As equações diferenciais lineares de ordem 1 são equações diferenciais da forma
onde a , b e c são funções que vamos supor para ser contínuo.
Essas equações podem ser resolvidas por processos sistemáticos, recorrendo ao cálculo de primitivas . Em certos casos particulares, por exemplo, quando c é zero (fala-se então de equações diferenciais lineares homogêneas), pode-se esperar obter expressões explícitas das soluções usando as funções usuais.
A rigor, é necessário usar o nome de equações diferenciais escalares lineares de ordem 1 , para significar que a função desconhecida y tem valores reais ou complexos. A equação diferencial de matriz , com vetores coluna Y e C e matrizes quadradas A e B , é de fato também uma equação diferencial linear de ordem 1. Este significado mais geral é estudado no artigo “ Equação diferencial linear ”.
Essas são as equações que se resumem em onde k é um número real. Encontramos este tipo de equações:
As soluções de tal equação são as funções definidas em ℝ por
onde C é um real cujo valor é determinado assim que as condições iniciais são conhecidas: se para temos então .
Podemos ver este resultado como um caso especial do § abaixo, ou demonstrá-lo diretamente .
No caso geral, a equação diferencial linear homogênea é escrita
ou em suma:
.Trabalhando em um intervalo I, onde a função a não desaparece, e observando
uma primitiva da função ,as soluções em I são as funções do formulário
onde K é uma constante cujo valor é determinado pelos dados das condições iniciais.
O cálculo da antiderivada A nem sempre é alcançável usando as funções usuais; a solução pode, portanto, ter apenas uma expressão em forma integral.
Esta resolução da equação homogênea com coeficientes não constantes é, por sua vez, um caso particular do § “Caso geral” abaixo.
Se a equação diferencial tiver um segundo membro (se c for uma função diferente de zero), basta encontrar uma solução particular da equação para conhecê-los todos. De fato, as soluções da equação diferencial são as funções onde g é uma solução geral da equação homogênea.
O problema geralmente é determinar essa solução específica.
Se c é a soma de duas funções c 1 e c 2 , podemos procurar uma solução particular da equação diferencial do segundo membro c 1 , então uma solução particular da equação diferencial do segundo membro c 2 , então a soma dessas duas soluções particulares. Em seguida, obtemos uma solução particular da equação inicial.
Geralmente obtemos equações do tipo . Essas equações são usadas para modelar, por exemplo, a carga ou descarga de um capacitor em um circuito RC.
O conjunto de soluções são as funções f definidas em ℝ por
onde C é um real sendo determinado pelos dados das condições iniciais, por exemplo, que então dá:
Em seguida, procuraremos uma solução específica para o formulário
Um método para resolver uma equação com o segundo membro
é o método de variáveis constantes . Isso consiste em reduzir, por uma mudança de função variável, a um problema de cálculo de uma antiderivada.
Assim, descobrimos, assumindo novamente que a função a não desaparece no intervalo I e que
é uma antiderivada em I da função ,que as funções de solução sobre I de são as funções da forma
,onde é qualquer primitivo da função .
Ou, finalmente, fixando um ponto :
,onde K é, novamente, uma constante determinada pelas condições iniciais.
Portanto, é necessário realizar um segundo cálculo da primitiva, o que pode evitar dar a expressão da solução usando as funções usuais.