Função homogênea
Em matemática , uma função homogênea é uma função que tem um comportamento escalar multiplicativo em relação ao (s) seu (s) argumento (s): se o argumento ( vetorial se necessário) for multiplicado por um escalar , então o resultado será multiplicado por este escalar levado a algum poder .
Definições
Sejam E e F dois espaços vetoriais no mesmo K comutativo .
Uma função f de E a F é considerada homogênea de grau α se
∀t∈K∀x∈Ef(tx)=tαf(x){\ displaystyle \ forall t \ in K \ quad \ forall x \ in E \ qquad f (tx) = t ^ {\ alpha} f (x)}.
Se K é um subcampo de números reais , dizemos que f é positivamente homogêneo de grau α se
∀t>0{\ displaystyle \ forall t> 0}∀x∈Ef(tx)=tαf(x){\ displaystyle \ quad \ forall x \ in E \ qquad f (tx) = t ^ {\ alpha} f (x)}.
Se K é um subcampo dos complexos , dizemos que f é absolutamente homogêneo de grau α se
∀t∈K∀x∈Ef(tx)=|t|αf(x){\ displaystyle \ forall t \ in K \ quad \ forall x \ in E \ qquad f (tx) = | t | ^ {\ alpha} f (x)}.
Dependendo do contexto, "positivamente homogêneo" pode significar "positivamente homogêneo de grau α para um determinado α " ou "positivamente homogêneo de grau 1 ".
Exemplos
Propriedade
Uma função diferenciável de ℝ n em ℝ m é positivamente homogênea se, e somente se, ela satisfaz a identidade de Euler e, neste caso, suas derivadas parciais são positivamente homogêneas (de grau 1 menor).
Notas e referências
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Para α = 1 , esta é, por exemplo, a definição de (en) R. Tyrrell Rockafellar , Convex Analysis , Princeton University Press ,1970( leia online ) , p. 30. Mas outros autores preferem incluir o caso t = 0 na definição, impondo mais , como (en) Eric Schechter (en) , Handbook of Analysis and Its Foundations , Academic Press ,f(0)=0{\ displaystyle f (0) = 0} 1997( leia online ) , p. 313ou (en) VF Demyanov, “ Exhausters of a positively homogeneous function ” , Optimization , vol. 45, n osso 1-41999, p. 13-29 ( DOI 10.1080 / 02331939908844424 ).
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Por exemplo, Rockafellar 1970 , p. 30, dá a definição de uma função “positivamente homogênea (de grau 1)” e em todas as seguintes, não especifica mais esse grau, e em Schechter 1997 , p. 30, o grau 1 está implícito na definição.
Veja também
Artigo relacionado
Função Cobb-Douglas
Link externo
Curso de Funções Homogêneas
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