Equação de onda
A equação de onda (às vezes chamada de equação de onda ou equação de d'Alembert ) é a equação geral que descreve a propagação de uma onda , que pode ser representada por uma quantidade escalar ou vetorial.
No caso vetorial, no espaço livre, em meio homogêneo , linear e isotrópico , a equação de onda é escrita:
∇2E→=1vs2∂2E→∂t2.{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {E}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {E}}} { \ parcial t ^ {2}}}.}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} {\ vec {E}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {\ vec {E}}} { \ parcial t ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d830a299dd51984f0c96abbc9ee1b9191fff8e)
O operador
∇2=Δ=∑j=1NÃO∂2∂xj2{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ Delta = \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {j} ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ nabla ^ {2} = \ Delta = \ sum _ {j = 1} ^ {N} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {j} ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/443e9d8583d2485cb451f2cc2ec40b2642e825ea)
(onde N é a dimensão do espaço) é chamado de Laplaciano e às vezes notamos
◻=Δ-1vs2∂2∂t2{\ displaystyle \ square = \ Delta - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}}![{\ displaystyle \ square = \ Delta - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/239a6a56b29b0b6cfcce3d7f89b235cf5796735b)
o operador de onda, ou d'alembertien .
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}
descreve a amplitude da onda e sua polarização (por seu caráter vetorial). que pode ser assimilado à velocidade de propagação da onda. Por exemplo, no caso de uma onda sonora, c é a velocidade do som é 343 m / s no ar a 20 ° C. No caso de fenômenos mais complexos, como a propagação da onda variando com sua frequência (ou seja, a dispersão), substituímos c pela velocidade de fase:
vp=ωk.{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}![{\ displaystyle v _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {\ omega} {k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/821444dae59cf393e5b364dcdc0391fb998a50e9)
Olhando para cada um dos componentes de (projetando a relação em cada uma das direções do espaço), obtemos uma equação relativa a um escalar, chamada de equação de d'Alembert :
E→{\ displaystyle {\ vec {E}}}![{\ vec {E}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc18ae485a72f148e85ccbeff2b3dcdd4f5f3f7)
Δvocê=1vs2∂2você∂t2.{\ displaystyle \ Delta U = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial t ^ {2}}}.}
Histórico
O estabelecimento da equação de onda veio do estudo das vibrações de uma corda de violino . Para modelar este comportamento, matemáticos XVII th século ter aplicado a segunda lei de Newton para o cabo, em primeiro lugar visto como um conjunto finito de pontos de massa ligados por meio de molas (cujo comportamento é dado pela lei de Hooke estabelecida em 1660), antes de aumentar o número de massas para se aproximar da corda.
Em 1727, Jean Bernoulli retomou a experiência da corda de violino e observou que suas vibrações formam uma senoide e que a variação de sua amplitude em um ponto também forma uma curva senoidal, destacando assim os modos. Em 1746, Jean le Rond d'Alembert adotou o modelo das massas pontuais ligadas por molas e estabeleceu apenas a partir das equações que as vibrações da corda dependem do espaço e do tempo.
A equação unidimensional do espaço
Estabelecido pelas leis de Newton e Hooke
Considere uma cadeia de pontos de massa m interconectados por molas sem massa de comprimento he rigidez k :
![Array of masses.svg](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/Array_of_masses.svg/300px-Array_of_masses.svg.png)
Considere u ( x ) o deslocamento da massa m em x em relação à sua posição de repouso horizontal. As forças exercidas sobre a massa m no ponto x + h são:
FNÃOeCtonão=m⋅no(t)=m⋅∂2∂t2você(x+h,t){\ displaystyle F _ {\ mathrm {Newton}} = m \ cdot a (t) = m \ cdot {{\ parcial ^ {2} \ over \ parcial t ^ {2}} u (x + h, t) }}
FHooke=Fx+2h-Fx=k[você(x+2h,t)-você(x+h,t)]-k[você(x+h,t)-você(x,t)]{\ displaystyle F _ {\ mathrm {Hooke}} = F_ {x + 2h} -F_ {x} = k \ left [{u (x + 2h, t) -u (x + h, t)} \ right ] -k [u (x + h, t) -u (x, t)]}
O deslocamento da massa no ponto x + h é, portanto, dado por:
∂2∂t2você(x+h,t)=km[você(x+2h,t)-você(x+h,t)-você(x+h,t)+você(x,t)]{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {k \ over m} [u (x + 2h, t) -u (x + h , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}![{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {k \ over m} [u (x + 2h, t) -u (x + h , t) -u (x + h, t) + u (x, t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03475672d64f1c412bad36c0f800a70b6fec6057)
A mudança de notações torna possível tornar explícita a dependência de u ( x ) no tempo.
Considerando uma cadeia de N massas equidistantes distribuídas ao longo de um comprimento L = Nh , de massas totais M = Nm e de rigidez total K = k / N , obtemos:
∂2∂t2você(x+h,t)=Keu2Mvocê(x+2h,t)-2você(x+h,t)+você(x,t)h2{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ sobre h ^ {2}}}![{\ displaystyle {\ partial ^ {2} \ over \ partial t ^ {2}} u (x + h, t) = {KL ^ {2} \ over M} {u (x + 2h, t) -2u (x + h, t) + u (x, t) \ sobre h ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1aa99d0d1610304cec06dceb044d459cb69a80)
Fazendo N tender para o infinito e, portanto, h para 0 (considerando o comprimento total como restante finito), sob suposições de regularidade, obtemos:
∂2você(x,t)∂t2=Keu2M∂2você(x,t)∂x2{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ parcial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ parcial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}}![{\ displaystyle {\ partial ^ {2} u (x, t) \ over \ parcial t ^ {2}} = {KL ^ {2} \ over M} {\ parcial ^ {2} u (x, t) \ over \ partial x ^ {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93b4aabf194998fd8c53a8c8a4c15f2c8c9b645b)
com c 2 = KL 2 ⁄ M = kh 2 ⁄ m o quadrado da velocidade de propagação da deformação.
Resolução
Na dimensão 1 do espaço, a equação é escrita
∂2você∂z2=1vs2∂2você∂t2.{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ parcial t ^ {2}}}.}![{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ partial z ^ {2}}} = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} U} {\ parcial t ^ {2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767c175f7c39d3cbcd08682cb9b43ed641be67de)
Quando a variável atravessa toda a linha real, a solução geral desta equação é a soma de duas funções:
z{\ displaystyle z}![z](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
você(z,t)=F(z-vst)+G(z+vst).{\ displaystyle U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct).}![{\ displaystyle U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce277d5a14b7aa766d8b6a0e1f7d598b3aa8982)
Na verdade, podemos escrever:
(∂2∂z2-1vs2∂2∂t2)você(z,t)=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ parcial t ^ {2}}} \ direita) U (z, t) = 0}![{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ { 2}} {\ parcial t ^ {2}}} \ direita) U (z, t) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b42c7dca849c5670f43b47e4f786413a09b9204)
é :
(∂∂z-1vs∂∂t)(∂∂z+1vs∂∂t)você(z,t)=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ left ({ \ frac {\ partial} {\ partial z}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) U (z, t) = 0}![{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial z}} - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) \ left ({ \ frac {\ partial} {\ partial z}} + {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ right) U (z, t) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e69805e48bddd20cf85fa5d2f106173c91b118ed)
e se definirmos a = z - ct e b = z + ct , obtemos:
(∂∂no)(∂∂b)V(no,b)=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial a}} \ right) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial b}} \ right) V (a, b) = 0}![\ left (\ frac {\ partial} {\ partial a} \ right) \ left (\ frac {\ partial} {\ partial b} \ right) V (a, b) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1643aebb64c9277c31f84ab6a8b9f48162f8f25)
ou
V(no,b)=você(no+b2,b-no2vs){\ displaystyle V (a, b) = U \ left ({\ frac {a + b} {2}}, {\ frac {ba} {2c}} \ right)}
que é resolvido em: tantoV(no,b)=F(no)+G(b){\ displaystyle V (a, b) = F (a) + G (b)}
você(z,t)=F(z-vst)+G(z+vst){\ displaystyle U (z, t) = F (z-ct) + G (z + ct)}
O primeiro termo é uma onda que se propaga na direção de z crescente (chamada de onda progressiva) e o segundo termo na direção de z decrescente (chamada de onda regressiva).
No caso de um problema com condição inicial, as funções F e G estão diretamente relacionadas a elas: para as condições iniciais do formulário
{você(z,0)=f(z),∂tvocê(z,0)=g(z){\ displaystyle {\ begin {cases} U (z, 0) & = f (z), \\\ parcial _ {t} U (z, 0) & = g (z) \ end {cases}}}![\ begin {cases} U (z, 0) & = f (z), \\ \ partial_t U (z, 0) & = g (z) \ end {cases}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be7fc639677ce6a913c0c45ed01704419f0a8e74)
a solução é escrita na forma chamada "fórmula de d'Alembert":
você(z,t)=12f(z-vst)+12f(z+vst)+12vs∫z-vstz+vstg(s)ds.{\ displaystyle U (z, t) = {\ frac {1} {2}} f (z-ct) + {\ frac {1} {2}} f (z + ct) + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {z-ct} ^ {z + ct} g (s) \, \ mathrm {d} s.}![{\ displaystyle U (z, t) = {\ frac {1} {2}} f (z-ct) + {\ frac {1} {2}} f (z + ct) + {\ frac {1} {2c}} \ int _ {z-ct} ^ {z + ct} g (s) \, \ mathrm {d} s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ad481db15079839298594e559341eae93e625b)
Equação de onda na dimensão 3
No caso de uma onda escalar em um meio homogêneo, é aconselhável trabalhar em coordenadas esféricas para resolver a equação de onda:
1vs2∂2você∂t2=∂2você∂r2+2r∂você∂r.{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}}.}![{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial t ^ {2}}} = {\ frac {\ parcial ^ {2} u} {\ parcial r ^ {2}}} + {\ frac {2} {r}} {\ frac {\ parcial u} {\ parcial r}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c79a6de35f9be2fa532d22c7fcdbdf983c84358)
Reescrevendo a equação como:
1vs2∂2(rvocê)∂t2-∂2(rvocê)∂r2=0,{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} (ru)} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ { 2} (ru)} {\ parcial r ^ {2}}} = 0,}![{\ displaystyle {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} (ru)} {\ partial t ^ {2}}} - {\ frac {\ partial ^ { 2} (ru)} {\ parcial r ^ {2}}} = 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1ca220f5cba3d1fa0b175242ca3d3e9c24af329)
acontece, tomando novamente os cálculos feitos no problema 1D, que a solução é escrita na forma:
você(r,t)=1rF(r-vst)+1rG(r+vst),{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {1} {r}} F (r-ct) + {\ frac {1} {r}} G (r + ct),}![{\ displaystyle u (r, t) = {\ frac {1} {r}} F (r-ct) + {\ frac {1} {r}} G (r + ct),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30058fddab08d871414a20045c88254fc81b5fc2)
onde F e G são funções arbitrárias.
Parece, assim, que as soluções são ondas esféricas, propagando-se ou aproximando-se do ponto de origem do referencial, considerado como ponto fonte, onde as ondas são singulares enquanto se afastam com amplitude decrescente em 1 ⁄ r .
Conservação de energia
Se for uma solução da equação de onda, então a energia
você{\ displaystyle u}![você](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
E(você(t))=12∫RNÃO|∂você∂t(t,x)|2dx+vs22∫RNÃO|∇você(t,x)|2dx{\ displaystyle E (u (t)) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ left | {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t }} (t, x) \ right | ^ {2} \ mathrm {d} x + {\ frac {c ^ {2}} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ esquerda | \ nabla u (t, x) \ direita | ^ {2} \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle E (u (t)) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ left | {\ frac {\ parcial u} {\ parcial t }} (t, x) \ right | ^ {2} \ mathrm {d} x + {\ frac {c ^ {2}} {2}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ esquerda | \ nabla u (t, x) \ direita | ^ {2} \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642f08647daa8cf1aceb8388bd66c6df3c8c4d73)
é retido ao longo do tempo. Aqui, observamos a dimensão do espaço e
NÃO{\ displaystyle N}![NÃO](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e3890c981ae85503089652feb48b191b57aae3)
|∇você(t,x)|2=∑j=1NÃO|∂você∂xj(t,x)|2.{\ displaystyle \ left | \ nabla u (t, x) \ right | ^ {2} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ { j}}} (t, x) \ right | ^ {2}.}![{\ displaystyle \ left | \ nabla u (t, x) \ right | ^ {2} = \ sum _ {j = 1} ^ {N} \ left | {\ frac {\ partial u} {\ partial x_ { j}}} (t, x) \ right | ^ {2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1afbfdde3161004a5e0d35e37a4fc5245630984b)
Equação em um domínio limitado com condição de limite
Podemos também considerar a equação de onda em um domínio do espaço :
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
◻você(t,x)=0t∈R,x∈D{\ displaystyle \ square u (t, x) = 0 \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in D}![{\ displaystyle \ square u (t, x) = 0 \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3311f2481fc6717903dd0f1fef1812a53e3cc546)
com condições de contorno , por exemplo:
você(t,x)=0,t∈R,x∈∂D{\ displaystyle u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ partial D}![{\ displaystyle u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ partial D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eef1aadb81cb6c102540552fcd1bf6781cd37c1)
( condições de contorno de Dirichlet ) onde é a borda do campo , ou
∂D{\ displaystyle \ parcial D}
D{\ displaystyle D}![D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6)
∂νvocê(t,x)=0,t∈R,x∈∂D{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ partial D}![{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} u (t, x) = 0, \ quad t \ in \ mathbb {R}, \ quad x \ in \ partial D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36dc0339e6fbc2cb7cb4673ac2261e51e5e18dc)
( condições de contorno de Neumann ) onde é a derivada normal externa na borda .
∂ν{\ displaystyle \ partial _ {\ nu}}
∂D{\ displaystyle \ parcial D}![\ parcial D](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8fb77a08a342eb44226f19fd7c30314628075a1)
Notas e referências
-
Douglas C. Giancoli, Física Geral: Ondas, Óptica e Física Moderna ,1993, 488 p. ( ISBN 978-2-8041-1702-3 , leitura online ) , p. 20.
-
Ian Stewart, 17 equações que Mudou o Mundo , Flammarion , "Capítulo 8: Good Vibes - The Wave Equation"
Veja também
Onda em uma corda vibrante
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">