Teorema de Bohr-Mollerup
Em matemática , o teorema de Bohr - Mollerup deve o seu nome aos dois matemáticos dinamarqueses Harald Bohr e Johannes Mollerup (de) , que o demonstraram em 1922. Caracteriza a função gama , definida por
x>0{\ displaystyle x> 0}
Γ(x)=∫0∞tx-1e-t dt{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} t ^ {x-1} \ mathrm {e} ^ {- t} ~ \ mathrm {d} t}como a única função definida para a qual satisfaz simultaneamente as três condições a seguir:
f{\ displaystyle f}x>0{\ displaystyle x> 0}
- f(1)=1,{\ displaystyle ~ f (1) = 1 {\ mbox {,}}}
- f(x+1)=xf(x) para x>0,{\ displaystyle f (x + 1) = xf (x) \ {\ mbox {para}} \ x> 0,}
-
f{\ displaystyle f}é logaritmicamente convexa , ou seja, é uma função convexa .registro(f){\ displaystyle \ log (f)}
Uma demonstração particularmente elegante foi dada por Emil Artin .
Demonstração
A função gama satisfaz classicamente essas três condições (a primeira é imediata, a segunda é mostrada pela integração por partes e a terceira é deduzida da desigualdade de Hölder ).
Seja uma função que também os satisfaça.
f{\ displaystyle f}
As duas primeiras condições permitem obter, para todos os números naturais e para todos os números reais :não{\ displaystyle n}x>0{\ displaystyle x> 0}
f(não+1)=não!ef(não+x)=f(x)∏0⩽k<não(x+k).{\ displaystyle f (n + 1) = n! \ quad {\ text {e}} \ quad f (n + x) = f (x) \ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k) .}
Em seguida, usamos a convexidade de para deduzir:registro(f){\ displaystyle \ log (f)}
∀você,v>0, ∀x∈[0,1], f[xvocê+(1-x)v]⩽f(você)xf(v)1-x.{\ displaystyle \ forall u, v> 0, \ \ forall x \ in [0,1], \ f [xu + (1-x) v] \ leqslant f (u) ^ {x} f (v) ^ {1-x}.}
Em particular, para tudo real e integral :
x∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0,1]}não>0{\ displaystyle n> 0}
- f(não+x)=f[x(não+1)+(1-x)não]⩽f(não+1)xf(não)1-x=nãox (não-1)!{\ displaystyle f (n + x) = f [x (n + 1) + (1-x) n] \ leqslant f (n + 1) ^ {x} f (n) ^ {1-x} = n ^ {x} ~ (n-1)!}
- não!=f(não+1)=f[x(não+x)+(1-x)(não+1+x)]⩽f(não+x)xf(não+x+1)1-x=(não+x)1-x f(não+x).{\ displaystyle n! = f (n + 1) = f [x (n + x) + (1-x) (n + 1 + x)] \ leqslant f (n + x) ^ {x} f (n + x + 1) ^ {1-x} = (n + x) ^ {1-x} ~ f (n + x).}
Ao substituir , obtemos a seguinte estrutura para :f(não+x){\ displaystyle f (n + x)}f(x){\ displaystyle f (x)}
(não+x)x-1 não!∏0⩽k<não(x+k)⩽f(x)⩽nãox (não-1)!∏0⩽k<não(x+k).{\ displaystyle {\ frac {(n + x) ^ {x-1} ~ n!} {\ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k)}} \ leqslant f (x) \ leqslant { \ frac {n ^ {x} ~ (n-1)!} {\ prod _ {0 \ leqslant k <n} (x + k)}}.}
e (desde que satisfaça as mesmas hipóteses) a mesma estrutura para .
Γ{\ displaystyle \ Gamma}Γ(x){\ displaystyle \ Gamma (x)}
No entanto, quando tende para o infinito, o limite superior e o limite inferior são equivalentes . Portanto, ambos tendem para , o que é, portanto, igual.
não{\ displaystyle n}Γ(x){\ displaystyle \ Gamma (x)}f(x){\ displaystyle f (x)}
Essa igualdade, demonstrada para tudo , estende-se a tudo graças à segunda condição, portanto .
x∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0,1]}x∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in] 0, + \ infty [}f=Γ{\ displaystyle f = \ Gamma}
Observação
Essa demonstração prova ainda que, para tudo , qualquer sequência equivalente aos limites do enquadramento acima tende para . Em particular :
x∈]0,1]{\ displaystyle x \ in] 0,1]}Γ(x){\ displaystyle \ Gamma (x)}
Γ(x)=limnão→∞nãox não!∏0⩽k⩽não(x+k).{\ displaystyle \ Gamma (x) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n ^ {x} ~ n!} {\ prod _ {0 \ leqslant k \ leqslant n} (x + k) }}.}
Como antes, essa igualdade se estende a tudo .
x∈]0,+∞[{\ displaystyle x \ in] 0, + \ infty [}
Notas e referências
-
(da) H. Bohr e J. Mollerup, Lærebog i matematisk Analysis , vol.3, Jul. Gjellerups Forlag, Copenhagen, 1922, p. 149-164.
-
A base do logaritmo não importa, desde que seja estritamente maior que 1, mas por convenção alguns matemáticos tomam o log sem índice para designar o logaritmo natural : o da base e .
-
(em) E. Artin, A função gama , Dover, 2015 ( 1 st ed. Holt, Rinehart, Winston, 1964), p. 14-15 (tradução de Michael Butler de Einführung in die Theorie der Gammafunktion , 1931)
-
Este método, obtido de (em) " Prova do teorema de Bohr-Mollerup, id3808 " no PlanetMath , é essencialmente o de Artin.
Veja também
Artigo relacionado
Teorema de Wielandt
links externos
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