Na matemática , mais precisamente na álgebra geral , a teoria dos grupos é a disciplina que estuda as estruturas algébricas chamadas grupos . O desenvolvimento da teoria dos grupos surgiu da teoria dos números , a teoria das equações algébricas e da geometria .
A teoria dos grupos está intimamente relacionada à teoria das representações . Juntos, eles têm várias aplicações em física teórica , química , ciência dos materiais e criptografia assimétrica .
Um dos maiores dos matemática avançada do XX ° século é a classificação completa dos grupos finitos simples . É o resultado da colaboração de mais de 100 autores em 500 artigos.
Uma das origens da ideia de grupo é o estudo das equações algébricas de Joseph-Louis Lagrange ( 1771 ). A terminologia “grupo” é destacada pela primeira vez por Évariste Galois ( 1830 ): podemos “agrupar” os automorfismos do campo de decomposição de um polinômio separável. A ideia de grupo também deriva do estudo de novas geometrias, Felix Klein ( 1872 ), e da teoria dos números : Leonhard Euler , Carl Friedrich Gauss .
A teoria dos grupos é amplamente utilizada na química . É usado, por exemplo, para simplificar a escrita do hamiltoniano de uma molécula , explorando suas simetrias . Ele permite calcular orbitais moleculares como a soma de orbitais atômicos e prever o tipo de deformação que uma molécula sofrerá na espectroscopia de infravermelho (IV). Na espectroscopia , permite saber se uma transição será visível em um espectro infravermelho e / ou em um espectro Raman , dependendo da simetria de sua deformação.
Cada molécula tem uma simetria que pode ser determinada usando o sinótico na caixa suspensa abaixo. Uma vez que o grupo de simetria de pontos foi encontrado, a tabela de caracteres correspondente é usada.
Para determinar o grupo de simetria de uma molécula |
Nas estruturas elementares de parentesco, o etnólogo Claude Lévi-Strauss , auxiliado pelo matemático André Weil , identifica o conceito de estrutura elementar de parentesco a partir da noção de grupo (em particular o grupo de Klein ). Em The Structure of Myths , Lévi-Strauss vai reutilizar os grupos de Klein para estabelecer a “fórmula canônica do mito”.
A teoria dos grupos também é amplamente utilizada na física teórica , especialmente para o desenvolvimento de teorias de gauge .
Os grupos dão origem a tabelas de representação irredutíveis. Por exemplo, para a água, as simetrias combinam de acordo com:
E | ||||
---|---|---|---|---|
E | E | |||
E | ||||
E | ||||
E |
e a tabela de caracteres vinculada:
E | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
A 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | z | x 2 , y 2 , z 2 |
A 2 | 1 | 1 | -1 | -1 | R z | xy |
B 1 | 1 | -1 | 1 | -1 | x, R y | xz |
B 2 | 1 | -1 | -1 | 1 | y, R x | sim |
Cada modo de vibração molecular pode ser reduzido a uma combinação de representações irredutíveis, cujas características tornam possível estabelecer se elas se enquadram na espectroscopia Raman ou no infravermelho.
(pt) Derek JS Robinson (de) , Um Curso na Teoria dos Grupos , Springer, col. " GTM " ( n o 80)1996, 499 p. ( ISBN 978-0-387-94461-6 , leia online )
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