Equação de onda

A equação de onda (às vezes chamada de equação de onda ou equação de d'Alembert ) é a equação geral que descreve a propagação de uma onda , que pode ser representada por uma quantidade escalar ou vetorial.

No caso vetorial, no espaço livre, em meio homogêneo , linear e isotrópico , a equação de onda é escrita:

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {E}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {E}}} { \ parcial t ^ {2}}}.}

O operador

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ Delta = \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {j} ^ {2}}}}

(onde N é a dimensão do espaço) é chamado de Laplaciano e às vezes notamos

{\ displaystyle \ square = \ Delta - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}}

o operador de onda, ou d'alembertien .

${\ vec {E}}$ descreve a amplitude da onda e sua polarização (por seu caráter vetorial). que pode ser assimilado à velocidade de propagação da onda. Por exemplo, no caso de uma onda sonora, c é a velocidade do som é 343 m / s no ar a 20 ° C. No caso de fenômenos mais complexos, como a propagação da onda variando com sua frequência (ou seja, a dispersão), substituímos c pela velocidade de fase:

{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}

Olhando para cada um dos componentes de (projetando a relação em cada uma das direções do espaço), obtemos uma equação relativa a um escalar, chamada de equação de d'Alembert : ${\ vec {E}}$

{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ {2}}}.}

Histórico

O estabelecimento da equação de onda veio do estudo das vibrações de uma corda de violino . Para modelar este comportamento, matemáticos XVII th século ter aplicado a segunda lei de Newton para o cabo, em primeiro lugar visto como um conjunto finito de pontos de massa ligados por meio de molas (cujo comportamento é dado pela lei de Hooke estabelecida em 1660), antes de aumentar o número de massas para se aproximar da corda.

Em 1727, Jean Bernoulli retomou a experiência da corda de violino e observou que suas vibrações formam uma senoide e que a variação de sua amplitude em um ponto também forma uma curva senoidal, destacando assim os modos. Em 1746, Jean le Rond d'Alembert adotou o modelo das massas pontuais ligadas por molas e estabeleceu apenas a partir das equações que as vibrações da corda dependem do espaço e do tempo.

A equação unidimensional do espaço

Estabelecido pelas leis de Newton e Hooke

Considere uma cadeia de pontos de massa m interconectados por molas sem massa de comprimento he rigidez k :

Considere u ( x ) o deslocamento da massa m em x em relação à sua posição de repouso horizontal. As forças exercidas sobre a massa m no ponto x + h são:

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {Newton}} = m \ cdot a (t) = m \ cdot {{\ parcial ^ {2} \ over \ parcial t ^ {2}} u (x + h, t) }}

{\ displaystyle F _ {\ mathrm {Hooke}} = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k \ left [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t)} \ right ] -k [u (x + h, t) -u (x, t)]}

O deslocamento da massa no ponto x + h é, portanto, dado por:

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {k \ over m} [u (x + 2h, t) -u (x + h , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}

A mudança de notações torna possível tornar explícita a dependência de u ( x ) no tempo.

Considerando uma cadeia de N massas equidistantes distribuídas ao longo de um comprimento L = Nh , de massas totais M = Nm e de rigidez total K = k / N , obtemos:

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ sobre h ^ {2}}}

Fazendo N tender para o infinito e, portanto, h para 0 (considerando o comprimento total como restante finito), sob suposições de regularidade, obtemos:

{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ parcial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ parcial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}}

com $c 2 = KL 2 ⁄ M = kh 2 ⁄ m$ o quadrado da velocidade de propagação da deformação.

Resolução

Na dimensão 1 do espaço, a equação é escrita

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ parcial t ^ {2}}}.}

Quando a variável atravessa toda a linha real, a solução geral desta equação é a soma de duas funções: $z$

{\ displaystyle U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct).}

Na verdade, podemos escrever:

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ parcial t ^ {2}}} \ direita) U (z, t) = 0}

é :

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ left ({ \ frac {\ partial} {\ partial z}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) U (z, t) = 0}

e se definirmos a = z - ct e b = z + ct , obtemos:

\ left (\ frac {\ partial} {\ partial a} \ right) \ left (\ frac {\ partial} {\ partial b} \ right) V (a, b) = 0

{\ displaystyle V (a, b) = U \ left ({\ frac {a + b} {2}}, {\ frac {ba} {2c}} \ right)}

que é resolvido em: tanto $V (a, b) = F (a) + G (b)$ $U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct)$

O primeiro termo é uma onda que se propaga na direção de z crescente (chamada de onda progressiva) e o segundo termo na direção de z decrescente (chamada de onda regressiva).

No caso de um problema com condição inicial, as funções F e G estão diretamente relacionadas a elas: para as condições iniciais do formulário

\ begin {cases} U (z, 0) & = f (z), \\ \ partial_t U (z, 0) & = g (z) \ end {cases}

a solução é escrita na forma chamada "fórmula de d'Alembert":

{\ displaystyle U (z, t) = {\ frac {1} {2}} f (z-ct) + {\ frac {1} {2}} f (z + ct) + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {z-ct} ^ {z + ct} g (s) \, \ mathrm {d} s.}

Equação de onda na dimensão 3

No caso de uma onda escalar em um meio homogêneo, é aconselhável trabalhar em coordenadas esféricas para resolver a equação de onda:

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}}.}

Reescrevendo a equação como:

{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} (ru)} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ { 2} (ru)} {\ parcial r ^ {2}}} = 0,}

acontece, tomando novamente os cálculos feitos no problema 1D, que a solução é escrita na forma:

{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {1} {r}} F (r-ct) + {\ frac {1} {r}} G (r + ct),}

onde F e G são funções arbitrárias.

Parece, assim, que as soluções são ondas esféricas, propagando-se ou aproximando-se do ponto de origem do referencial, considerado como ponto fonte, onde as ondas são singulares enquanto se afastam com amplitude decrescente em 1 ⁄ r .

Conservação de energia

Se for uma solução da equação de onda, então a energia $você$

{\ displaystyle E (u (t)) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ left | {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t }} (t, x) \ right | ^ {2} \ mathrm {d} x + {\ frac {c ^ {2}} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ esquerda | \ nabla u (t, x) \ direita | ^ {2} \ mathrm {d} x}

é retido ao longo do tempo. Aqui, observamos a dimensão do espaço e $NÃO$

{\ displaystyle \ left | \ nabla u (t, x) \ right | ^ {2} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ { j}}} (t, x) \ right | ^ {2}.}

Equação em um domínio limitado com condição de limite

Podemos também considerar a equação de onda em um domínio do espaço : $D$

{\ displaystyle \ square u (t, x) = 0 \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in D}

com condições de contorno , por exemplo:

{\ displaystyle u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ partial D}

( condições de contorno de Dirichlet ) onde é a borda do campo , ou $\ parcial D$ $D$

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ partial D}

( condições de contorno de Neumann ) onde é a derivada normal externa na borda . $\ parcial _ {\ nu}$ $\ parcial D$

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente de um artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Wave equation " ( ver a lista de autores ) .

Douglas C. Giancoli, Física Geral: Ondas, Óptica e Física Moderna ,1993, 488 p. ( ISBN 978-2-8041-1702-3 , leitura online ) , p. 20.
Ian Stewart, 17 equações que Mudou o Mundo , Flammarion , "Capítulo 8: Good Vibes - The Wave Equation"

Veja também

Onda em uma corda vibrante