Física estatística
A física estatística busca explicar o comportamento e a evolução de sistemas físicos com um grande número de partículas (sistemas conhecidos macroscópicos ), a partir das características microscópicas de seus constituintes (as partículas). Esses constituintes podem ser átomos , moléculas , íons , elétrons , fótons , neutrinos ou partículas elementares . Esses constituintes e as interações que eles podem ter entre si são geralmente descritos pela mecânica quântica , mas a descrição macroscópica de um conjunto de tais constituintes não apela diretamente (ou pelo menos nem sempre) à mecânica quântica. Na verdade, essa descrição macroscópica, particularmente termodinâmica , foi obtida, em parte, antes do desenvolvimento da mecânica quântica como uma teoria da física, principalmente na segunda metade do XIX ° século .
É feita uma distinção entre a física de equilíbrio estatístico (no sentido de equilíbrio termodinâmico ), à qual este artigo é dedicado, e a física estatística de desequilíbrio .
Histórico
A física estatística (também chamado de "termodinâmica estatística") foi introduzida inicialmente na forma da teoria cinética dos gases a partir de meados do XIX ° século , principalmente por Kelvin , Maxwell e Boltzmann . Esta primeira abordagem teve como objetivo propor um modelo simples de matéria em escala atômica, e em particular de colisões entre átomos ou moléculas, para reproduzir o comportamento de certas quantidades macroscópicas. Foi nessa época que se formalizou a interpretação da pressão como medida do momento dos constituintes de um gás.
A mecânica estatística foi formalizada em 1902 por Gibbs , seu formalismo possibilitando generalizar e justificar a posteriori os princípios da termodinâmica de equilíbrio.
As primeiras extensões da física estatística, em comparação com a mecânica estatística, foram a introdução das propriedades elétricas e magnéticas da matéria nos modelos, permitindo a descrição de transições de fase em materiais magnéticos ou dielétricos, como a transição ferromagnética .
Outro passo importante foi a modificação das fórmulas estatísticas, entre os anos 1920 e 1930, para levar em conta os efeitos da indistinguibilidade no nível quântico das partículas ( princípio de exclusão de Pauli ). Esta modificação foi realizada por Bose e Einstein para sistemas de partículas de spin inteiro ( bósons ) e por Fermi e Dirac para sistemas de partículas de spin meio-inteiro ( férmions ).
Introdução e generalidades
Normalmente, em nossa escala, um sistema de material em equilíbrio termodinâmico é descrito usando um número restrito de assim chamados parâmetros macroscópicos que caracterizam os valores de certas quantidades físicas macroscópicas; por exemplo, um volume de gás no estado de equilíbrio é caracterizado pela sua densidade μ , a pressão P , a temperatura T e o volume V . A física estatística estabelece ligações estatísticas entre essas grandezas físicas macroscópicas e outras grandezas microscópicas que caracterizam os constituintes elementares (átomos ou moléculas) do sistema material.
Este procedimento é útil porque na prática é impossível acompanhar a evolução dos constituintes individuais do gás. Por exemplo, um litro de ar contém cerca de 3 × 10 22 moléculas (um número da ordem do número de Avogadro ). Mesmo que fosse possível acompanhar o desenvolvimento individual de cada um deles, isso não daria informações relevantes sobre o sistema. O objetivo da física estatística é definir as quantidades macroscópicas relevantes que tornam possível descrever tal sistema composto de um grande número de partículas e as relações entre essas diferentes quantidades. Deve também relacionar essas grandezas macroscópicas às grandezas de origem microscópica que descrevem os constituintes do sistema. Por exemplo, a temperatura de um gás ideal é uma medida da energia cinética média das partículas que o compõem.
Um dos motivos que permite a passagem do microscópico ao macroscópico é, de fato, o número gigantesco de constituintes do sistema. Por esse motivo, falamos da energia cinética total E das moléculas de um gás, pois as flutuações estatísticas Δ E de tal quantidade (é possível que a energia cinética total das moléculas do gás esteja, em uma pequena região , ligeiramente diferente do valor médio esperado) são limitados pela relação ( da lei de Poisson ):
ΔEE∼1NÃO{\ displaystyle {\ frac {\ Delta E} {E}} \ sim {\ frac {1} {\ sqrt {N}}}},
onde N é o número de moléculas do volume de gás considerado. Mesmo para pequenos volumes, por exemplo da ordem de 1 mm 3 para um gás em temperatura e pressão normais , ou seja, cerca de 3 × 10 16 partículas, as flutuações da energia cinética total são menores que 10-8 e na prática quase sempre insignificante .
Postulado fundamental
Estados
O postulado fundamental da física de equilíbrio estatístico (também conhecido como o postulado de probabilidades anteriores iguais) é:
Dado um sistema isolado em equilíbrio, ele é encontrado com probabilidades iguais em cada um de seus microestados acessíveis.
|
Esse postulado é uma suposição fundamental na física estatística: significa que um sistema não tem preferência por nenhum de seus microestados acessíveis. Dados Ω microestados em dada energia, a probabilidade de que o sistema esteja em um microestado particular é p = 1 / Ω. Este postulado, necessário, permite concluir que para um sistema em equilíbrio, o estado termodinâmico (o macroestado) que pode resultar do maior número de microestados é também o macroestado mais provável do sistema.
Comparado com os postulados subjacentes à teoria cinética dos gases , este é um salto na abstração que permite todas as generalizações. Esta declaração substitui vantajosamente os modelos microscópicos que são simplistas e ainda assim altamente computacionais com incertezas estatísticas. O modelo se aplica a priori a qualquer sistema que tenha um mecanismo de redistribuição de energia estatística em nível microscópico.
Origem: a hipótese ergódica
No quadro emergente da teoria cinética dos gases, Boltzmann formulou em 1871 uma hipótese, hoje conhecida com o nome de hipótese ergódica : “O ponto representativo de um sistema hamiltoniano invariante por translação no tempo passa ao longo do período. cada ponto da hipersuperfície de energia constante. "
Esta suposição foi provada em 1910 como falsa, mas alguns sistemas físicos desde então mostraram satisfazer a suposição quase ergódica :
O ponto representativo de um sistema hamiltoniano invariante à translação no tempo passa ao longo do tempo o mais próximo que desejamos de cada ponto da hipersuperfície de energia constante.
No entanto, apesar dos avanços muito significativos na teoria ergódica e na teoria do caos , o uso da hipótese quase ergódica para justificar o postulado fundamental da física estatística permanece controverso até hoje.
Equiprobabilidade e informação
Em teoria da informação , a informação é o oposto do logaritmo da probabilidade: .
eu=-em p{\ displaystyle I = - \ ln \ p}
Nesse contexto, entropia é definida como a média das informações contidas no sistema:
S = ⟨ eu ⟩ = -∑eu peu empeu{\ displaystyle S \ = \ \ langle \ I \ \ rangle \ = \ - \ sum _ {i} \ p_ {i} \ \ ln p_ {i}}
|
É uma função contínua de várias variáveis, o que podemos mostrar que admite um máximo global quando todas as são iguais. Isso significa que, com a suposição de equiprobabilidade , S é máximo. Interpretamos isso dizendo que então temos um mínimo de informações, ou mesmo um máximo de incerteza, sobre o sistema.
peu{\ displaystyle p_ {i}}
Por outro lado, quando um dos eventos é certo, sua probabilidade é igual a 1 enquanto todos os outros são zero. Então sabemos exatamente a configuração do sistema e a incerteza é zero. Nesse caso, a entropia admite seu valor mínimo, no caso 0.
peu{\ displaystyle p_ {i}}
Generalizações para problemas análogos
Os métodos de descrição matemática desenvolvidos no âmbito da física estatística encontraram aplicações em praticamente todos os campos da física ou química moderna , mas também na economia , nas ciências humanas , etc.
Ferramentas e Processos
A formulação moderna dessa teoria baseia-se na descrição dos sistemas físicos estudados por meio de conjuntos estatísticos . Tais conjuntos representam a totalidade das configurações possíveis do sistema associadas às suas probabilidades de realização. Cada conjunto está associado a uma função de partição que, por meio de manipulações matemáticas, permite extrair as grandezas termodinâmicas do sistema. De acordo com as relações do sistema com o resto do universo , geralmente existem três tipos de conjuntos, do mais simples ao mais complexo:
- o conjunto microcanônico
- o conjunto canônico
- o grande conjunto canônico
Conjunto microcanônico
Este conjunto descreve o caso ideal de um sistema completamente isolado de energia constante e, portanto, não trocando partículas , nem energia , nem volume com o resto do universo. O interesse deste modelo é que ele permite definir a entropia em sua forma mais simples.
E{\ displaystyle E}
Entropia microcanônica
Estando o sistema em equilíbrio macroscópico, mas livre para evoluir na escala microscópica entre diferentes microestados , sua entropia é dada pela fórmula de Boltzmann (1877):
Ω{\ displaystyle \ Omega}
S = kB emΩ{\ displaystyle S \ = \ k_ {B} \ \ ln \ Omega}
|
onde está a constante de Boltzmann . Esta definição corresponde à entropia de Shannon :
kB{\ displaystyle k_ {B}}
S = - kB∑eupeu empeu{\ displaystyle S \ = \ - \ k_ {B} \ sum _ {i} p_ {i} \ \ ln p_ {i}}
|
de uma configuração de microestados equiprováveis:
Ω{\ displaystyle \ Omega}
peu = 1Ω{\ displaystyle p_ {i} \ = \ {\ frac {1} {\ Omega}}}
|
Extensividade de entropia
A energia macroscópica total do sistema isolado estudado é sempre maior ou igual a um determinado valor mínimo, denominado energia do estado fundamental do sistema. Além disso, a contagem do número de microestados do sistema de energia total fechado geralmente requer a introdução de alguma ordem de incerteza mesoscópica .
E{\ displaystyle E}E0{\ displaystyle E_ {0}}Ω{\ displaystyle \ Omega}E{\ displaystyle E}ΔE{\ displaystyle \ Delta E}
Podemos mostrar que, para um sistema "comum", o número de microestados é uma função que aumenta rapidamente da energia da forma:
Ω{\ displaystyle \ Omega}
Ω(E,NÃO) ∝ (E-E0)NÃO{\ displaystyle \ Omega (E, N) \ \ propto \ \ left (E-E_ {0} \ right) ^ {N}}
|
onde N é o número total de graus de liberdade do sistema, considerado muito grande. É então possível mostrar que quando a energia total E não está muito próxima de seu valor mínimo, a entropia S (E, N) calculada pela fórmula de Boltzmann é:
- da ordem de N , então a entropia microcanônica é bastante extensa no limite termodinâmico .
- independente do valor exato da incerteza .ΔE{\ displaystyle \ Delta E}
Conjunto canônico
O conjunto canônico descreve um sistema fechado em equilíbrio térmico com um termostato externo. Este sistema fechado pode, portanto, trocar energia na forma de transferência de calor com o exterior, com exclusão de qualquer outra quantidade.
Função de partição canônica
Nas condições citadas acima, provamos que a probabilidade de o sistema fechado atingir um estado de energia é dada pela fórmula de Boltzmann:
peu{\ displaystyle p_ {i}}eu{\ displaystyle i}Eeu{\ displaystyle E_ {i}}
peu = e-βEeuZ{\ displaystyle p_ {i} \ = \ {\ frac {e ^ {- \ beta E_ {i}}} {Z}}}
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A identificação da entropia da física estatística com a da termodinâmica permite relacionar β à temperatura termodinâmica T
kBβ=1T{\ displaystyle k_ {B} \ beta = {1 \ over {T}}}
O fator de normalização Z é calculado escrevendo a condição das probabilidades totais:
∑eupeu = 1{\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} \ = \ = \ 1}
|
Z é chamado de função de partição canônica do sistema fechado e é escrito explicitamente:
Z = ∑{k novsvsesseubeue}e-βEk{\ displaystyle Z \ = \ \ sum _ {\ {k \ \ mathrm {acessível} \}} e ^ {- \ beta E_ {k}}}
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Esta função de partição permite deduzir todas as grandezas macroscópicas do sistema fechado como meio das grandezas microscópicas associadas.
Observáveis macroscópicos
A energia interna U é a média macroscópica de todas as energias microscópicas :
Eeu{\ displaystyle E_ {i}}
você = ⟨ E ⟩ = ∑{eu novsvsesseubeue}peu Eeu = - 1Z dZdβ = - demZdβ{\ displaystyle U \ = \ \ langle \ E \ \ rangle \ = \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} p_ {i} \ E_ {i} \ = \ - \ {\ frac {1} {Z}} \ {\ frac {dZ} {d \ beta}} \ = \ - \ {\ frac {d \ ln Z} {d \ beta}}}
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Da mesma forma, para qualquer quantidade A tomando valores definidos nos microestados i associados às energias , pode-se definir o valor médio:
NOeu{\ displaystyle A_ {i}}Eeu{\ displaystyle E_ {i}}
⟨ NO ⟩ = ∑{eu novsvsesseubeue}peu NOeu{\ displaystyle \ langle \ A \ \ rangle \ = \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} p_ {i} \ A_ {i}}
|
Vamos aplicar esta fórmula em particular à entropia, assumindo que microestados definem sistemas representáveis como conjuntos microcanônicos, definimos para cada microestado i uma entropia microcanônica:
Eeu{\ displaystyle E_ {i}}
Seu = kB emΩeu = - kB empeu{\ displaystyle S_ {i} \ = \ k_ {B} \ \ ln \ Omega _ {i} \ = \ - \ k_ {B} \ \ ln p_ {i}}
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A entropia total do sistema assume a forma:
S = ⟨ Seu ⟩ = ∑{eu novsvsesseubeue}peu Seu{\ displaystyle S \ = \ \ langle \ S_ {i} \ \ rangle \ = \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} p_ {i} \ S_ {i}}
|
= - ∑{eu novsvsesseubeue}kB peu empeu{\ displaystyle \ = \ - \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} k_ {B} \ p_ {i} \ \ ln p_ {i}}
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Vamos substituir a probabilidade por sua expressão no logaritmo:
S = - kB ∑{eu novsvsesseubeue} peu × em(e-βEeu/Z){\ displaystyle S \ = \ - \ k_ {B} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} \ p_ {i} \ \ times \ \ ln ({e ^ {- \ beta E_ {i}} / Z})}
|
= + kB ∑{eu novsvsesseubeue} peu × [ βEeu+emZ ]{\ displaystyle = \ + \ k_ {B} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} \ p_ {i} \ \ times \ \ left [\ \ beta E_ {i} + \ ln Z \ \ right]}
|
De acordo com a definição de temperatura inversa, temos :, portanto:
kBβ=1/T{\ displaystyle k_ {B} \ beta = 1 / T}
S = 1T ∑{eu novsvsesseubeue} peu Eeu+kB ∑{eu novsvsesseubeue} peu emZ{\ displaystyle S \ = \ {1 \ over T} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} \ p_ {i} \ E_ {i} \ quad + \ quad k_ {B} \ \ sum _ {\ {i \ \ mathrm {acessível} \}} \ p_ {i} \ \ ln Z}
|
Reconhecemos no primeiro termo o valor médio da energia. Além disso, o logaritmo de Z é independente do índice i . Em seguida, obtemos usando a condição de normalização das probabilidades:
S = ⟨ E ⟩T + kB emZ = vocêT + kB emZ{\ displaystyle S \ = \ {\ langle \ E \ \ rangle \ over T} \ + \ k_ {B} \ \ ln Z \ = \ {U \ over T} \ + \ k_ {B} \ \ ln Z }
|
Ao aproximar esta fórmula daquela que dá a energia livre F na termodinâmica: F = U - TS , ela vem naturalmente:
F = - kBT emZ{\ displaystyle F \ = \ - \ k_ {B} T \ \ ln Z}
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ou :
Z = e-βF{\ displaystyle Z \ = \ e ^ {- \ beta F}}
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Tabela de resumo
As expressões de F , U e S são suficientes para deduzir todas as outras quantidades termodinâmicas:
Sobrenome
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Fórmula
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---|
Energia livre de Helmholz
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F = - emZβ{\ displaystyle F \ = \ - \ {\ ln Z \ over \ beta}}
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Energia interna
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você = - (∂emZ∂β)NÃO,V{\ displaystyle U \ = \ - \ \ left ({\ partial \ ln Z \ over \ partial \ beta} \ right) _ {N, V}}
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Pressão
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p = - (∂F∂V) = 1β (∂emZ∂V)NÃO,T{\ displaystyle p \ = \ - \ \ left ({\ parcial F \ over \ parcial V} \ right) \ = \ {1 \ over \ beta} \ \ left ({\ parcial \ ln Z \ parcial V} } \ right) _ {N, T}}
|
Entropia
|
S = kB (emZ+βvocê){\ displaystyle S \ = \ k_ {B} \ ({\ ln Z + \ beta U}) \,}
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Entalpia livre de Gibbs
|
G = F + pV = - emZβ + Vβ (∂emZ∂V)NÃO,T{\ displaystyle G \ = \ F \ + \ pV \ = \ - \ {\ ln Z \ over \ beta} \ + \ {V \ over \ beta} \ \ left ({\ partial \ ln Z \ over \ partial V} \ direita) _ {N, T}}
|
Entalpia
|
H = você + pV{\ displaystyle H \ = \ U \ + \ pV \,}
|
Calor específico em volume constante
|
VSV = (∂você∂T)NÃO,V{\ displaystyle C_ {V} \ = \ \ left ({\ partial U \ over \ partial T} \ right) _ {N, V} \,}
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Calor específico a pressão constante
|
VSp = (∂H∂T)NÃO,p{\ displaystyle C_ {p} \ = \ \ left ({\ parcial H \ over \ parcial T} \ right) _ {N, p} \,}
|
Potencial químico
|
µeu = - 1β (∂emZ∂NÃOeu)T,V,NÃO{\ displaystyle \ mu _ {i} \ = \ - \ {1 \ over \ beta} \ left ({\ partial \ ln Z \ over \ partial N_ {i}} \ right) _ {T, V, N }}
|
Para a última entrada, não se trata do conjunto grand-canônico. Muitas vezes é útil considerar que a energia de uma determinada molécula é distribuída entre vários modos. Por exemplo, a energia translacional é a parte da energia relacionada ao movimento do centro de massa da molécula. A energia de configuração refere-se à porção de energia associada às várias forças atrativas e repulsivas entre as moléculas do sistema. Os outros modos são todos considerados internos às moléculas. Eles incluem os modos rotacional, vibracional, eletrônico e nuclear. Se assumirmos que cada modo é independente, a energia total pode ser expressa como a soma da contribuição de cada componente:
E = Et + Evs + Enão + Ee + Er + Ev{\ displaystyle E \ = \ E_ {t} \ + \ E_ {c} \ + \ E_ {n} \ + \ E_ {e} \ + \ E_ {r} \ + \ E_ {v}}
|
onde os índices t, c, n, e, r e v correspondem às energias dos modos translacional, configuracional, nuclear, eletrônico, rotacional e vibracional, respectivamente.
Substituindo esta equação na primeira equação, obtemos:
Z = ∑euj nãoeuvenovocê eunãoternãoe no j [ ∏j∈{t,vs,não,e,r,v} exp (-βEjeuj) ]{\ displaystyle Z \ = \ \ sum _ {i_ {j} \ \ mathrm {interno \ nível \ a} \ j} \ \ left [\ \ prod _ {j \, \ in \, \ {\, t, c, n, e, r, v \, \}} \ \ exp \ (\, - \, \ beta \, E_ {ji_ {j}}) \ \ right]}
|
Graças à independência dos modos, podemos permutar a soma e o produto:
Z = ∏j∈{t,vs,não,e,r,v} [ ∑euj nãoeuvenovocê eunãoternãoe no j exp (-βEjeuj) ]{\ displaystyle Z \ = \ \ prod _ {j \, \ in \, \ {\, t, c, n, e, r, v \, \}} \ \ left [\ \ sum _ {i_ {j } \ \ mathrm {nível \ interno \ a} \ j} \ \ exp \ (\, - \, \ beta \, E_ {ji_ {j}}) \ \ direita]}
|
Assim, para cada modo, podemos definir uma função de partição associada e obter a função de partição total como o produto dessas funções de partição de modo:
Z = Zt × Zvs × Znão × Ze × Zr × Zv{\ displaystyle Z \ = \ Z_ {t} \ \ times \ Z_ {c} \ \ times \ Z_ {n} \ \ times \ Z_ {e} \ \ times \ Z_ {r} \ \ times \ Z_ {v }}
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Expressões simples são derivadas para cada um dos modos relacionados às propriedades moleculares, como frequências rotacionais e vibracionais. As expressões das várias funções de partição são fornecidas na tabela a seguir:
Modelo
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Fórmula
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---|
Nuclear
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Z = 1(T<108){\ displaystyle Z \ = \ 1 \ quad (T <10 ^ {8})}
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Eletrônico
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Z0 = exp(kBTDe+C1exp(-θe1/T)+...){\ displaystyle Z_ {0} \ = \ \ exp (k_ {B} TD_ {e} + W1 \ exp (- \ theta _ {e1} / T) + ...) \,}
|
Vibracional
|
Zv = ∏exp(-θvj/2T)1-exp(-θvj/T){\ displaystyle Z_ {v} \ = \ \ prod {\ exp ({- \ theta _ {vj} / 2T}) \ em {1- \ exp ({- \ theta _ {vj} / T})}} }
|
Rotacional (linear)
|
Zr = TσθR{\ displaystyle Z_ {r} \ = \ {T \ over \ sigma} \ theta _ {R}}
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Rotacional (não linear)
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Zr = TσπT3θ1θ2θ3{\ displaystyle Z_ {r} \ = \ {T \ over \ sigma} {\ sqrt {\ pi T ^ {3} \ over \ theta _ {1} \ theta _ {2} \ theta _ {3}}} }
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Tradução
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Zt = (2πmkBT)3/2h3{\ displaystyle Z_ {t} \ = \ {(2 \ pi mk_ {B} T) ^ {3/2} \ over {h ^ {3}}}}
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Configuração (gás ideal)
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Zvs = V{\ displaystyle Z_ {c} \ = \ V \,}
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Essas equações podem ser combinadas com as da primeira tabela para determinar a contribuição de um modo de energia específico para as propriedades termodinâmicas. Por exemplo, a "pressão rotacional" pode ser determinada desta forma. A pressão total pode ser encontrada somando as contribuições de pressão de todos os modos individuais:
p = pt + pvs + pnão + pe + pr + pv{\ displaystyle p \ = \ p_ {t} \ + \ p_ {c} \ + \ p_ {n} \ + \ p_ {e} \ + \ p_ {r} \ + \ p_ {v}}
|
Grande conjunto canônico
Se o sistema estiver aberto (ou seja, se permitir a troca de partículas com o exterior), temos que introduzir os potenciais químicos e substituir a função de partição canônica pela função de partição grande-canônica:
Ξ(V,T,µ)=∑euexp(β[∑j=1nãoµjNÃOeuj-Eeu]){\ displaystyle \ Xi (V, T, \ mu) = \ sum _ {i} \ exp \ left (\ beta [\ sum _ {j = 1} ^ {n} \ mu _ {j} N_ {ij} -E_ {i}] \ right) \,}
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onde é o número de partículas da j-ésima espécie na i-ésima configuração. Também pode acontecer que tenhamos outras variáveis para adicionar à função de partição, uma variável por quantidade mantida. A maioria deles, no entanto, pode ser facilmente interpretada como potenciais químicos. Na maioria dos problemas de matéria condensada, os efeitos são não relativísticos e a massa é conservada. A massa está inversamente relacionada à densidade, que é a variável conjugada da pressão.
NÃOeuj{\ displaystyle N_ {ij}}
No restante do artigo, ignoraremos essa dificuldade e assumiremos que os potenciais químicos não mudam nada. Vamos examinar o grande conjunto canônico.
Vamos recalcular todas as expressões usando o conjunto grand-canônico. O volume é fixo e não está incluído neste tratamento. Como antes, j é o índice das partículas da j-ésima espécie ei é o índice do i-ésimo microestado:
você=∑euEeuexp(-β[Eeu-∑j=1µjNÃOeuj])Ξ{\ displaystyle U = \ sum _ {i} {E_ {i} \ exp \ left (- \ beta [E_ {i} - \ sum _ {j = 1} \ mu _ {j} N_ {ij}] \ direita) \ over \ Xi} \,}
NÃOj=∑euNÃOeujexp(-β[Eeu-∑j=1µjNÃOeuj])Ξ{\ displaystyle N_ {j} = \ sum _ {i} {N_ {ij} \ exp \ left (- \ beta [E_ {i} - \ sum _ {j = 1} \ mu _ {j} N_ {ij }] \ direita) \ sobre \ Xi} \,}
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Sobrenome
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Fórmula
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---|
Grande potencial
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ΦG=-emΞβ{\ displaystyle \ Phi _ {G} = - {\ ln \ Xi \ over \ beta}}
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Energia interna
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você=-(∂emΞ∂β)µ+∑µeuβ(∂emΞ∂µeu)β{\ displaystyle U = - \ left ({\ partial \ ln \ Xi \ over \ partial \ beta} \ right) _ {\ mu} + \ sum {\ mu _ {i} \ over \ beta} \ left ({ \ parcial \ ln \ Xi \ over \ partial \ mu _ {i}} \ right) _ {\ beta}}
|
Número de partículas
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NÃOeu=1β(∂emΞ∂µ)β{\ displaystyle N_ {i} = {1 \ over \ beta} \ left ({\ partial \ ln \ Xi \ over \ partial \ mu} \ right) _ {\ beta}}
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Entropia
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S=kB(emΞ+βvocê-β∑euµeuNÃOeu){\ displaystyle S = k_ {B} \ left (\ ln \ Xi + \ beta U- \ beta \ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} \ right) \,}
|
Energia livre de Helmholtz
|
F=ΦG+∑euµeuNÃOeu=-emΞβ+∑µeuβ(∂emΞ∂µeu)β{\ displaystyle F = \ Phi _ {G} + \ sum _ {i} \ mu _ {i} N_ {i} = - {\ ln \ Xi \ over \ beta} + \ sum {\ mu _ {i} \ over \ beta} \ left ({\ partial \ ln \ Xi \ over \ partial \ mu _ {i}} \ right) _ {\ beta} \,}
|
Notas e referências
-
J. Willard Gibbs e Marcel Brillouin (introdução) ( trad. F. Cosserat), Princípios elementares de mecânica estatística , Paris, Hermann , col. "Scientific and News Industrial" ( n o 1440),1998, 195 p. ( ISBN 978-2-7056-6341-4 , OCLC 39142648 , aviso BnF n o FRBNF36703719 ). Ver também: Luis Navarro, Gibbs, Einstein and the Foundations of Statistical Mechanics , Archive for History of Exact Sciences 53 147-180 (1998).
-
A hipótese ergódica de Domokos Szasz Botzmann, uma conjectura de séculos? , Studia Scientiarium Mathematicarum, Hungarica (Budapeste) 31 (1996) 299-322.
-
Cf. Frederic Reif; Física Estatística, Curso de Física de Berkeley (vol. 5), Armand Colin (1972), parágrafo 3.5
-
Excluídos, por exemplo, alguns sistemas de spin onde a energia cinética das partículas é ignorada. Cf. Reif, op. cit.
-
Cf. Reif, op. cit.
Veja também
Bibliografia
Biblioteca virtual
- Roger Balian; Física fundamental e energética: as muitas faces da energia : curso ministrado pelo autor (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) na primeira Escola de Verão “e2phy”: Energia em todas as suas formas: dados científicos, restrições, questões , 27-30 de agosto de 2001, Site da Universidade de Caen.
- Roger Balian; Entropia, informação: um conceito multiforme : texto de uma conferência dada pelo autor (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) na University of All Knowledge (239ª conferência: Estados da matéria,26 de agosto de 2000, Conservatório Nacional de Artes e Ofícios, Paris). Publicado por Yves Michaud (editor); Universidade de todos os conhecimentos (Vol. 4), Odile Jacob (2001) pp. 947–959 / Repris em edição de bolso: University of all knowledge (Vol. 17), Poches Odile Jacob (2002) pp. 205–220
- Roger Balian; Tempo macroscópico : texto de uma conferência sobre irreversibilidade e entropia dada pelo autor (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) durante a primeira conferência "Physics & Fundamental Interrogations": Le Temps et sa Flèche organizado pela Sociedade Francesa de Física em8 de dezembro de 1993em Paris. Publicado por: Étienne Klein & Michel Spiro (editores); Le Temps et sa Flèche , Les Éditions Frontières (1994) pp. 155–211. Retirado no bolso por Flammarion, Collection Champs (1995).
- Roger Balian; Entropia, um conceito protéico : texto (em inglês) de uma palestra introdutória proferida pelo autor (Service de Physique Théorique du CEA, Saclay) no seminário de Poincaré de6 de dezembro de 2003dedicado à entropia. Publicado em: J. Dalibard, B. Duplantier e V. Rivasseau (eds.); Seminário de Poincaré 2003 , Progress in Mathematical Physics 38, Birkhäuser (2004) 119-144, ISBN.
-
[PDF] Curso detalhado
Popularização
- Bernard Diu, Os átomos realmente existem? , Odile Jacob (1997), ( ISBN 9782738104212 ) .
- Philippe Depondt, Entropy and all that - The novel of termodinâmica , Cassini (2002), ( ISBN 2842250443 ) .
-
Peter W. Atkins , Heat & Disorder - The Second Principle of Thermodynamics , "The Universe of Science" Collection, Belin / Pour La Science (1987) 216 p., ( ISBN 2902918402 ) . Popularização da termodinâmica do ponto de vista macroscópico e microscópico. Nível de graduação.
Livros de referência
-
Georges Bruhat , Física Geral Course - Termodinâmica , Masson ( 6 ª edição, 1968) 912 pp. Este curso de referência, que se tornou um “clássico”, está acessível desde o primeiro ciclo universitário. Esta 6 ª edição foi revista e ampliada por Alfred Kastler .
-
Yves Rocard , Thermodynamique , Masson ( 2 nd edition-1967) 540 pp. Este outro curso de referência, que também se tornou um “clássico”, está acessível desde o primeiro ciclo universitário.
Introdução à física estatística
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Frederick Reif ( traduzido por Pierre Turon), Cours de Physique de Berkley, Volume 5: Física Estatística [" Curso de Física de Berkeley, Volume 5: Física Estatística "], DUNOD,2000, 397 p. ( ISBN 978-2-10-004935-6 ). Este famoso curso da década de 1960 está acessível a um estudante de graduação.
- Bernard Jancovici, Thermodynamics & Statistical Physics , Ediscience (1969) 186 pp. Republicado (sem os exercícios) pela Nathan University em sua coleção "128 ciências" (1996) 128 pp. Este pequeno livro é um curso introdutório à termodinâmica por meio da física estatística elementar. Nível de graduação.
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Percy W. Bridgman , The Nature of Thermodynamics , Harvard University Press (1941) 230 pp. Reflexões sobre o significado dos 2 princípios da termodinâmica. Este livro contém algumas equações, acessíveis no nível de graduação.
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(pt) Mark W. Zemansky e Richard H. Dittman, Calor e termodinâmica: um livro didático intermediário , Auckland Cingapura, McGraw-Hill,Mil novecentos e oitenta e um, 6 th ed. ( 1 st ed. 1937), 544 p. ( ISBN 978-0-07-066647-4 , OCLC 450205456 ). A primeira metade deste volume é um curso de termodinâmica puramente macroscópica de acordo com uma abordagem experimental: o ponto de partida é o conceito de temperatura usual. Esta primeira parte do trabalho está acessível na graduação. (A segunda metade do livro é dedicada à abordagem da termodinâmica por meio da física estatística. Esta parte é mais para o nível de pós-graduação.)
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(pt) Herbert B. Callen, Termodinâmica e uma introdução à termostatística , Nova York, John Wiley & Sons ,1985, 2 nd ed. , 493 p. ( ISBN 978-0-471-86256-7 e 978-0-471-61056-4 , OCLC 11916089 , leia online ). Este livro é o companheiro ideal para o trabalho anterior. De fato, a primeira parte (2/3) deste volume é um curso de termodinâmica puramente macroscópica de acordo com uma abordagem axiomática: os postulados são apresentados no primeiro capítulo, o conceito de temperatura é deduzido dele no capítulo seguinte. Esta primeira parte do trabalho está acessível na graduação, embora alguns desenvolvimentos formais sejam em um nível superior. (A segunda parte (1/3) do livro é dedicada à abordagem da termodinâmica por meio da física estatística. Esta parte é mais para o nível de graduação.)
- Ryogo Kubo, Thermodynamics , John Wiley & Sons (1960) pp. Trabalho clássico de termodinâmica. Nível universitário de segundo ciclo.
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(pt) Alfred Brian Pippard , Elementos de termodinâmica clássica: para estudantes avançados de física , Cambridge, Eng, Cambridge University Press ,Mil novecentos e oitenta e um, 165 p. ( ISBN 0-521-09101-2 e 978-0-521-09101-5 , OCLC 22321936 ). Nível universitário de segundo ciclo.
Nível universitário de segundo ciclo
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Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer e Bernard Roulet, Elementos de física estatística ,1996[ detalhe da edição ].
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Roger Balian et al. , Do microscópico ao macroscópico: curso de física estatística na École polytechnique , Palaiseau Paris, École polytechnique Ellipses ,1982, 639 p. , 2 vol. ( ISBN 978-2-7298-9000-1 e 978-2-729-89001-8 , observe BnF n o FRBNF34724593 ). Um curso de física estatística, que se baseia em conhecimentos prévios de Mecânica Quântica.
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(pt) Frederic Reif , Fundamentos de física estatística e térmica , New York, McGraw-Hill ,1965, 651 p. ( ISBN 978-0-07-051800-1 ) Trabalho clássico em física estatística. Nível universitário de segundo ciclo.
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(pt) Linda E. Reichl , Um curso moderno em física estatística , Nova York, John Wiley & Sons ,1998, 2 nd ed. , 822 p. ( ISBN 978-0-471-59520-5 ). Uma obra moderna e já clássica. Nível universitário de segundo ciclo.
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(en) Kerson Huang (en) , Mecânica estatística , Nova York, John Wiley & Sons ,1987, 2 nd ed. , 493 p. ( ISBN 978-0-471-81518-1 e 978-0-471-85913-0 ). Trabalho clássico em física estatística. Nível universitário de segundo ciclo.
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(en) Ryōgo Kubo , Statistical Mechanics , John Wiley & Sons (1965) republicado por North-Holland 426 páginas, ( ISBN 0-444-87103-9 ) .Trabalho clássico em física estatística. Nível universitário de segundo ciclo.
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(pt) Alexandre Khintchine ( trad. G. Gamow), Fundamentos matemáticos da mecânica estatística [“Matematicheskie osnovanii︠a︡ statisticheskoĭ mekhaniki”], Nova York, Dover Publications ,1949, 179 p. ( ISBN 978-0-486-60147-2 , leia online ). Trabalho clássico sobre os fundamentos da física estatística, em particular a hipótese ergódica. Nível universitário de segundo ciclo.
Aspectos históricos
- Robert Locqueneux, Pré-história e História da Termodinâmica Clássica (A história do calor) , Cadernos de História e Filosofia das Ciências n ° 45, Sociedade Francesa de História das Ciências e Técnicas (Dezembro de 1996) 333 pp. ( ISSN 0221-3664 ) . Ensaio sobre as teorias do calor nos séculos XVIII e XIX. Nível de graduação.
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Jean-Pierre Maury, Carnot e a máquina a vapor , Paris, Presses Universitaires de France , col. "Filosofias",1986, 127 p. ( ISBN 978-2-13-039880-6 , OCLC 416641388 , aviso BnF n o FRBNF34905835 ). História do desenvolvimento de motores a vapor desde o nascimento no XVII º século para o trabalho teórico de Carnot ( "Reflexões sobre a Motive Power of Fire" - 1824) que lançar as bases de thermodynamque. Nível de graduação.
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Anouk Barberousse , Mecânica estatística: de Clausius a Gibbs , Paris, Belin , col. "História da ciência",2002, 239 p. ( ISBN 978-2-7011-3073-6 , aviso BnF n o FRBNF38945668 )Esta coleção original oferece uma história do desenvolvimento da teoria cinética dos gases com base em extratos dos grandes textos fundadores (traduzidos para o francês) colocados em perspectiva contemporânea por um historiador da ciência. Acessível desde o nível de graduação.
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(pt) Stephen G. Brush (Livro 1. Física e os atomistas - Livro 2. Física estatística e processos irreversíveis.), O tipo de movimento que chamamos de calor: uma história da teoria cinética dos gases no século 19 , Amsterdã New York New York, distribuidores North-Holland Sole para os EUA e Canadá, Elsevier Science Pub. Co, col. “Biblioteca pessoal da Holanda do Norte. ",1986, 467 p. , 2 volumes ( ISBN 978-0-444-87008-7 e 978-0-444-87009-4 ). História acadêmica do desenvolvimento da teoria cinética dos gases, por um professor de Mecânica dos Fluidos da Universidade de Maryland (EUA). Após uma breve introdução geral (parte A), o primeiro volume adota uma abordagem classificada por autor (parte B). O segundo volume (parte C) discute mais especificamente certos problemas e termina com uma bibliografia (parte D) que se refere à literatura original. Acessível desde o nível de graduação.
- Peter M. Harman, Energia, Força e Matéria - Os Desenvolvimentos Conceituais da Física do Século 19 , Cambridge University Press (1982) pp. ISBN. História do desenvolvimento da física no XIX th século. Acessível desde o nível de graduação.
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(en) PM Harman , A filosofia natural de James Clerk Maxwell , Cambridge, UK New York, Cambridge University Press ,2001, 232 p. ( ISBN 978-0-521-00585-2 , leia online ). A filosofia natural do Professor Maxwell, fundador da teoria da eletrodinâmica e autor de importantes contribuições na teoria cinética dos gases. Acessível desde o nível de graduação.
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(pt) Carlo Cercignani , Ludwig Boltzmann: o homem que confiou nos átomos , Oxford New York, Oxford University Press ,1998, 329 p. ( ISBN 978-0-19-850154-1 e 978-0-198-57064-6 , OCLC 38910156 , leia online ). Biografia científica de Ludwig Boltzmann, que levou a teoria cinética dos gases ao auge. Em vez de segundo nível universitário.
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(pt) Paul Ehrenfest e Tatiana Ehrenfest, Os fundamentos conceituais da abordagem estatística em mecânica , Nova York, Dover Publications , coll. "Livros de Dover sobre física e química",1990, 114 p. ( ISBN 978-0-486-16314-7 , leia online ). Reedição de um artigo clássico publicado originalmente em 1912 (em alemão). Nível universitário de segundo ciclo.
Formulários
- (pt) Jingfang Fan, Jun Meng, Josef Ludescher, Xiaosong Chen, Yosef Ashkenazy et al. , “ Abordagens da física estatística para o sistema terrestre complexo ” , Physics Reports , vol. 896,18 de fevereiro de 2021, p. 1-84 ( DOI 10.1016 / j.physrep.2020.09.005 )
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Conferência
- Conferência-debate Da física estatística à inteligência artificial , com Marc Mézard ( Inferência estatística e transições de fase ), físico, diretor da École normale supérieure, Paris; Lenka Zdeborová ( Modelagem Física Estatística do Aprendizado de Máquina ), física, pesquisadora do Instituto de Física Teórica, CEA Saclay; Romain Couillet ( Teoria da Matriz Aleatória e Inteligência Artificial ), físico, professor na CentraleSupélec, Universidade Paris Saclay e Stéphane Mallat ( Redes Neurais Profundas e Física Estatística Multiescala ), matemático, professor do Collège de France, membro da Academia de Ciências; Conferências da Academia de Ciências