Desigualdade de Hölder

Em análise , a desigualdade de Hölder , assim chamada em homenagem a Otto Hölder , é uma desigualdade fundamental relativa aos espaços das funções L p , como os espaços das sequências ℓ p . É uma generalização da desigualdade de Cauchy-Schwarz . Existe uma formulação de desigualdade usada na matemática discreta.

Estados

Ser

• S um espaço medido ,
• p , q > 0 (sendo permitidoo valor + ∞ ) verificando a "relação de conjugação"1p+1q=1,{\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1,}
• f ∈ L p ( S ) e g ∈ L q ( S ).

Então, o produto fg pertence a L 1 ( S ) e sua norma é aumentada naturalmente:

‖fg‖1≤‖f‖p‖g‖q.{\ displaystyle \ | fg \ | _ {1} \ leq \ | f \ | _ {p} \ | g \ | _ {q}.}

Mais geralmente, para 0 < p , q ≤ + ∞ e r definido por 1 / r = 1 / p + 1 / q , se f ∈ L p ( S ) e g ∈ L q ( S ) então fg ∈ L r e ║fg║ r ≤ ║f║ p ║g║ q .

Além disso, quando p e q são finitos, não há igualdade se e somente se | f | p e | g | q são colineares em quase todos os lugares (pp) , ou seja, se existem α e β não simultaneamente zero, de modo que α | f | p = β | g | q pp

Demonstração

Para provar esse teorema, podemos usar um corolário da desigualdade de Jensen ou da desigualdade de Young .

Exemplos

Desigualdade de Cauchy-Schwarz

A desigualdade de Cauchy-Schwarz para espaços de Hilbert é o caso especial onde p = q = 2 na desigualdade de Hölder.

Dimensão finalizada

Quando aplicamos a desigualdade de Hölder ao conjunto S = {1,…, n } dotado da medida de enumeração , obtemos, para 1 ≤ p , q ≤ + ∞ com 1 / p + 1 / q = 1 e para todos os vetores x e y de ℝ n (ou de ℂ n ), a desigualdade

∑k=1não|xk yk|≤(∑k=1não|xk|p)1/p(∑k=1não|yk|q)1/q.{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} \ y_ {k} | \ leq \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | x_ {k} | ^ {p} \ direita) ^ {1 / p} \ esquerda (\ sum _ {k = 1} ^ {n} | y_ {k} | ^ {q} \ direita) ^ {1 / q}.}

Essa desigualdade também pode ser demonstrada expressando as condições de otimalidade de um problema de minimização de uma função linear na bola unitária para a norma ℓ p  : consulte a seção Desigualdades de Hölder .

Suites

A desigualdade precedente generaliza (tomando, desta vez, S = ℕ) para sequências (ou para séries dependendo do ponto de vista): se ( x k ) e ( y k ) estão respectivamente nos espaços das sequências ℓ p e ℓ q , então a sequência “produto de termo a termo” ( x k y k ) está em ℓ 1 .

Caso extremo

Seja 1 ≤ p , q ≤ + ∞ com 1 / p + 1 / q = 1, S um espaço medido, da tribo Σ e meça μ, ef ∈ L p ( S ).

• Se p <+ ∞ , então‖f‖p=max{|∫fg dµ| ; g∈euq(S), ‖g‖q≤1},{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = \ max \ left \ {\ left | \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu \ right | ~; ~ g \ in \ mathrm {L} ^ {q } (S), ~ \ | g \ | _ {q} \ leq 1 \ right \},}
• Se p = + ∞ e se algum elemento A da tribo Σ tal que μ ( A ) = + ∞ contém um elemento B de Σ tal que 0 <μ ( B ) < + ∞ (que é verdadeiro assim que μ é σ - terminado ), então‖f‖∞=e aí{|∫fg dµ| ; g∈eu1(S), ‖g‖1≤1}.{\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty} = \ sup \ left \ {\ left | \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu \ right | ~; ~ g \ in \ mathrm {L} ^ { 1} (S), ~ \ | g \ | _ {1} \ leq 1 \ right \}.}

Demonstração

De acordo com a desigualdade de Hölder, em ambos os casos, o limite superior do conjunto direito é limitado por ║ f ║ p .

Inversamente, vamos reduzir esse limite superior pela norma p de f , que pode ser considerada diferente de zero. Por homogeneidade , suponha mesmo que‖f‖p=1{\ displaystyle \ | f \ | _ {p} = 1.}

• Se p <+ ∞ , o limite é até mesmo um máximo, ou seja , ele é alcançado: a função g definida em S porg(x)={|f(x)|p/f(x)E se f(x)≠0,0se não,{\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} | f (x) | ^ {p} / f (x) & {\ text {si}} f (x) \ neq 0, \\ 0 & { \ text {caso contrário,}} \ end {casos}}}pertence a L q onde sua norma é 1 e nós temos∫fg dµ=1=‖f‖p.{\ displaystyle \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu = 1 = \ | f \ | _ {p}.}
• Se p = + ∞ , seja ε ∈] 0, 1 [e A = [| f | > 1 - ε] ∈ Σ, de medida não nula desde ║ f ║ ∞ = 1. A hipótese adicional garante a existência de um B ∈ Σ, contido em A e de medida finita não nula. A função g definida em S por g(x)={|f(x)|µ(B)f(x)E se x∈B,0se não{\ displaystyle g (x) = {\ begin {cases} {\ frac {| f (x) |} {\ mu (B) f (x)}} & {\ text {si}} x \ in B, \\ 0 & {\ text {caso contrário}} \ end {casos}}}então pertence a L 1 onde sua norma é 1 e nós temos∫fg dµ=∫B|f|µ(B) dµ≥1-ε.{\ displaystyle \ int fg ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {B} {\ frac {| f |} {\ mu (B)}} ~ \ mathrm {d} \ mu \ geq 1- \ varejpsilon.}O limite superior que estávamos tentando diminuir é, portanto, maior ou igual a 1 - ε para todos ε ∈] 0, 1 [, o que prova que é de fato maior ou igual a ║ f ║ ∞ .

Observações sobre o caso p = + ∞

• Mesmo com a hipótese adicional da afirmação, o limite superior geralmente não é alcançado. Por exemplo, se x é a sequência de ℓ ∞ definida por x k = 1 - 2 - k então, para qualquer sequência diferente de zero y de norma menor ou igual a 1 em ℓ 1 ,|∑xkyk|≤∑(1-2-k)|yk|<∑|yk|≤1=‖x‖∞.{\ displaystyle \ left | \ sum x_ {k} y_ {k} \ right | \ leq \ sum (1-2 ^ {- k}) | y_ {k} | <\ sum | y_ {k} | \ leq 1 = \ | x \ | _ {\ infty}.}
• Se A ∈ Σ é de medida infinita, mas não contém qualquer B ∈ Σ de medida finita diferente de zero (o exemplo mais simples é aquele em que o único B ∈ Σ que está estritamente incluído em A é ∅) e se f é a função indicativo de A , então o limite superior associado é zero, enquanto ║ f ║ ∞ = 1.

Formulários

• A desigualdade de Hölder fornece imediatamente uma relação importante entre os espaços L p associados a uma medida finita da massa total M :0<r≤q≤+∞⇒eur⊃euq e ∀g∈euq,‖g‖r≤M1r-1q‖g‖q.{\ displaystyle 0 <r \ leq q \ leq + \ infty \ Rightarrow \ mathrm {L} ^ {r} \ supset \ mathrm {L} ^ {q} {\ text {et}} \ forall g \ in \ mathrm {L} ^ {q}, \ | g \ | _ {r} \ leq M ^ {{\ frac {1} {r}} - {\ frac {1} {q}}} \ | g \ | _ {q}.}(Esta propriedade também pode ser deduzida diretamente da desigualdade de Jensen .)
• Também intervém como argumento que permite mostrar a desigualdade de Minkowski , que é a desigualdade triangular para a norma de L p se p ≥ 1.
• O caso extremo permite estabelecer que o dual topológico de L p é L q (com 1 / p + 1 / q = 1 ) se 1 < p <+ ∞ , e também se p = 1 quando a medida é σ-finita .

Generalização

A desigualdade de Hölder com 1 / p + 1 / q = 1 / r imediatamente generaliza para n funções, por indução:

Seja 0 < r , p 1 , ..., p n ≤ + ∞ de modo que

∑k=1não1pk=1r{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {p_ {k}}} = {\ frac {1} {r}}}

e funções n f k ∈ L p k ( S ). Então, o produto de f k pertence a L r ( S ) e

‖∏k=1nãofk‖r≤∏k=1não‖fk‖pk.{\ displaystyle \ left \ | \ prod _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} \ right \ | _ {r} \ leq \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ | f_ {k } \ | _ {p_ {k}}.}

Além disso, quando todos os p k são finitos, há igualdade se e somente se o | f k | p k são pp colineares

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado "  Desigualdade de Hölder  " ( ver a lista de autores ) .

1. Se s <1, ║ ║ s não é regra geral, mas não interfere na prova.
2. Ver, por exemplo (para o segundo método) Bernard Maurey, “  Integração e Probabilidade (M43050), cours 15  ” , na Universidade de Paris VII - Diderot ,2010ou (para ambos) este exercício corrigido na Wikiversidade .
3. Como a medida de enumeração em um conjunto mais contável ou a medida de Lebesgue em ℝ n .
4. Maurey 2010 .
5. (en) NL Carothers , A Short Course on Theory Banach Space , CUP ,2004, 184  p. ( ISBN  978-0-521-60372-0 , leitura online ) , p.  120, observam: “Curiosamente, a propriedade de que cada elemento de L p * atinge sua norma equivale ao fato de que L p é reflexivo , sem realmente precisar saber nada sobre o espaço dual L p *  ! " .

Bibliografia

• Haïm Brezis , Análise funcional: teoria e aplicações [ detalhe das edições ]
• Walter Rudin , Real and complex analysis [ detalhe das edições ]

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