Forma bilinear não degenerada

Em matemática , uma forma bilinear não degenerada é uma forma bilinear cujos dois espaços singulares (à direita e à esquerda) são reduzidos a {0}.

Por exemplo, um produto escalar é um caso especial de uma forma bilinear não degenerada.

Definições

Deixe- K um corpo , E a K - espaço vetorial esquerda, F a K -vector certo espaço e f uma forma bilinear em E × F .

Dizemos que f é degenerado à direita (resp. À esquerda ) se existe um elemento diferente de zero de F (resp. De E ) tal que para todos (resp. Para todos ). $y_ {0}$ $x_ {0}$ ${\ displaystyle f (x, y_ {0}) = 0}$ $x \ em E$ ${\ displaystyle f (x_ {0}, y) = 0}$ ${\ displaystyle y \ in F}$
Chamamos o espaço singular à direita o seguinte subespaço de F : ${\ displaystyle S_ {d} (f) = \ {y \ in F, \ \ forall x \ in E, \ f (x, y) = 0 \}}$
Definimos da mesma forma o espaço singular à esquerda ${\ displaystyle S_ {g} (f) \ subconjunto E.}$
Dizemos que f é não degenerado se for não degenerado à direita e à esquerda.

Para um vetor $x$ de E , denote a função parcial de $f$ que se associa . É uma forma linear em F , portanto, um elemento do dual algébrico F * (que é, como E , um espaço vetorial K à esquerda). Além disso, o mapa de E em F * que deve ser associado é linear. Por construção, ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle y \ in F}$ $f (x, y)$ ${\ hat {f}}$ $x$ ${\ displaystyle f (x, \ cdot)}$ ${\ displaystyle S_ {g} (f) = \ ker {\ hat {f}}.}$
Se E e F são dimensionais finitas, se e somente se , e isso é equivalente a dizer que f é não degenerado. ${\ displaystyle S_ {g} (f) = \ {{\ overrightarrow {0}} \}}$ ${\ displaystyle S_ {d} (f) = \ {{\ overrightarrow {0}} \}}$
Quando E é um espaço vetorial real, qualquer forma bilinear simétrica não degenerada positiva em E × E é definida (é, portanto, um produto escalar ). Isso é uma consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz para formas bilineares positivas.

J.-M. Arnaudiès e H. Fraysse, curso de matemática 4: álgebra bilinear e geometria , Dunod , 1990
N. Bourbaki , Elements of mathematics , vol. II: Álgebra, Capítulo 9 , Berlim, Hermann ,1959( reimpressão 2007), 205 p. ( ISBN 978-3-540-35338-6 , apresentação online )