Aplicação Sublinear

Let Ser um espaço vetorial em ℝ . Dizemos que um aplicativo é sublinear quando: $V$ ${\ displaystyle s \, \ dois pontos \, V \ to \ mathbb {R} \ cup \ {+ \ infty \}}$

para todos os vetores e de , (dizemos que é subaditivo ), $x$ $y$ $V$ ${\ displaystyle s (x + y) \ leq s (x) + s (y)}$ $s$
para qualquer vector e tudo , (dizemos que é positivamente homogênea ). $x$ ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$ ${\ displaystyle s (\ lambda x) = \ lambda \, s (x)}$ $s$

Os mapas de Sublinear são convexos .

Como exemplos de aplicações sublineares, vamos citar as seminormas ou, mais geralmente, qualquer calibre de um convexo contendo a origem.

Notas e referências

Cf. (en) Eric Schechter (en) , Handbook of Analysis and its Foundations , Academic Press ,1997( leia online ) , p. 313-314. No caso particular , encontramos uma definição equivalente em (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty e Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis , Springer , col. "Grundlehren Text Editions", ${\ displaystyle V = \ mathbb {R} ^ {n}}$ 2004( 1 st ed. 2001) ( ISBN 978-3-540-42205-1 ) , p. 124e em (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty e Claude Lemaréchal, Convex Analysis and Minimization Algorithms I: Fundamentals , Springer, col. "Grundlehren Text Editions",1993( ISBN 3-540-56850-6 ) , p. 198.
Para (com convenção ), esta condição implica . $\ lambda = 0$ ${\ displaystyle 0 \ times \ infty = 0}$ ${\ displaystyle s (0) = 0}$
Ou "positivamente homogêneo de grau 1".