Injeção (matemática)

Um mapa f é dito injetivo ou é uma injeção se algum elemento de seu conjunto de chegada tiver no máximo um antecedente por f , o que equivale a dizer que dois elementos distintos de seu conjunto inicial não podem ter a mesma imagem por f .

Quando os conjuntos inicial e final de f são ambos iguais à reta real ℝ, f é injetivo se e somente se seu gráfico intercepta qualquer reta horizontal em no máximo um ponto.

Se uma aplicação injetiva também é sobrejetiva , diz-se que é bijetiva .

Definição formal

Um mapa f  : X → Y é injetivo se para todo y ∈ Y , existe no máximo um x ∈ X tal que f ( x ) = y , que está escrito:

∀x∈X∀x′∈X(f(x)=f(x′)⇒x=x′){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (f (x) = f (x') \ Rightarrow x = x '\ right)}.

A implicação anterior é equivalente à sua contraposta  :

∀x∈X∀x′∈X(x≠x′⇒f(x)≠f(x′)){\ displaystyle \ forall x \ in X \ quad \ forall x '\ in X \ quad \ left (x \ neq x' \ Rightarrow f (x) \ neq f (x ') \ right)}.

Exemplo concreto

Tomemos o caso de uma estância de férias onde um grupo de turistas vai ficar alojado num hotel. Cada forma de distribuição desses turistas nos quartos do hotel pode ser representada por uma aplicação do conjunto de turistas, X , a todos os quartos, Y (cada turista está associado a um quarto).

• O hoteleiro quer que a aplicação seja sobrejetiva , ou seja, que cada quarto esteja ocupado . Isso só é possível se houver pelo menos tantos turistas quantos quartos.
• Os turistas querem que o aplicativo seja injetivo, ou seja, cada um tem um quarto individual . Isso só é possível se o número de turistas não ultrapassar o número de quartos.
• Essas restrições só são compatíveis se o número de turistas for igual ao número de quartos. Neste caso, será possível distribuir os turistas de forma que haja apenas um por quarto, e que todos os quartos sejam ocupados: a aplicação será então injetiva e sobrejetiva; diremos que é bijetivo .

Exemplos e contra-exemplos

Considere o mapa f  : ℝ → ℝ definido por f ( x ) = 2 x  + 1. Este mapa é injetivo (e até mesmo bijetivo), uma vez que para todos os números reais arbitrários x e x ′ , se 2 x  + 1 = 2 x ′  + 1 então 2 x  = 2 x ′ , ou seja, x  =  x ′ .

Por outro lado, a aplicação g  : ℝ → ℝ definida por g ( x ) = x 2 não é injetiva, porque (por exemplo) g (1) = 1 = g (−1).

Por outro lado, se definirmos o mapa h  : ℝ +  → ℝ pela mesma relação que g , mas com o conjunto de definições restrito ao conjunto de reais positivos , então o mapa h é injetivo. Uma explicação é que, para dados reais positivos arbitrários x e x ′ , se x 2  =  x ′ 2 , então | x | = | x ′ |, então x  = x ′ .

Propriedades

• Vamos f uma aplicação X em Y .
  • f é injetivo (se e) apenas se X for o conjunto vazio ou se houver um mapa g  :  Y  →  X tal que g ∘ f seja igual à identidade do mapa em X , ou seja , se e somente se X estiver vazio ou f for invertível .
  • f é injetivo se (e somente se) for simplificado à esquerda , ou seja , que para todos os mapeamentos g , h  :  Z  →  X , f ∘ g = f ∘ h acarreta g  = h . Em outras palavras, os mapas injetivos são justamente os monomorfismos da categoria dos conjuntos .
  • Para qualquer mapa g de Y a Z  :
    1. se o mapa composto g ∘ f é injetivo, então f é injetivo;
    2. Se f e g são, em seguida, injetivo g ∘ f é injetivo;
    3. se f é sobrejetivo e se g ∘ f é injetivo então g é injetivo.
  • As quatro propriedades a seguir são equivalentes:
    • f é injetivo;
    • qualquer parte A de X é a imagem inversa de sua imagem direta  : f −1 ( f ( A )) = A  ;
    • para todas as partes A e B de X , temos f ( A  ∩  B ) = f ( A ) ∩  f ( B );
    • para qualquer parte A de X , a imagem direta do complemento de A está incluída no complemento da imagem direta de A , ou seja , f ( X \ A ) ⊂ Y \ f ( A ).
• Qualquer mapa h  :  Z  →  Y pode ser decomposto como h  = f ∘ g para uma injeção adequada f e uma sobreposição g . Esta decomposição é única, exceto por um único isomorfismo , ef pode ser escolhido igual à injeção canônica , da imagem h ( Z ) de h , no conjunto de chegada Y de h .
• Se f  :  X  →  Y é injetivo, então Y tem pelo menos tantos elementos quanto X , no sentido de cardinais .
• Se denotarmos por E ≤ F a propriedade "existe uma injeção do conjunto E no conjunto F  ", então ≤ é uma "  pré-ordem  " (no sentido amplo, ou seja , em uma classe própria: a de todos os conjuntos), que induz uma “  ordem  ” na classe de cardeais. A reflexividade e transitividade foram processadas durante os exemplos anteriores, e a antissimetria é o objeto do teorema Cantor-Bernstein . O fato dessa ordem ser total , ou seja, para dois conjuntos E e F , temos pelo menos uma das relações E ≤ F ou F ≤ E , é comprovado pelo lema de Zorn , c 'é o teorema da comparabilidade cardinal . Este resultado é até equivalente ao axioma da escolha .
• Um morfismo de um grupo X num grupo Y é injetivo se e apenas se o seu núcleo é reduzida a sub- grupo trivial do grupo X .

História

O termo "injeção" foi cunhado por MacLane em 1950, enquanto o adjetivo "injetivo" apareceu dois anos depois, em 1952, em Foundations of Algebraic Topology de Eilenberg e Steenrod .

Notas e referências

1. Ver por exemplo os exercícios corrigidos do capítulo "Injeção, sobreposição, bijeção" na Wikiversidade .
2. (em) Jeff Miller "Os  primeiros usos conhecidos de algumas das palavras da matemática (I)  " .