Exponencial de base $a$

Função exponencial de base

a

Representação gráfica da função exponencial da base e (em preto), da base 10 (em vermelho) e da base 1/2 (em azul).

Avaliação	${\ displaystyle \ exp _ {a} (x)}$ ou $a ^ {x}$
Recíproca	$\ log _ {a} (x)$ ou ${\ displaystyle {\ frac {\ ln (x)} {\ ln (a)}}}$
Derivado	${\ displaystyle \ ln (a) \ exp _ {a} (x)}$
Primitivos	${\ displaystyle {\ frac {\ exp _ {a} (x)} {\ ln (a)}} + C}$

Características principais

Conjunto de definições	$\ mathbb {R}$
Conjunto de imagens	$\ R _ + ^ *$

Valores especiais

Valor zero	1
Limite em + ∞	$+ \ infty$ se se ${\ displaystyle a> 1}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle a <1}$
Limite em −∞	${\ displaystyle 0}$ se se ${\ displaystyle a> 1}$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle a <1}$

Na análise real , a base exponencial $a$ é a função observada $exp a$ que, a qualquer real $x$ , associa o real $a x$ . Ele só tem sentido para uma estritamente positivo verdadeiro $um$ . Ela estende ao conjunto de reais a função, definida sobre o conjunto de números naturais , que ao inteiro $n$ associa $a n$ . É, portanto, a versão contínua de uma seqüência geométrica .

É expresso usando as funções usuais de logaritmo exponencial e natural na forma

{\ displaystyle \ exp _ {a} (x) = a ^ {x} = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)}.}

Pode ser definida como a única função contínua em ℝ, tomando o valor $a$ em $1$ e transformando uma soma em um produto.

Para $um$ diferente de $1$ , é o recíproco da função de logaritmo de base $a$ . Às vezes, essas funções também são chamadas de funções antilogaritmo . O caso $a = e$ corresponde às funções exponencial e logaritmo natural.

As funções exponenciais são as únicas funções deriváveis em ℝ, proporcionais à sua derivada e tomando o valor $1$ em $0$ . Eles permitem modelar os fenômenos físicos ou biológicos nos quais a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população.

Também encontramos o termo funções exponenciais para funções cuja expressão é $N a x$ .

Do poder ao exponencial

Consideramos um real $a$ estritamente positivo; é fácil definir $a n$ como o produto de $a$ por si mesmo $n$ vezes para qualquer número inteiro $n$ maior ou igual a $1$ ,

\ exp _ {a} (n) = a ^ {n} = {\ underset {n {\ text {times}}} {\ underbrace {a \ times a \ times \ cdots \ times a}}}

em seguida, defina $a 0 = 1$ e $a -n = 1 / um n$ . Provamos facilmente a propriedade $a n + m = a n \times a m$ . Essa construção, bastante natural, corresponde aos chamados fenômenos de crescimento ou diminuição exponencial .

Exemplo 1: imagine uma população cujo tamanho aumenta em 30% a cada 10 anos. Se denotarmos a população em 1900 por $N$ , é fácil calcular a população em 1910, 1920 ... que será $N \times 1,3$ , então $N \times 1,3 2$ ... para chegar ao final de n décadas a $N \times 1,3 n$ . É até possível determinar a população em 1890, 1880 ... que será $N \times 1,3 -1$ , $N \times 1,3 -2$ ...
Exemplo 2: o carbono 14 tem um decaimento radioativo de período $T = 5 730$ anos, o que significa que a cada $T$ anos, o número de partículas radioativas foi dividido por 2. Se medirmos, em um determinado momento, o número $N$ de partículas radioativas, após $n$ períodos, o número de partículas radioativas é apenas $N \times (1/2) n$ .

A questão que se coloca é determinar o tamanho da população ou o número de partículas radioativas entre duas medições (a década para a população ou o período para a partícula). Trata-se, portanto, de "preencher as lacunas entre os inteiros". Uma tentativa pode ser feita através da raiz $n$ º : se a população se multiplicou por 1,3 em 10 anos, deve ser determinado pela forma como ele é multiplicado a cada ano. É multiplicado por um $q$ real tal que $q 10 = 1,3$ , ou seja, $q = 10 \sqrt 1,3$ que denotamos por $1,3 1/10$ .

Portanto, podemos definir $um r$ para expoentes não inteiros :

\ exp _ {a} (1 / q) = a ^ {{1 / q}} = {\ sqrt [{q}] a}

\ exp _ {a} (p / q) = a ^ {{p / q}} = ({\ sqrt [{q}] a}) ^ {p} = {\ sqrt [{q}] {a ^ {p}}}

Assim, “preenchemos as lacunas” e definimos $a r$ para qualquer $r$ racional . Para definir $um x$ para qualquer verdadeira $x$ , devemos adicionar uma continuidade argumento : qualquer verdadeira $x$ é “tão perto como nós queremos” a um racional $p / q$ ; o valor de $a x$ será então “próximo de” $a p / q$ .

Esta idéia intuitiva do que poderia ser $um x$ aparece muito cedo - junto com a notação exponencial, isto é, a partir da XVII th século . Mas será necessário esperar os séculos seguintes para ver em $x \mapsto a x$ :

uma função;
verificar $a x + y = a x a y$ , ou seja, transformar uma soma em um produto;
continue indo ;
recíproca de uma função logarítmica (que transforma um produto em uma soma);
derivável e cuja derivada é proporcional à função.

Definições

Existem vários pontos de entrada possíveis para a definição da função exponencial: por suas propriedades algébricas (transforma uma soma em um produto), pela propriedade de sua derivada (derivada proporcional à função), ou por suas relações com a função exponencial e a função de logaritmo natural .

Pela propriedade algébrica

Definição - Chamamos uma função exponencial real, qualquer função de R a R , não identicamente zero e contínua em pelo menos um ponto, transformando uma soma em um produto, ou seja, verificando a equação funcional

{\ displaystyle \ forall u, v \ in \ mathbb {R} \ quad f (u + v) = f (u) \ vezes f (v).}

Tal função $f$ é contínua e estritamente positiva e para qualquer real $a > 0$ , o único $f$ tal que $f (1) = a$ é chamado de exponencial com base $a$ e é denotado por $exp a$ .

Em outras palavras: essas funções são os morfismos contínuos de ( R , +) em ( R + *, ×), e estão em bijeção com R + * via $f \mapsto f (1)$ .

O relacionamento

f (u) = f \ left (2 {\ frac u2} \ right) = \ left [f \ left ({\ frac u2} \ right) \ right] ^ {2}

garante que a função tenha valores positivos.

A equação funcional garante ainda que todos esses valores sejam diferentes de zero assim que um deles seja.

Em seguida, considerações semelhantes às desenvolvidas na seção anterior garantem a existência e unicidade, para qualquer real $a > 0$ , de uma função $f$ definida nos racionais , verificando a equação funcional, e tomando em 1 o valor $a$ .

Provamos a continuidade e - pela densidade de ℚ em ℝ - a unicidade de uma função que satisfaz a equação funcional, tomando em $1$ o valor $a$ , e continuando pelo menos um ponto. Sua existência é obtida por prolongamento por continuidade :

Detalhes

Verifica-se facilmente que a função $x \mapsto a x$ (definida por enquanto apenas nos racionais) é monotônica e que a sequência $a 1/2 n$ converge para 1. Isto, unido à equação funcional, permite mostrar que a função é Cauchy -Continuous em ℚ, portanto extensível por continuidade para ℝ. Por continuidade e densidade, este prolongamento para ℝ ainda verifica a equação funcional.

Podemos notar que - exceto a função constante $1$ , que corresponde a $a = 1$ - todos esses mapas $f : ℝ \to] 0, + \infty [$ são bijetivos. Eles são, portanto, isomorfismos de ( R , +) em ( R + *, ×).

Provamos que então $f$ é diferenciável e satisfaz a equação diferencial :

{\ displaystyle f '(x) = f' (0) \ times f (x) \ quad {\ text {et}} \ quad f (0) = 1.}

Manifestações

1 r método. - De acordo com o § “Por uma equação diferencial” abaixo , as funções $g k : x \mapsto exp ( kx )$ verificam $g ' k = kg k$ , $g k (0) = 1$ e transformam as somas em produtos. Para $k = exp -1 ( a )$ , temos $g k (1) = a,$ portanto, por unicidade, $g k = f$ .

Método 2 E. - Para demonstrar que uma função contínua que transforma uma soma em um produto é necessariamente diferenciável, podemos contar com o fato de que uma função contínua possui primitivas . Se denotarmos por $F$ uma antiderivada de $f$ , podemos escrever

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (x) f (t) \ mathrm {d} t = f (x) \ int _ {0} ^ {1} f (t) \ mathrm {d } t = f (x) (F (1) -F (0))}

mas também

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f (x) f (t) \ mathrm {d} t = \ int _ {0} ^ {1} f (x + t) \ mathrm {d} t = F (x + 1) -F (x).}

A função $f$ sendo estritamente positiva, $F$ é estritamente crescente e $F (1) - F (0)$ é então diferente de zero. Comparando as duas igualdades, podemos escrever

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {F (x + 1) -F (x)} {F (1) -F (0)}},}

o que prova que, $f$ expresso como uma combinação linear de funções diferenciáveis, $f$ é diferenciável.

Derivando igualdade

{\ displaystyle f (x + u) = f (x) f (u)}

com respeito $ax$ , nós obtemos

{\ displaystyle f '(x + u) = f' (x) f (u)}

então, tomando $x$ igual a $0$ ,

{\ displaystyle f '(u) = f' (0) f (u).}

Usando a função exponencial e a função de logaritmo natural

Definição - Seja $a$ um real estritamente positivo. Chamamos a função exponencial base de $uma$ função definida em ℝ por

{\ displaystyle f (x) = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)} \,}

onde $x \mapsto e x$ é a função exponencial e $ln$ a função de logaritmo natural .

Esta função é realmente contínua, transforma uma soma em um produto e assume o valor $a$ em 1.

Por uma equação diferencial

Definição - Chamamos uma função exponencial qualquer função diferenciável que satisfaça a seguinte equação diferencial e a seguinte condição inicial:

{\ displaystyle f '= kf \ quad {\ text {e}} \ quad f (0) = 1}

onde $k$ é qualquer real.

Podemos notar que, para tal função, $k$ é o valor da derivada em 0.

Assumindo apenas conhecida a existência de uma solução para $k = 1$ (a função $exp$ ) , uma solução óbvia para qualquer $k$ é a função $x \mapsto exp ( kx )$ .

Mostramos que esta solução é a única. Além disso, a solução transforma qualquer soma em um produto, de forma que sua definição coincida com a anterior “ Pela propriedade algébrica ”, para $a = exp ( k )$ .

Como recíproco de funções logarítmicas

Definição - Seja $a$ um número real estritamente positivo, diferente de $1$ . A função do logaritmo de base $um$ é um bijeç~ao de R * + em R . Uma função exponencial de base $é$ a bijeção inversa :

{\ displaystyle {\ bigl (} x \ in \ mathbb {R}, \ quad y = \ exp _ {a} (x) {\ bigr)} \ Leftrightarrow {\ bigl (} y \ in \ left] 0, + \ infty \ right [, \ quad x = \ log _ {a} (y) {\ bigr)}.}

Sendo a função logaritmo contínua, transformando um produto em uma soma e tomando o valor $1$ em $a$ , sua bijeção recíproca é contínua, transforma uma soma em um produto e leva o valor $a$ em $1$ .

Propriedades

Propriedades algébricas

Para todos os reais estritamente positivos $a$ e $b$ e para todos os reais $x$ e $y$ : ${\ displaystyle a ^ {x} = \ exp (x \ ln (a)) = {\ rm {e}} ^ {x \ ln (a)}, \ quad a ^ {x} = b ^ {x \ log _ {b} (a)}, \ quad a ^ {xy} = \ left (a ^ {x} \ right) ^ {y}.}$
Os mapas $exp a : x \mapsto a x$ são morfismos de grupo (abelianos) de ( R , +) para ( R + *, ×): ${\ displaystyle a ^ {x + y} = a ^ {x} a ^ {y}, \ quad a ^ {0} = 1, \ quad {\ frac {1} {a ^ {x}}} = a ^ {- x}.}$
Esses morfismos constituem um grupo isomórfico para ( R + *, ×) ( via $a \mapsto exp a$ ) - portanto, também para ( R , +) : ${\ displaystyle a ^ {x} b ^ {x} = (ab) ^ {x}, \ quad 1 ^ {x} = 1, \ quad {\ frac {1} {a ^ {x}}} = \ esquerda ({\ frac {1} {a}} \ direita) ^ {x}, \ quad a ^ {1} = a.}$

Estudo de função

A função exponencial de base $a$ é indefinidamente diferenciável em R e sua derivada tem por expressão

{\ displaystyle \ exp _ {a} '(x) = \ ln (a) \ exp _ {a} (x).}

Como a função exponencial é sempre positiva, o sinal de sua derivada depende apenas do sinal de $ln ( a )$ . A função é, portanto, estritamente crescente quando a base $a$ é estritamente maior que $1$ ; é estritamente decrescente quando a base é menor que $1$ e constante se tomarmos como base $a = 1$ .

Os limites da função exponencial básica $a$ dependem da posição de $a$ em relação a $1$ :

se $a > 1$ então ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} a ^ {x} = + \ infty \ quad {\ rm {et}} \ quad \ lim _ {x \ to - \ infty} a ^ {x} = 0 ~;}$
se $um <1$ então ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} a ^ {x} = 0 \ quad {\ rm {et}} \ lim _ {x \ to - \ infty} a ^ {x} = + \ infty .}$

A função exponencial tem um comportamento previsível em relação à função potência: em caso de indeterminação em $+ \infty$ , é a exponencial que vence :

para todos os números reais

a > 1

b

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to + \ infty} {\ frac {a ^ {x}} {x ^ {b}}} = + \ infty.}

É logaritmicamente convexo (portanto convexo ) e logaritmicamente côncavo ( polido ) .

Notas e referências

Leibniz não hesita em usar a notação $a x$ sem ter uma ideia clara de quanto valeria $a \sqrt 2$ .
Ver, por exemplo, o capítulo "função raiz n th" na Wikiversidade .
Veja, por exemplo, este exercício corrigido da lição sobre função exponencial na Wikiversidade .
Este processo se aplica a muitas equações funcionais. Veja Dominique Hoareau, “ Integrate for better drift ” , em MégaMaths .
Ver, por exemplo, o capítulo "O exponencial como solução de uma equação diferencial" na Wikiversidade .
Ver, por exemplo, o capítulo "Propriedades algébricas do exponencial" na Wikiversidade .

Exponencial de base a