Módulo de quociente

Em matemática , um módulo quociente é o módulo obtido pela quociente de um módulo em um anel por um de seus submódulos .

Definição

Vamos M um módulo sobre um anel A e N um sub-módulo de M .

O grupo ( H , +) sendo abeliano , seu subgrupo ( N , +) é o normal , o que faz com que seja possível definir o grupo quociente ( M / N , +).

Neste grupo ( M / N , +), que é abeliano, existe uma lei externa única fazendo de M / N um módulo A e tal que a projeção canônica não é apenas um morfismo de grupos , mas um morfismo de A - módulos: ${\ displaystyle \ pi: M \ rightarrow M / N}$

{\ displaystyle \ forall a \ in A, ~ \ forall m \ in M, \ qquad a. (m + N) = (am) + N ~.}

Exemplos

M / M é o módulo trivial {0}.
M / {0} é isomorfo a M .
Se M é igual ao anel A (como visto no próprio módulo à esquerda), seus submódulos são ideais de A à esquerda . O módulo quociente de A por um ideal bicaudal I é o anel quociente A / I , visto como módulo A.
Se I é um ideal bicaudal de A , a estrutura de A modula o quociente de M pelo submódulo

{\ displaystyle IM = \ {\ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} m_ {j} ~ | ~ n \ in \ mathbb {N}, ~ a_ {1}, \ ldots, a_ { n} \ in I, ~ m_ {1}, \ ldots, m_ {n} \ in M ​​\}}

é induzida por sua estrutura de módulo A / I natural.

Propriedades

Qualquer morfismo de módulos A cujo núcleo contém N é unicamente fatorado por M / N , isto é, existe um morfismo único de módulos A tal que . ${\ displaystyle f: M \ rightarrow L}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}}: M / N \ a L}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ circ \ pi = f}$