Em matemática , o logaritmo à base b de um número real estritamente positivo é a potência à qual é necessário elevar a base b para obter esse número. No caso mais simples, o logaritmo conta o número de ocorrências do mesmo fator em uma multiplicação repetida: por exemplo, como 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , o logaritmo na base 10 de 1000 é 3. O logaritmo de x na base b é denotado log b ( x ). Portanto, log 10 (1000) = 3.
John Napier logaritmos 's desenvolvidos no início do XVII th século. Durante três séculos, a tabela de logaritmos ea régua de cálculo foi usado para computação numérica , até ser substituído no final do XX ° século por calculadoras .
Três logaritmos são notáveis:
Uma escala logarítmica permite representar no mesmo gráfico números cujas ordens de magnitude são muito diferentes. Logaritmos são comuns em fórmulas usadas na ciência, medem a complexidade de algoritmos e fractais e aparecem em fórmulas para contar números primos . Eles descrevem intervalos musicais ou certos modelos de psicofísica .
Qualquer transformação de logaritmo
Para o fim da XVI th século, o desenvolvimento de astronomia e de navegação por um lado, e os cálculos de banco de interesse sobre os outros compostos, matemáticos de envio a procurar métodos de cálculo e simplificações em particular substituindo multiplicações por somas.
Usando tabelas trigonométricas, os matemáticos Paul Wittich e Christophe Clavius (em seu tratado sobre Astrolabio ) estabelecem correspondências entre produto ou quociente por um lado e soma, diferença e divisão por dois por outro lado, para números de 0 a 1 usando relações trigonométricas , um método conhecido como prostaférese .
Alguns anos depois, as tabelas logarítmicas substituíram as tabelas trigonométricas. Simon Stévin , comissário geral do exército holandês, desenvolve tabelas de cálculo de juros compostos . Jost Bürgi continuou este trabalho e publicou em 1620, em seu Aritmetische und geometrische Progress-tabulen , uma tabela de correspondência entre n e 1.0001 n . Uma soma na primeira coluna corresponde, portanto, a um produto na segunda coluna.
Em 1614, John Napier (ou Neper) publicou seu tratado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio . Ele não pensa que está criando novas funções, mas apenas tabelas de correspondência ( logos = relatório, relação, aritmética = número) entre duas séries de valores com a seguinte propriedade: a um produto em uma coluna corresponde uma soma em outra. O Kepler usará alguns anos depois essas tabelas criadas inicialmente para simplificar os cálculos trigonométricos nos cálculos astronômicos . A notação Log como uma abreviatura de logaritmo aparece em 1616 em uma tradução para o inglês da obra de Neper. Em 1619, surge a sua obra póstuma Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio , onde explica como construir uma tabela de logaritmos .
O matemático inglês Henry Briggs continuou este trabalho e publicou em 1624 suas tabelas de logaritmos decimais ( Arithmetica logarithmica ) especificando os métodos de uso das tabelas para calcular senos ou ângulos de sua tangente ... O logaritmo decimal é às vezes chamado de logaritmo de Briggs em sua homenagem. No mesmo ano, Johann Kepler publicou Chilias logarithmorum construído usando um processo geométrico. A tabela de Briggs mostra os logaritmos de 14 dígitos de números entre 1 e 20.000 e entre 90.000 e 100.000. Ezechiel de Decker e Adriaan Vlacq completaram a tabela de logaritmos em 1627.
Em 1647, Grégoire de Saint-Vincent , trabalhando na quadratura da hipérbole , destaca uma nova função, a primitiva da função cancelando-se em 1. Huygens notará em 1661 que essa função passa a ser uma função logarítmica particular.: O logaritmo natural .
A correspondência entre funções exponenciais e logarítmicas não aparece até depois do trabalho de Leibniz sobre a noção de função (1697).
Nesta seção, fornecemos propriedades de uma função logarítmica, qualquer que seja sua base b .
As funções logarítmicas são, por definição, os morfismos contínuos e não constantemente zero de vermes .
Para qualquer real b estritamente positivo diferente de 1, o logaritmo de base b : log b é a função contínua definida para satisfazer a equação funcional :
para todos os reais x e y estritamente positivos,e
Esta definição permite deduzir rapidamente as seguintes propriedades
para todo número natural n , então para todo número relativo n para qualquer r racional .Uma vez que qualquer real x estritamente positivo é o limite de uma sequência cujo termo geral é da forma b r n , onde ( r n ) é uma sequência de lógicas convergindo para um real , determinamos log b ( x ) como sendo o limite de r n .
Duas funções logarítmicas diferem apenas de uma constante multiplicativa: para todos os reais estritamente positivos a e b diferentes de 1 e para todos os reais x > 0 ,
.Todas as funções de logaritmo podem, portanto, ser expressas usando apenas uma, por exemplo, a função de logaritmo natural: para qualquer real b estritamente positivo diferente de 1 e para qualquer real x > 0 ,
.A função log b é diferenciável na derivada:
que tem o mesmo sinal de ln ( b ) .Portanto, a função log b é estritamente monotônica, aumentando quando b é maior que 1, diminuindo caso contrário.
A função é a bijeção recíproca da função exponencial com base b , às vezes chamada de antilogaritmo com base b :
.Em outras palavras, as duas formas possíveis de combinar (ou compor ) os logaritmos e a elevação às potências retornam o número original:
As funções recíprocas estão intimamente relacionadas às funções originais. Seus gráficos , que correspondem quando as coordenadas x e y são trocados (ou por reflexão em relação à diagonal x = y ), são mostrados no lado direito, no caso em que b é um verdadeiro estritamente maior que 1: um ponto ( u , t = b u ) no gráfico (vermelho) da função antilogaritmo x ↦ b x fornece um ponto ( t , u = log b ( t )) no gráfico (azul) do logaritmo e vice-versa. Como b > 1 , a função log b está aumentando e quando x tende para + ∞ , log b ( x ) tende para + ∞ , enquanto quando x se aproxima de zero, log b ( x ) tende para -∞ . No caso em que o b real está estritamente entre 0 e 1, a função log b está diminuindo e esses limites são invertidos.
Em termos de cálculo, o antilog reduz os logaritmos a valores. Seja para avaliar uma fórmula F combinando multiplicações, divisões e exponenciações, e seja f a fórmula que define o logaritmo de F combinando somas, diferenças e produtos de (logaritmos) dos dados. O valor de F pode ser obtido como o antilog do valor de f , que conclui o cálculo. Podemos, portanto, substituir a avaliação
Através dos
.O logaritmo natural, ou o logaritmo natural, é a função logarítmica cujo derivado é o inverso da função definida em : .
A função Neper é por convenção denotada “ ln ” ou “ log ”, uma notação comumente usada na teoria dos números e na ciência da computação.A base da função de logaritmo natural, denotada e , é chamada de número de Neper ou número de Euler.Um valor aproximado é:
.É o logaritmo mais prático em cálculos numéricos manuais, é anotado log ou log 10 . O padrão ISO 80000-2 afirma que o log 10 deve ser anotado como lg , mas essa notação raramente é usada.
É encontrada na criação de escalas logarítmicas , benchmarks semilogarítmicos ou log-log , na régua de cálculo, no cálculo do pH , na unidade do decibel .
Especifica a que potência é necessário elevar 10 para encontrar o número inicial: a imagem de um número por log é o inteiro relativo ao qual é necessário elevar 10 para obter o antecedente . Por exemplo :
Na base 10:O valor do logaritmo de outros números que não potências de 10 requer um cálculo aproximado. O cálculo de log (2), por exemplo, pode ser feito manualmente, observando que 2 10 ≈ 1000, portanto, 10 log 10 (2) ≈ 3, portanto, log 10 (2) ≈ 0,3 .
Para qualquer real b estritamente positivo diferente de 1 e para qualquer real x > 0 ,
.O padrão ISO 80.000 recomenda que lb seja o logaritmo da base 2.
O logaritmo binário, de uso especial no cálculo de intervalos musicais a partir de uma razão de frequências , para obter oitavas , semitons ou centavos , encontrou muito mais aplicação na ciência da computação . Os computadores que trabalham no sistema binário , o cálculo de um logaritmo de base 2 é o algoritmo mais preciso e mais eficiente.
Um número x codificado em ponto flutuante binário se decompõe em uma mantissa m , entre 1 (inclusivo) e 2 (excluído) e um expoente p , indicando a potência de 2 que multiplica a mantissa para obter o número. O expoente é a parte inteira do logaritmo binário, enquanto o logaritmo binário da mantissa está entre 0 (inclusivo) e 1 (excluído).
Isso traz o cálculo de volta ao logaritmo binário de um número entre 1 (inclusivo) e 2 (excluído). Se multiplicarmos este número por ele mesmo, e o resultado exceder 2, o número é maior que √2: o próximo dígito, após a vírgula decimal, é 1, caso contrário, é 0. Continuamos por iteração até a precisão desejada é atingido.
Os dois logaritmos anteriores são deduzidos disso por:
.O logaritmo negativo de um número é o logaritmo negativo deste número e o logaritmo do seu inverso: .
O logaritmo complexo é a função recíproca do exponencial complexo e, portanto, generaliza a noção de logaritmo para números complexos. O logaritmo discreto generaliza logaritmos para grupos cíclicos e tem aplicações em criptografia de chave pública .
Simone Trompler, Histoire des logarithmes , publicado online em 2002 pela Université libre de Bruxelles
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