Equação funcional

Este artigo é um rascunho para análise .

Você pode compartilhar seu conhecimento, melhorando-o ( como? ) De acordo com as recomendações dos projetos correspondentes .

Consulte a lista de tarefas a serem realizadas na página de discussão .

Em matemática , uma equação funcional é uma equação cujas incógnitas são funções. Muitas propriedades das funções podem ser determinadas pelo estudo das equações que elas satisfazem. Normalmente, o termo "equação funcional" é reservado para equações que não podem ser reduzidas a equações mais simples, por exemplo, equações diferenciais .

Vocabulário

O caso mais frequente é aquele onde os valores de uma função e possivelmente de suas derivadas, calculados em vários pontos, devem satisfazer uma relação, chamada de relação funcional , para todos os valores da variável (pelo menos em um determinado domínio). Duas abordagens distintas são possíveis:

Ao estudar uma função específica, pode ser útil para realçar uma relação funcional que satisfaz como a relação satisfeita pela função gama de Euler , ou que satisfeita pela função Riemann zeta : . Em seguida, deduzimos outras propriedades da função: por exemplo, que a função zeta de Riemann desaparece mesmo para inteiros estritamente negativos e não tem outros zeros fora da banda 0 < Re (s) <1. $x \ Gamma (x) = \ Gamma (x + 1) \,$ $\ zeta (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {{s-1}} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) \ zeta (1-s)$

Quando resolvemos uma equação funcional estritamente falando, estudamos o conjunto de funções que satisfazem uma dada relação. Um exemplo é a busca por funções que satisfaçam (onde a , b , c e d são números naturais que satisfazem ad - bc = 1) que chamamos de formas modulares . Às vezes, certas condições analíticas são necessárias. O teorema de Bohr-Mollerup é um exemplo. Na ausência dessas condições, uma equação funcional muito simples como a equação funcional de Cauchy pode ter soluções muito irregulares. $f \ left ({az + b \ over cz + d} \ right) = (cz + d) ^ {k} f (z)$

Quando a equação conecta os valores de uma função e suas derivadas no mesmo ponto, é chamada de equação diferencial . Outras equações usam propriedades globais de funções desconhecidas; fala-se, por exemplo, de equações integrais , ou de problemas de otimização (que são objeto do cálculo das variações ), como o problema do Platô .

Exemplos

f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ), satisfeito pelas funções exponenciais ;
f ( xy ) = f ( x ) + f ( y ), satisfeito pelas funções de logaritmo ;
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ( equação funcional de Cauchy );
f ( x + T ) = f ( x ), definindo as funções periódicas do período T ;
F ( az ) = aF ( z ) (1 - F ( z )) (equação de Poincaré )
f (( x + y ) / 2) = ( f ( x ) + f ( y )) / 2 ( Jensen );
g ( x + y ) + g ( x - y ) = 2 g ( x ) g ( y ) ( d'Alembert );
f ( h ( x )) = f ( x ) + 1 ( Abel );
f ( h ( x )) = cf ( x ) ( Schröder ).
A equação de Schröder é satisfeita pela função de Koenigs (en) .
f ( f ( x )) = g ( x ), ou seja, a determinação de uma raiz quadrada funcional .
Uma forma simples de equação funcional é a relação de recorrência, da qual a função desconhecida é uma sequência (formalmente: uma função definida no conjunto de inteiros) e que envolve o operador shift .
O associativo e comutativo são equações funcionais. Quando a lei da composição interna é representada em sua forma usual, por um símbolo entre as duas variáveis, sua associatividade é escrita da seguinte forma:( a ∗ b ) ∗ c = a ∗ ( b ∗ c ).Mas se escrevermos f ( a , b ) em vez de a ∗ b , então a associatividade da lei se parece mais com o que é convencionalmente entendido por "equação funcional": f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )).

Um ponto comum a todos esses exemplos é que em cada caso, duas ou mais funções (às vezes a multiplicação por uma constante, às vezes a adição de duas variáveis, às vezes a função de identidade) são substituídas pela desconhecida.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Equação funcional " ( ver a lista de autores ) .

Soluções contínuas são 0, 1, cos (ω x ) e cosh (ω x ).

Bibliografia

(en) János Aczél (en) , Lectures on Functional Equations and their Applications , Academic Press ,1966( leia online )
Jean Dhombres , "Uma concepção arquitetônica da matemática: a separação das variáveis em Pfaff " , em Patricia Radelet-de Grave e Edoardo Benvenuto, Entre Mécanique et Architecture , Birkhäuser ,1995( ISBN 978-3-76435128-1 , leitura online ) , p. 205-220