex] m_ {yx} \ cdot \ mathrm {d} x = \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} \ left (\ sigma _ {22} \ cdot z \ cdot \ mathrm {d} x \ right) \ cdot \ mathrm {d} z \\\ end {matrix}} \ right.}

é

{mxy=-D⋅(γx+νγy)myx=-D⋅(γy+νγx){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {xy} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {x} + \ nu \ gamma _ {y}) \\ m_ {yx} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \\\ end {matriz}} \ right.}.

O termo

D=E1-ν2∫-h/2h/2z2⋅dz=Eh312(1-ν2){\ displaystyle \ mathrm {D} = {\ dfrac {\ mathrm {E}} {1- \ nu ^ {2}}} \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} z ^ {2} \ cdot \ mathrm {d} z = {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}}}

é chamada de rigidez flexural . Ele desempenha o mesmo papel que o fator E⋅I G z para a flexão de uma viga.

Como nós temos

{γx≃∂2C∂x2γy≃∂2C∂y2{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ gamma _ {x} \ simeq {\ dfrac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \\ [2ex] \ gamma _ {y} \ simeq {\ dfrac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \\\ end {matrix}} \ right.}

nós deduzimos as equações diferenciais  :

{mxy=-D⋅(∂2C∂x2+ν∂2C∂y2)myx=-D⋅(∂2C∂y2+ν∂2C∂x2){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {xy} = - \ mathrm {D} \ cdot \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}} } + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \\ [1ex] m_ {yx} = - \ mathrm {D} \ cdot \ left ( {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \\\ end {matrix}} \ right.}.

No caso geral, m xy m yx são funções de x e y .

Casos especiais

Distribuição uniforme de momentos nas laterais de uma placa retangular

Consideraremos primeiro o caso simples de uma placa retangular submetida a momentos uniformes em suas bordas; este caso não corresponde a um caso real particularmente interessante, mas permite obter um certo número de resultados de uma forma simples. Esta situação é semelhante à dobra pura de uma viga (parte central da dobra em quatro pontos).

Em nosso caso particular, estamos no caso de torques de torção. Se alguém considerar um elemento da matéria em qualquer lugar do prato, terá:

m xy = M x  ; m yx = M y .

Estas são constantes, então temos

{Mx=-D⋅(γx+νγy)My=-D⋅(γy+νγx){\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {x} + \ nu \ gamma _ {y}) \\ \ mathrm {M} _ {y} = - \ mathrm {D} \ cdot (\ gamma _ {y} + \ nu \ gamma _ {x}) \\\ end {matriz}} \ right.}

Nesse caso, a solução é simples: obtemos curvaturas uniformes:

{γx=-Mx-νMyD′γy=-My-νMxD′{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {M} _ {x} - \ nu \ mathrm {M} _ {y}} {\ mathrm {D} '}} \\ [2ex] \ gamma _ {y} = - {\ dfrac {\ mathrm {M} _ {y} - \ nu \ mathrm {M} _ {x}} {\ mathrm {D } '}} \\\ end {matrix}} \ right.}

com

D′=(1-ν2)D=Eh312{\ displaystyle \ mathrm {D} '= (1- \ nu ^ {2}) \ mathrm {D} = {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12}}}.

Se um dos pares externos for zero, por exemplo M y = 0, então temos

γ y = -νγ x ,

ou seja, as duas curvaturas principais são opostas (curva “anticlástica” do tipo sela-do-cavalo ). No caso particular em que M y = νM x , temos

γ y = 0

ou seja, temos apenas uma curvatura em uma direção. Este caso é semelhante à dobra pura de uma viga, mas o resultado é um pouco diferente:

placa :Mx=-Dγx=-Eh312(1-ν2)γxfeixe:Mx=-EeuGzγx=-Eh312γx{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ text {plate:}} & \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {D} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {E } h ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}} \ gamma _ {x} \\ {\ text {beam:}} & \ mathrm {M} _ {x} = - \ mathrm {E} \ mathrm {I} _ {\ mathrm {G} z} \ gamma _ {x} = - {\ dfrac {\ mathrm {E} h ^ {3}} {12}} \ gamma _ {x } \\\ end {matrix}}}

O fator de diferença 1 / (1-ν²) vem do fato da placa não ter a possibilidade de se estender livremente nas laterais. No caso dos metais (ν ≃ 0,3), há uma diferença de cerca de 10% (1 / (1-ν²) ≃ 1,10).

Se tivermos M y = M x , então

γ y = γ x ,

a placa, portanto, assume a forma de uma tampa esférica. Na verdade, isso é verdade seja qual for a forma da placa, para qualquer distribuição uniforme de momentos.

Pressão uniforme Placa quadrada suportada

No caso de uma placa quadrada de lado a simplesmente suportada por uma pressão uniforme p 0 , a deflexão máxima w max está no centro e vale:

Cmnox=p0no44π4D{\ displaystyle w _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {p_ {0} a ^ {4}} {4 \ pi ^ {4} \ mathrm {D}}}}.Placa circular embutida

No caso de uma placa circular de raio R embutida, a deflexão a uma distância r do centro vale

C(r)=p064D(R2-r2)2{\ displaystyle w (r) = {\ frac {p_ {0}} {64 \ mathrm {D}}} (\ mathrm {R} ^ {2} -r ^ {2}) ^ {2}} ;

a deflexão máxima está no centro e é igual a

Cmnox=p064DR4{\ displaystyle w _ {\ mathrm {max}} = {\ frac {p_ {0}} {64 \ mathrm {D}}} \ mathrm {R} ^ {4}}.

Observe que também podemos escrever a seta no formulário

C(r)=Cmnox(1-r2R2)2{\ displaystyle w (r) = w _ {\ mathrm {max}} \ left (1 - {\ frac {r ^ {2}} {\ mathrm {R} ^ {2}}} \ right) ^ {2 }}.

Aplicação para construção

Como visto anteriormente, as tensões (e deformações) devido à flexão em um elemento ( viga ou piso ) estão principalmente concentradas perto das fibras inferiores e superiores, enquanto aquelas próximas à fibra neutra são muito pouco tensionadas. É assim possível, por razões de economia de materiais, para fins financeiros ou para reduzir o próprio peso do elemento, concentrar o material longe da fibra neutra e afiná-lo no seu centro. É por isso que usamos seções perfiladas em forma de tubos , perfis laminados (U, I, H, ângulos ), lajes nervuradas ou caixão, ...

Notas e referências

1. Michel Del Pedro , Thomas Gmür e John Botsis , “ Dobramento de vigas curvas” , em Introdução à mecânica de sólidos e estruturas , Lausanne, Presses polytechniques et universitaire romandes,2004( ISBN  2-88074-617-5 ) , p.  115-124

Veja também

Bibliografia

• Jean-Louis Fanchon, guia mecânico , Nathan,2001, 543  p. ( ISBN  2-09-178965-8 ) , p.  265-396
• Claude Hazard, Frédy Lelong e Bruno Quinzain, Mémotech - Estruturas metálicas , Paris, Casteilla,1997, 352  p. ( ISBN  2-7135-1751-6 ) , p.  326-336
• D. Spenlé e R. Gourhant, Guia para calcular em mecânica: controlar o desempenho de sistemas industriais , Paris, Hachette,2003, 272  p. ( ISBN  2-01-168835-3 ) , p.  130-208

Artigos relacionados

• Deflexão
• Deflexão (resistência do material)
• Método dos momentos das áreas