Tradicionalmente, a teoria dos números é um ramo da matemática que lida com as propriedades dos inteiros (sejam inteiros naturais ou relativos ). De maneira mais geral, o campo de estudo dessa teoria diz respeito a uma grande classe de problemas que surgem naturalmente do estudo de inteiros. A teoria dos números ocupa um lugar especial na matemática, tanto por suas conexões com muitos outros campos, quanto pelo fascínio por seus teoremas e problemas em aberto, cujas afirmações são freqüentemente fáceis de entender, mesmo para aqueles que não o são. . Isto é o que expressa a seguinte citação de Jürgen Neukirch :
“A teoria dos números ocupa uma posição idealizada entre as disciplinas da matemática análoga à da própria matemática entre as outras ciências. "
O termo " aritmética " também é usado para se referir à teoria dos números. É um termo bastante antigo, que não é mais tão popular como antes; para evitar confusão, até o início do século XX, a teoria dos números também era algumas vezes chamada de “aritmética superior”. No entanto, o adjetivo aritmética permanece bastante difundido, em particular para designar campos matemáticos ( geometria aritmética algébrica , aritmética de curvas e superfícies elípticas , etc.), onde a restrição de questões e soluções a inteiros, ou a algumas de suas extensões, desempenha um papel papel decisivo. Este significado do termo aritmética não deve ser confundido com aquele usado em lógica para o estudo de sistemas formais axiomatizando inteiros, como na aritmética de Peano .
A teoria dos números é dividida em vários campos de estudo, dependendo dos métodos usados e das questões abordadas.
O termo elementar geralmente designa um método que não usa análise complexa . Por exemplo, o teorema dos números primos foi provado usando análise complexa em 1896, mas a prova elementar não foi encontrada até 1949 por Erdős e Selberg . O termo é um tanto ambíguo: por exemplo, as provas baseadas em teoremas tauberianos complexos (por exemplo, o teorema de Wiener-Ikehara ) são freqüentemente consideradas muito esclarecedoras, mas não elementares. A prova elementar pode ser mais longa e difícil para a maioria dos leitores do que a prova não elementar.
A teoria dos números tem a reputação de ser um campo no qual muitos resultados podem ser compreendidos pelo leigo. Ao mesmo tempo, a evidência para esses resultados não é particularmente acessível, em parte porque a gama de ferramentas que eles usam é incomumente ampla na matemática.
Muitas questões na teoria elementar dos números parecem simples, mas requerem uma consideração muito profunda e novas abordagens, como os seguintes exemplos:
A teoria das equações diofantinas até se mostrou indecidível , ou seja, pode-se construir uma equação explícita cuja existência de soluções não pode ser demonstrada usando os axiomas usuais da matemática (c 'é o teorema de Matiyasevich ).
A teoria analítica dos números pode ser definida:
Alguns assuntos geralmente considerados parte da teoria analítica dos números, por exemplo a teoria do crivo , são definidos pela segunda definição.
Exemplos de problemas na teoria analítica dos números são o teorema dos números primos, a conjectura de Goldbach (ou a conjectura dos primos gêmeos ou as conjecturas de Hardy-Littlewood ), o problema de Waring ou a hipótese de Riemann . Algumas das ferramentas mais importantes na teoria dos números analíticos são o método de círculo , métodos de peneira, e L funções . A teoria das formas modulares (e mais geralmente das formas automórficas ) também ocupa um lugar cada vez mais central na teoria analítica dos números.
Um número algébrico é um número complexo que é a solução de uma equação polinomial com coeficientes no campo . Por exemplo, qualquer solução de é um número algébrico. A teoria algébrica dos números estuda os campos dos números algébricos. Assim, as teorias analítica e algébrica dos números podem se sobrepor: a primeira é definida por seus métodos, a segunda por seus objetos de estudo.
Os fundamentos deste ramo, como sabemos, foram estabelecidos no final do XIX ° século, quando os ideais e de avaliação foram desenvolvidos. O ímpeto para o desenvolvimento de ideais (por Ernst Kummer ) parece vir do estudo das leis da reciprocidade superior, ou seja, generalizações da lei da reciprocidade quadrática .
Os corpos são frequentemente estudadas como extensões de outros corpos menores: um corpo L é dito ser uma extensão de um corpo K , se G contém K . A classificação das extensões Abelian tem sido o programa da teoria de campo de classe , iniciado no final do XIX ° século (em parte por Kronecker e Eisenstein ) e realizado em grande parte 1900-1950.
A teoria de Iwasawa é um exemplo de uma área ativa de pesquisa na teoria algébrica dos números. O programa de Langlands , um importante programa de pesquisa atual em larga escala em matemática, às vezes é descrito como uma tentativa de generalizar o corpo das aulas de teoria para extensões não Abelianas.
O problema central com a geometria diofantina é determinar quando uma equação diofantina tem soluções e, em caso afirmativo, quantas. A abordagem adotada é considerar as soluções de uma equação como um objeto geométrico.
Por exemplo, uma equação de duas variáveis define uma curva no plano. Mais geralmente, uma equação, ou um sistema de equações, com duas ou mais variáveis define uma curva, uma superfície , etc., em um espaço n- dimensional. Na geometria diofantina, perguntamo-nos se existem pontos racionais (pontos cujas coordenadas são todas racionais) ou pontos inteiros (pontos cujas coordenadas são todas inteiras) na curva ou na superfície. Se houver tais pontos, o próximo passo é perguntar quantos existem e como estão distribuídos. Uma questão fundamental nessa direção é: existe um número finito ou infinito de pontos racionais em uma dada curva (ou superfície)? E quanto a pontos inteiros?
Um exemplo seria a equação pitagórica ; gostaríamos de estudar suas soluções racionais, isto é, suas soluções tais que x e y são ambos racional . Isso equivale a pedir todas as soluções completas de ; qualquer solução para esta equação nos dá uma solução , . Isso é equivalente a solicitar todos os pontos com coordenadas racionais na curva descrita por (essa curva passa a ser o círculo unitário ).
A reformulação das questões das equações em termos de pontos nas curvas está se mostrando bem-sucedida. A finitude ou não do número de pontos racionais ou inteiros em uma curva algébrica depende crucialmente do gênero da curva. Esse domínio está intimamente relacionado às aproximações diofantinas : dado um número, quão próximo ele pode estar das racionalidades? (Consideramos que um racional , com um e b privilegiada entre eles, é uma boa aproximação do caso , onde é grande.) Esta questão é de particular interesse se é um número algébrico. Se não puder ser bem aproximado, então algumas equações não têm soluções completas ou racionais. Além disso, vários conceitos mostram-se cruciais tanto na geometria diofantina quanto no estudo das aproximações diofantinas. Essa questão também é de interesse particular na teoria dos números transcendentes : se um número pode ser aproximado melhor do que qualquer número algébrico, então é um número transcendente . É por esse argumento que foi demonstrado que e são transcendentes.
A geometria diofantina não deve ser confundida com a geometria dos números , que é uma coleção de métodos gráficos para responder a certas questões na teoria algébrica dos números. O termo geometria aritmética é, sem dúvida, mais frequentemente usado quando se quer enfatizar as ligações com a geometria algébrica moderna (como o teorema de Faltings ) ao invés das técnicas de aproximações diofantinas.
Considerando um número aleatório entre um e um milhão, qual é a probabilidade de que seja primo? Esta é apenas outra maneira de perguntar quantos números primos existem entre um e um milhão. E quantos divisores vai ter, em média?
Muito da teoria probabilística dos números pode ser vista como um ramo do estudo de variáveis que são quase independentes umas das outras. Às vezes, uma abordagem probabilística não rigorosa leva a uma série de algoritmos heurísticos e problemas abertos, notadamente a conjectura de Cramér .
Seja A um conjunto de N inteiros. Considere o conjunto A + A = { m + n | m , n ∈ Um } consiste de todas as somas de dois elementos da Uma . A + A é muito maior do que A ? Um pouco mais alto? A parece uma seqüência aritmética ? Se começarmos com um conjunto infinito grande o suficiente A , ele contém muitos elementos na progressão aritmética ?
Essas questões são características da teoria dos números combinatórios. Seu interesse em questões de crescimento e distribuição deve-se em parte ao desenvolvimento de seus laços com a teoria ergódica , a teoria dos grupos finitos , a teoria do modelo e outras áreas. Os conjuntos estudados não precisam ser conjuntos de inteiros, mas sim subconjuntos de grupos não comutativos , para os quais o símbolo de multiplicação, e não o símbolo de adição, é tradicionalmente usado; eles também podem ser subconjuntos de anéis .
Existem duas questões principais: "podemos calcular isso?" E "podemos calculá-lo rapidamente?" " Qualquer um pode testar se um número é primo ou, se não for, obter sua fatoração primo ; fazer isso rapidamente se torna mais complicado. Hoje conhecemos algoritmos rápidos para testar a primalidade , mas, apesar de muito trabalho (tanto teórico quanto prático), nenhum algoritmo é realmente rápido para essa tarefa.
A dificuldade de um cálculo pode ser útil: os protocolos modernos de criptografia de mensagens (por exemplo, o RSA ) dependem de funções conhecidas por todos, mas cujos inversos são conhecidos apenas por um pequeno número, e encontrá-los por seus próprios recursos demoraria muito . Embora muitos problemas computacionais fora da teoria dos números sejam conhecidos, a maioria dos protocolos de criptografia atuais são baseados na dificuldade de alguns problemas teóricos.
Acontece que algumas coisas podem não ser calculáveis ; isso pode ser comprovado em alguns casos. Por exemplo, em 1970 foi provado, resolvendo assim o décimo problema de Hilbert , que não há máquina de Turing capaz de resolver todas as equações diofantinas. Isso significa que, dado um conjunto de axiomas computáveis e enumeráveis, existem equações diofantinas para as quais não há prova, a partir dos axiomas, de se o conjunto de equações tem ou não soluções inteiras.
A descoberta histórica de natureza aritmética é um fragmento de uma mesa: a tábua de argila quebrada Plimpton 322 ( Larsa , Mesopotâmia , por volta de 1800 aC) contém uma lista de " triplos pitagóricos ", ou seja, inteiros como . São muito grandes para serem obtidos por pesquisa exaustiva . O layout do tablet sugere que ele foi construído usando o que equivale, na linguagem moderna, à identidade
.Enquanto a teoria dos números da Babilônia consiste neste único fragmento, a álgebra da Babilônia (no sentido de "álgebra" do ensino médio ) foi excepcionalmente bem desenvolvida. Pitágoras teria aprendido matemática com os babilônios. Muitas fontes anteriores afirmam que Tales e Pitágoras viajaram e estudaram no Egito .
A descoberta da irracionalidade de √ 2 é atribuída aos primeiros pitagóricos. Essa descoberta parece ter causado a primeira crise na história da matemática; sua prova e disseminação são algumas vezes atribuídas a Hipaso , que foi expulso da seita pitagórica. Isso forçou uma distinção a ser feita entre números (inteiros e racionais), por um lado, e comprimentos e proporções (números reais), por outro.
O teorema restante chinês aparece como um exercício no Tratado Sunzi Suanjing ( III E , IV E ou V th século aC. ).
Grécia Antiga e o início do período helenísticoCom exceção de alguns fragmentos, a matemática da Grécia antiga é conhecida por nós por meio de relatórios de não matemáticos contemporâneos ou por meio de obras matemáticas do período helenístico. No caso da teoria dos números, isso inclui Platão e Euclides . Platão estava interessado em matemática e distinguia claramente entre aritmética e cálculo. (Para aritmética, ele ouviu a teoria sobre o número.) É por meio de um dos diálogos de Platão, Teeteto , que sabemos que Teodoro provou que são números irracionais . Teeteto foi, como Platão, um discípulo de Teodoro; ele trabalhou na distinção entre diferentes tipos de comensurabilidade e, portanto, foi indiscutivelmente um pioneiro no estudo de sistemas digitais.
Euclides dedicado parte de seus Elementos para números primos e divisibilidade, assuntos centrais na teoria dos números (livros VII a IX de Euclides Elements ). Em particular, ele deu um algoritmo para calcular o maior divisor comum de dois números ( Elementos , Prop. VII.2) e a primeira prova conhecida da existência de uma infinidade de números primos ( Elementos , Prop. IX. 20).
DiofantoSabemos muito pouco sobre Diofanto de Alexandria ; ele provavelmente viveu no século III dC, ou seja, cerca de quinhentos anos depois de Euclides. A Aritmética é uma coleção de problemas onde a tarefa é encontrar soluções racionais para equações polinomiais, geralmente na forma ou ou . Assim, hoje em dia, falamos de equações diofantinas quando falamos de equações polinomiais para as quais devemos encontrar soluções racionais ou inteiras.
Enquanto Diofanto estava interessado principalmente em soluções racionais, ele conjecturou sobre inteiros naturais, como o fato de que qualquer inteiro é a soma de quatro quadrados .
Āryabhaṭa, Brahmagupta, BhāskaraEmbora a astronomia grega provavelmente tenha influenciado o aprendizado indiano, a ponto de introduzir a trigonometria, parece que a matemática indiana é uma tradição indígena; Na verdade, não há nenhuma evidência de que o Elementos de Euclides ter chegado à Índia antes do XVIII th século.
Aryabhata mostrou que os pares de congruência (476-550 aC.) , Poderia ser resolvido através de um método que chamou kuṭṭaka ; é um procedimento próximo e generalizado do algoritmo de Euclides , que provavelmente foi descoberto independentemente na Índia. Brahmagupta (628 aC) iniciou o estudo das equações quadráticas, em particular a equação de Pell-Fermat , pela qual Arquimedes já havia se interessado, e que só começou a ser resolvida no Ocidente com Fermat e Euler . Um procedimento geral (Método chakravala ) para resolver a equação de Pell foi encontrado por Jayadeva (citado no XI th século, seu trabalho é perdido); a primeira exposição sobrevivente aparece em Bija-ganita de Bhāskara II . Matemática indiana permaneceu desconhecido na Europa até o final do XVIII th século. A obra de Brahmagupta e Bhāskara foi traduzida para o inglês em 1817 por Henry Colebrooke .
Aritmética na Idade de Ouro IslâmicaNo início da IX th século, califa Al-Ma'mun ordenou a tradução de numerosas obras de matemática grega e pelo menos um trabalho em sânscrito (a Sindhind , que pode ou não ser o Brāhmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta ). A principal obra de Diofanto, a Aritmética , foi traduzida para o árabe por Qusta ibn Luqa (820-912). De acordo com Roshdi Rashed, Alhazen , um contemporâneo de Al-Karaji , sabia o que mais tarde seria chamado de teorema de Wilson .
Europa Ocidental na Idade MédiaAlém de um tratado sobre quadrados na progressão aritmética de Fibonacci , nenhum progresso na teoria dos números foi feito na Europa Ocidental na Idade Média . As coisas começaram a mudar na Europa no final do Renascimento, graças a um estudo renovado das obras da Grécia antiga.
Pierre de Fermat (1601-1665) nunca publicou seus escritos; em particular, seu trabalho sobre a teoria dos números está contido quase inteiramente em Letters to Mathematicians e em Private Notes and Margins. Ele dificilmente escreveu qualquer prova da teoria dos números. Ele não tinha um modelo exemplar na área. Ele fez uso repetido do raciocínio de recorrência , introduzindo o método da descida infinita . Um dos primeiros interesses de Fermat eram os números perfeitos (que aparecem nos Elementos IX de Euclides) e os números amigáveis ; isso o levou a trabalhar com divisores inteiros, que estiveram desde o início entre os assuntos da correspondência (ano de 1636 e seguintes) que o colocaram em contato com a comunidade matemática da época. Ele já havia estudado cuidadosamente a edição Bachet de Diofanto; depois de 1643, seus interesses se voltaram para Diofantino e problemas de soma de quadrados (também tratados por Diofanto).
Os resultados de Fermat em aritmética incluem:
A afirmação de Fermat ("último teorema de Fermat") de ter mostrado que não há soluções para a equação para tudo aparece apenas na margem de uma cópia da Aritmética de Diofanto.
EulerO interesse de Leonhard Euler (1707-1783) pela teoria dos números foi estimulado pela primeira vez em 1729, quando um de seus amigos, o amador Goldbach , o encaminhou para alguns dos trabalhos de Fermat sobre o assunto. Isso tem sido chamado de "renascimento" da moderna teoria dos números, após a relativa falta de sucesso de Fermat em chamar a atenção de seus contemporâneos para o assunto. O trabalho de Euler sobre a teoria dos números inclui o seguinte:
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) foi o primeiro a dar provas completas para certas obras e observações de Fermat e Euler - por exemplo, o teorema dos quatro quadrados e a teoria da equação de Pell-Fermat . Ele também estudou formas quadráticas definindo sua relação de equivalência, mostrando como colocá-las em forma reduzida, etc.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) foi o primeiro a estabelecer a lei da reciprocidade quadrática . Ele também presumiu que hoje é equivalente ao teorema dos números primos e ao teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas . Ele deu uma análise completa da equação . Durante o final de sua vida, ele foi o primeiro a provar o último teorema de Fermat para n = 5.
Em seu Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demonstrou a lei da reciprocidade quadrática e desenvolveu a teoria das formas quadráticas. Ele também introduziu a notação de congruência e dedicou uma seção aos testes de primalidade . A seção final do Disquisitiones liga as raízes da unidade à teoria dos números. Dessa forma, Gauss sem dúvida iniciou o trabalho de Évariste Galois e a teoria algébrica dos números .
Começando no início do XIX ° século, as seguintes evoluções têm ocorrido gradualmente:
“A matemática é a rainha da ciência e a teoria dos números é a rainha da matemática. » Gauss
Texto em inglês a ser traduzido:
O termo takiltum é problemático. Robson prefere a renderização
Texto em inglês para traduzir:
ap.
Texto em inglês a ser traduzido:
sobre a confiabilidade do Proclus
Texto em inglês a ser traduzido:
A data do texto foi reduzida para 220-420 DC (Yan Dunjie) ou 280-473 DC (Wang Ling) por meio de evidências internas (= sistemas de tributação assumidos no texto).
Texto em inglês a ser traduzido:
Isso acontecia mais na teoria dos números do que em outras áreas (observação em Mahoney 1994 , p. 284). As próprias provas de Bachet eram "ridiculamente desajeitadas"
Texto em inglês para tradução:
Os assuntos iniciais da correspondência de Fermat incluíam divisores ("partes da alíquota") e muitos assuntos fora da teoria dos números; veja a lista na carta de Fermat para Roberval, 22.IX.1636
Texto em inglês a ser traduzido:
Todas as seguintes citações da Varia Opera de Fermat foram retiradas de Weil 1984 , cap. II. O trabalho padrão de Tannery & Henry inclui uma revisão da Varia Opera Mathematica póstuma de Fermat, originalmente preparada por seu filho
Texto para traduzir em inglês:
Euler foi generoso em dar crédito aos outros ( Varadarajan 2006 , p. 14), nem sempre corretamente.
Texto em inglês para traduzir:
do prefácio de
Texto em inglês a ser traduzido:
a tradução é tirada de
Texto em inglês a ser traduzido:
Veja a discussão na seção 5 de Goldstein e Schappacher 2007 . Os primeiros sinais de autoconsciência já estão presentes nas cartas de Fermat: portanto, suas observações sobre o que é a teoria dos números e como "o trabalho de Diofanto [...] realmente não pertence a [ele]" (citado em
Texto em inglês a ser traduzido:
Ver a prova em Davenport e Montgomery 2000 , seção 1.
Texto em inglês a ser traduzido:
Veja o comentário sobre a importância da modularidade em Iwaniec e Kowalski 2004 , p. 1