O cento e o savart são unidades finas de música de intervalos de medidas , ambas baseadas em uma escala logarítmica em relação à frequência fundamental de um som musical .
Savart vale cerca de quatro centavos.
Na teoria das faixas e temperamentos , essas unidades permitem calcular com precisão os intervalos específicos de um sistema e quantificar as diferenças entre eles. Na etnomusicologia , eles tornam possível vincular as medições feitas em gravações ao sistema de notação da música ocidental.
O cent , defendido por Alexander John Ellis em 1880, é a centésima parte do semitom. O Savart foi definida a partir do logaritmo dez à base, cujo uso era mais comum no início do XIX ° século.
Um cent é definido como o centésimo de um semitom temperado.
O semitom com temperamento igual vale 100 centavos. A escala cromática temperada sendo composto de 12 semitons idênticos, a oitava é worth 1200 centavos. O valor em centavos do intervalo entre duas notas de frequência fundamental e , é:
A centena, igual a 1200 vezes o valor do logaritmo na base 2 ( ) da razão entre as frequências fundamentais, é calculada multiplicando por 1200 o quociente do logaritmo da razão pelo logaritmo de 2.
Um intervalo expresso em centavos é convertido inversamente em uma razão de frequência por
Seu nome vem de Félix Savart ( 1791 - 1841 ), famoso por seus trabalhos sobre acústica .
O intervalo em savarts entre duas frequências é igual a mil vezes o logaritmo decimal de sua razão.
O intervalo em savarts entre dois sons de frequência fundamental e é assim:
Quando uma nota está a uma oitava da outra, sua frequência fundamental é o dobro. O logaritmo decimal de 2 é de aproximadamente 0,30103, então a oitava é de aproximadamente 301 savarts.
Às vezes, depois de Alexander Wood, o savart é arredondado para 1 ÷ 300 oitava. Um semitom é, portanto, equivalente a 25 savarts.
O menor intervalo perceptível por um ouvinte atento é próximo a um savart. O limiar de discriminação humana entre dois tons puros de frequências próximas varia de acordo com as frequências e o volume do som , com um mínimo em torno de 1500 Hz ( piso 5 ), onde, para sujeitos treinados e um nível de som médio ou alto, pode diminuir até 0,25%, ou cerca de 1 savart. Acima de C 3 (261 Hz ), o limite é sempre menor que 2 savarts; mas menor, aumenta claramente, e para C 0 a 32,7 Hz ), é cerca de 10 savarts; mas, uma vez que os sons musicais com frequências menores da metade daqueles na melhor faixa de discriminação contêm parciais harmônicos naquela região, o menor intervalo detectável permanece, para esses sons, quase idêntico ao mínimo.
Conhecendo um intervalo musical expresso em savarts, encontramos a razão das frequências fundamentais por
A equivalência entre centavos e savarts é facilmente calculada de acordo com:
A tabela a seguir compara as duas escalas de medição (valores arredondados).
Relação de freqüência | Diferença em centavos | Spread Savart |
---|---|---|
1 | 0 | 0 |
≈1.0006 | 1 | ≈ 0,251 |
≈1,002 | ≈3,99 | 1 |
1.01 | ≈17,2 | ≈4,32 |
≈1,06 | 100 ( semitom ) | 25,1 |
1,1 | ≈165 | ≈41,4 |
O interesse pelo uso musical dos logaritmos é quase tão antigo quanto os próprios logaritmos, inventados por Lord Napier em 1614. Já em 1647, Juan Caramuel y Lobkowitz (1606-1682) descreveu em uma carta a Athanasius Kircher o uso de logaritmos de base 2 em música. Nesta base, a oitava é 1, o semitom 1/12, etc.
Joseph Sauveur propôs em seus Princípios de Acústica e Música de 1701 o uso de logaritmos de base dez, provavelmente porque havia tabelas disponíveis; ele usou logaritmos calculados com três casas decimais. O logaritmo decimal de 2 a cerca de 0,301, o que Sauveur propõe a multiplicar por 1000 para obter unidades de 1/301 th de uma oitava. Para trabalhar em unidades mais gerenciáveis, ele sugere tomar sete 1/301 são para obter unidades de 1/43 th de uma oitava. A oitava é, portanto, dividida em 43 partes, chamadas “merides”, elas próprias divididas em 7 partes, as “heptamerides”; Sauveur voltou a considerar a possibilidade de dividir cada heptamerida em 10 "decamerides", mas ele mesmo não faz uso dessa unidade microscópica.
É este sistema que Savart utilizou, sem usar um valor aproximado do logaritmo decimal de 2, de forma que o do savart varia de acordo com as fontes. O logaritmo decimal de 2 é mais precisamente 0,30103, dando 301,03 savarts na oitava. Este valor normalmente é arredondado para 1/300 º de uma oitava. Além do decamerídeo do Salvador, outras subdivisões foram propostas, notadamente a divisão da oitava em 30103 partes (ou seja, 100.000 vezes o logaritmo de 2), chamada de átomo pelo matemático inglês Auguste de Morgan (1806 - 1871) e jota por John Curwen (1816 - 1880) por sugestão de Hermann von Helmholtz . Esses pequenos valores em comparação com o limiar de discriminação humana das frequências acústicas, no entanto, não têm nenhum interesse musical.
No início do XIX E século Gaspard de Prony proposto para exprimir de uma forma decimal os intervalos usando uma graduação "análoga à natureza das quantidades submetidos ao cálculo" , uma base de escala logarítmica , em que os corresponde unidade a um meio tom de temperamento igual. Alexander John Ellis descreveu em 1880 um grande número de diapasões antigos que ele havia gravado ou calculado. Observando que o Barão de Prony havia proposto "o sistema que mede os intervalos em semitons e frações iguais" , indica o intervalo em semitons com duas casas decimais, ou seja, com uma precisão de um centésimo de um semitom, que os separa de um tom baixo teórico, o 3 = 370 Hz, tomado como o ponto de referência 0.
Ellis publicou em 1885 " is the Musical Scales of Various Nations " ( Escalas musicais de diferentes nações ), em que compara os intervalos expressos em centésimos de semitom, escalas musicais descritas por várias teorias musicais não europeias. A musicologia comparativa, intitulado etnomusicologia desde meados do XX ° século, usado amplamente que a unidade a que Ellis deu o nome de por cento .