Eixo principal

Em geometria , o eixo maior (em latim : axis maior ) de uma elipse é o maior diâmetro desta cônica .

O semi-eixo maior (em latim: semiaxis maior ) é a metade do eixo maior. Se a elipse é um círculo , seu semi-eixo maior é seu raio .

Destacando

Uma elipse é, por definição, o conjunto de pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, e , do plano é constante. $\ mathcal {E}$ $M$ $\ mathcal {P}$ $F$ $F '$ $\ mathcal {P}$

Essa constante é uma distância ,, chamada de eixo principal de . $2a$ $\ mathcal {E}$

{\ mathcal {E}} \; {\ overset {{\ underset {{\ mathrm {def}}} {}}} {=}} \; \ {{M \ in {{\ mathcal {P}}} \; | \; {\ overline {FM} + \ overline {F'M} = cte \; {\ overset {{\ underset {{\ mathrm {def}}} {}}} {=}} \; 2a }} \}

Etimologia

A linha cujo eixo maior é um segmento é um dos dois eixos de simetria (em latim: eixo , no singular) da elipse.

O eixo maior é maior ( maior ) do que o eixo menor .

Definição

O eixo principal de uma elipse é seu maior diâmetro , um segmento que cruza o centro e os dois focos da elipse e os une em seus dois pontos mais opostos. O semi-eixo maior corresponde à metade do eixo maior e une o centro e uma borda da elipse por meio de um dos focos.

Da mesma forma, o segmento perpendicular ao eixo maior, passando pelo centro e unindo-se à elipse, é seu eixo menor . Os eixos são os equivalentes elípticos dos diâmetros de um círculo , enquanto os semi-eixos são os análogos dos raios .

O comprimento do semi-eixo maior e do semi-eixo menor estão ligados pela excentricidade e o "parâmetro" da elipse, geralmente notado p , representando o meio latus reto (corda paralela à diretriz e passando pelo foco ): $no$ $b$ $e$

b = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}}

{\ displaystyle p = a (1-e ^ {2})}

{\ displaystyle ap = b ^ {2}}

Conceitos relacionados

Círculo principal

O círculo com centro , o centro de uma elipse , e diâmetro , o eixo principal da elipse, é o círculo principal da elipse. $\ mathcal {C}$ $O$ $\ mathcal {E}$ $d = 2a$

A elipse é a imagem do círculo principal pela afinidade ortogonal base Ox e razão . $\ mathcal {E}$ $\ mathcal {C}$ $BA$

Noções equivalentes

O círculo sendo uma elipse de excentricidade linear zero, o eixo maior de um círculo é seu diâmetro e seu semi-eixo maior seu raio.

A hipérbole é uma cônica de excentricidade linear maior que 1. O eixo transversal de uma hipérbole, segmento da reta que cruza o centro e os dois focos da hipérbole, é o equivalente ao semi-eixo maior d 'uma elipse. O eixo conjugado de uma hipérbole, segmento da reta compreendido entre um dos vértices da hipérbole e uma das retas assíntotas da curva do mesmo vértice, equivale ao eixo semimundo de uma elipse.

Astronomia

Período orbital

Em astronomia , o semieixo maior é um elemento orbital importante, tornando possível definir parcialmente uma órbita . Em geral, no contexto de um problema de dois corpos , o quadrado do período orbital de um corpo de massa orbitando outro corpo de massa é: $T$ $m$ $M$

T ^ {2} = {\ frac {4 \ pi ^ {2}} {G (M + m)}} a ^ {3} \,

ou :

$no$ é o comprimento do semieixo maior;
$G$ é a constante gravitacional .

Se um dos corpos for pequeno o suficiente para que sua massa seja desprezada em comparação com o outro:

T = 2 \ pi {\ sqrt {a ^ {3} / \ mu}}

onde é o parâmetro gravitacional padrão . $\ mu$

Nesse caso, para todas as órbitas do mesmo semieixo maior, o período é o mesmo, independentemente da excentricidade.

Portanto, obtemos a seguinte proporcionalidade:

T ^ {2} \ propto a ^ {3}

que corresponde à terceira lei de Kepler .

Distância média

O semi-eixo maior não corresponde necessariamente à distância média entre os dois corpos em órbita, pois essa distância depende do método utilizado:

Calculando a média da distância sobre a anomalia excêntrica , realmente encontramos o semi-eixo maior.
A média sobre a anomalia verdadeira dá o eixo semi-menor .
A média da anomalia média leva ao valor . $a \ left (1 + {\ frac {e ^ {2}} {2}} \ right)$

Além disso, o “raio médio da elipse”, que de fato designa o raio do círculo com a mesma área, é . ${\ sqrt {ab}} = a {\ sqrt [{4}] {1-e ^ {2}}}$

Veja também

Link externo

(pt) “ Eixo semi-maior / semi-menor de uma elipse ” , em mathopenref.com (com animação interativa)