Évariste Galois

Os papéis de Évariste Galois, recolhidos por Chevalier, com a ajuda de Alfred Galois, são enviados para Joseph Liouville , professor da Polytechnique . O4 de setembro de 1843, Liouville anuncia à Academia de Ciências que encontrou na tese de Galois alguns resultados muito interessantes a respeito da teoria das equações algébricas . Em 1846, ele publicou os manuscritos de Galois em seu jornal, o Journal of Pure Mathematics , que imediatamente deu a eles influência internacional.

Assim, na segunda metade do XIX °  século, o trabalho de Galois são retomadas e prorrogado por Enrico Betti , Arthur Cayley , Camille Jordan , Joseph Alfred Serret , Richard Dedekind , Leopold Kronecker , James Cockle , Paul Bachmann e Heinrich Weber . Segundo Caroline Ehrhardt, a reabilitação de Galois na segunda metade do século decorre do fato de que os matemáticos têm as ferramentas para entendê-lo e de que o tema de sua pesquisa está então na ordem do dia. A reputação de Galois já estava bem estabelecida quando as comemorações do centenário da Escola Normal em 1895 deram a Sophus Lie , admitido depois de Cauchy na Academia de Ciências , a publicação de Influência de Galois no Desenvolvimento da matemática .

Contribuição de Galois

Da álgebra à matemática moderna

Évariste Galois trabalhou de forma clássica, tanto em continuação como em oposição aos seus mestres, na área que, na sua época, representava o principal interesse dos matemáticos: a construção de soluções para equações. Ele estava bem ciente da necessidade de libertar o ensino e a pesquisa dos métodos empíricos. O escopo de seu trabalho deve, pensava ele, ser importante, mas sua curta vida não lhe permitiu tentar ir além desse campo estreito.

O problema que surgiu em sua época é o das características que qualquer equação algébrica deve ter para que suas soluções possam ser calculadas a partir de seus coeficientes, por operadores simples, como adição, multiplicação, extração de raiz.

No entanto, ele procura desenvolver um método de análise de soluções e seus relacionamentos, ao invés de calcular soluções explicitamente. Começa pelo estudo da possibilidade ou não de uma resolução, ou seja, substitui o cálculo pela busca de condições de resolubilidade.

Mudança de paradigma

Por vezes apresentado como o inventor do conceito de “  grupo formal  ” (mas Galois fala apenas de grupos de permutações, nem mesmo explica a sua estrutura), Évariste Galois permitiu aos seus sucessores deduzirem desta descoberta a teoria de Galois .

Para além de um novo campo da matemática, ao descobrir a estrutura das equações solucionáveis ​​pelos radicais, Galois, ao enfatizar as noções de simetrias e invariantes , e na sua correspondência, tornou plenamente operacional o que posteriormente se designou por conceito de estrutura matemática e que já era latente na dissertação Sobre funções simétricas apresentada por Augustin-Louis Cauchy à Academia de Ciências em 1812 . No entanto, Galois não foi além de Cauchy ao explicar o conceito de estrutura, que só foi desenvolvido em toda a sua extensão no século XX, por exemplo, por Van der Waerden em seu Moderne Algebra  (de) . No entanto, sua "teoria da ambiguidade" é sempre proveitoso XXI th  século. Assim, permitiu-se, por exemplo, que Felix Klein desenvolvesse em 1877 a teoria dos revestimentos e Alexandre Grothendieck , em 1960, fundir a teoria de Galois com a teoria dos revestimentos.

Estilo moderno

Em seu prefácio de Writings and Mathematical Memories de Évariste Galois , Jean Dieudonné é "atingido pelo fascínio estranhamente moderno do pensamento" por Évariste Galois. Segundo ele, "é picante que suas memórias tão concisas sejam muito mais claras para nós do que as apresentações pegajosas que seus sucessores imediatos acreditavam que deveriam fazer" .

De fato, durante sua vida, Galois recebeu críticas pela falta de clareza de suas memórias. Em seu breve relato, Poisson , depois de comparar os resultados de Galois aos de Abel e questionar a possibilidade de determinar as condições de solubilidade das equações propostas, criticou, mais do que a própria redação do texto, a forma de raciocínio: ” Seus raciocínios não são claros nem desenvolvidos o suficiente para que possamos julgar sua exatidão ” . No entanto, o próprio assunto desenvolvido por Galois era demonstrar que não é porque os resultados não podem ser dados em extensão que eles não existem. Ele até especificou que se esses resultados tivessem que ser dados explicitamente, ele poderia apenas indicar o procedimento a ser seguido, "sem querer instruir a mim ou a quem quer que seja". Em suma, os cálculos são impraticáveis. " (Deve-se notar, entretanto, que o progresso da computação e da matemática experimental tornou esses cálculos possíveis).

Sucessores de Galois

A nova teoria das equações desenvolvida por Évariste Galois é, em particular, a base da teoria das coberturas , que permitiu definir algebricamente , por exemplo, objetos topológicos como a banda de Moebius ou a garrafa de Klein . Sua dissertação On Number Theory deu início ao estudo de campos finitos , que desempenham um papel essencial na criptografia .

Além das várias aplicações dos resultados de Galois, sua própria abordagem iniciou um movimento de abstração e consolidação da matemática. Charles Hermite , que teve, como Joseph-Alfred Serret na Polytechnique, o mesmo professor de Évariste Galois, Louis-Paul-Émile Richard , e que graças a este último tinha cópias de seu antecessor, foi o primeiro a usar, a partir de 1846 , o resultados deste sobre funções elípticas , mas em um sentido próprio, o da unificação da álgebra e da análise , e não no da futura teoria de Galois . Caberá a Félix Klein , muito inspirado por Galois, propor em 1872 que as geometrias são grupos , abrindo caminho para uma grande unificação da álgebra e da geometria então, no espírito de Henri Poincaré , a toda a matemática em torno da noção. de estrutura . Mais focado na axiomatização apenas da geometria , desenvolvida por David Hilbert e Hermann Weyl , Sophus Lie publicará a partir de 1888 o resultado de sua pesquisa baseada na observação de que transformações contínuas formam grupos .

As noções de grupo e lei interna serão generalizadas gradualmente além da teoria das equações sozinha . Em 1854 , Arthur Cayley 's teorema estendeu-los às bases de espaços vetoriais . Em 1871 , Richard Dedekind , ao retornar de Paris onde acompanhou com Sophus Lie as lições de Gaston Darboux sobre a teoria de Galois desenvolvida por Camille Jordan , aplicou à teoria dos números o conceito de campo da racionalidade que Leopold Kronecker havia encontrado em 1870 na teoria das equações de Galois e, portanto, inventa o conceito de corpo . Isso seguirá os desenvolvimentos de Heinrich Weber em 1882 , William Burnside em 1897 e James Pierpont em 1900, que atualmente estão sendo estendidos em pesquisas frutíferas, realizadas em particular por Vladimir Drinfeld e Laurent Lafforgue , em torno de conjecturas sobre a correspondência de Langlands .

Ao mesmo tempo, a própria álgebra de Galois será consideravelmente aprofundada. De sua apresentação, ele deu ao Collège de France em 1860 sobre os desenvolvimentos que Augustin-Louis Cauchy deu à obra de Évariste Galois, Camille Jordan em 1870 erigiu a teoria de Galois em um sistema autônomo que tomaria sua forma atual graças ao resultados de Ludwig Sylow , Ferdinand Frobénius , Émile Picard , Ernest Vessiot e Élie Cartan , então de Claude Chevalley , André Weil , Emil Artin , Ellis Kolchin  (en) , Walter Feit , e que continua até hoje seu desenvolvimento através de certas obras de Alexandre Grothendieck , e a pesquisa das equipes de John Griggs Thompson , Pierre Cartier , Jean-Pierre Serre ...

Obra de arte

Artigos publicados durante sua vida

• "Prova de um teorema sobre frações contínuas periódicas".

• "Análise de uma dissertação sobre a resolução algébrica de equações".

• “Carta sobre educação científica”.
• "Nota sobre a resolução de equações numéricas".
• “Notas sobre alguns pontos de análise”.
• "Na teoria dos números".

Memória acadêmica mal compreendida durante sua vida

“Dissertação sobre as condições de solubilidade de equações radicais”.

Uma primeira tese sobre a teoria das equações foi apresentada emJunho de 1829em Cauchy, antes da admissão de Évariste Galois à Escola Preparatória. Após revisão, foi submetido emFevereiro de 1830a Fourier para o grande prêmio de matemática da Académie des sciences então, de acordo com Auguste Chevalier, reescrito a pedido de Siméon Denis Poisson que recusou o4 de julho. Datado16 de janeiro de 1831, é uma terceira versão, como explica o prefácio que evoca essa incompreensão de Poisson, que foi encontrada por Liouville nos arquivos de Galois após sua morte. Apresentado à Academia em 1843 por Liouville , o livro de memórias foi finalmente publicado em 1846 por ele. Este texto é aquele em que Galois assenta as bases da teoria dos grupos sobre a qual Felix Klein , Émile Picard e Sophus Lie apoiarão as suas próprias descobertas, e onde este último encontrará, como declarará em 1895, o processo de generalização fundador. matemática moderna.

Nesta tese, Évariste Galois buscou estudar a solubilidade de equações polinomiais. Ele demonstrou que as raízes de um polinômio dividido P são expressas racionalmente como uma função dos coeficientes e de um número algébrico V obtido pela soma adequada das raízes. O polinomial mínima de V é, por definição, o polinomial unidade menor grau cancelando V e cujos coeficientes são expressões regulares nos coeficientes de P . As suas raízes, necessariamente distintas, para determinar um grupo de permutações , ou L , as raízes de P . O valor de uma função polinomial avaliada nas raízes de P é expresso racionalmente como uma função dos coeficientes de P se e somente se esse valor permanecer inalterado ao fazer uma permutação de G agir . Em particular, se o grupo é trivial, raízes expresso racionalmente com base em coeficientes de P .

Évariste Galois deduz daí que a busca de uma resolução por radicais passa pela redução do grupo associado por sucessivos acréscimos de raízes. Esta ideia norteadora é aplicada nesta primeira dissertação a polinômios de primeiro grau irredutíveis.

Ele descreve um método geral e por fatoração quase completa de séries de composição ou "ninhos" de subgrupos normais máximos. Complexidade computacional serial resolvents destaques parciais que resolver as equações por frações e operações simples duto em geral, a diferença dos métodos de aproximação, cálculos astronômicos fora do alcance humano.

Ensaio inacabado sobre funções elípticas

“Dissertação sobre as equações modulares das funções elípticas  ” é um projeto de publicação desenvolvido na prisão de Sainte-Pélagie, então na pensão Faultrier e datado deFevereiro de 1832. Interrompido pelo duelo fatal, resta a prova de um lema fundamental segundo o qual as diferenciais das integrais são funções algébricas , cálculos lançados no papel, ainda mais difíceis de ordenar porque Galois também costumava fazer tudo em mente. como os três primeiros parágrafos, ou seja, meia dúzia de páginas que abrem a pesquisa sobre a análise transcendental e prenunciam a moderna análise complexa .

Manuscritos e rascunhos não publicados

• "Research on the surface of 2 th degrees  " [SD], 4 p.Invenção do conceito de invariante .
• " Equações primitivas que são solúveis por radicais  ", [nd]
• "Como a teoria das equações depende daquela das permutações  ",Fevereiro de 1830.Fragmento da “Memória sobre as condições de solubilidade das equações radicais”, finalmente descartado com dois outros parágrafos. Há também uma nota separada no caso de equações primitivas .
• “Nota I sobre a integração de equações lineares  ”, [nd], 3 p.
• "Discurso preliminar", Setembro de 1830 ; Prefácio à publicação, finalmente abandonada, da “Memória sobre as condições de solubilidade das equações radicais”.
• “Adição à dissertação sobre resolução de equações”, [nd], 3 p.
• "Dissertação sobre a divisão de uma função elíptica de primeira classe", [nd]
• "Discussões sobre o progresso da análise pura", [nd], 3 p. O apelo de um epistemólogo por abstração, erro lucrativo e acaso, colegialidade.
• Prefácio a duas memórias de análises puras ,Dezembro de 1831.Escrito em Sainte-Pélagie para uma reedição conjunta das “Memórias sobre as condições de solubilidade das equações por radicais” e do artigo “Sobre a teoria dos números”, é um manifesto para a matemática do futuro onde Galois mostra-se plenamente consciente da natureza revolucionária de sua abordagem e confiante no sucesso futuro de seu método de pesquisa. Duas folhas separadas sugerem um projeto de publicação mais ambicioso, compreendendo ainda as “Memórias sobre equações modulares de funções elípticas  ” e uma dissertação sobre funções transcendentais .
• "Notas", 29 de dezembro de 1831.Nove frases de reflexão sobre o homem da ciência.
• Duas notas sobre Niels Abel .

Independência das obras de Galois e Abel

Abel e Galois foram freqüentemente comparados "tanto na brevidade de suas vidas quanto no tipo de seu talento e na direção de suas pesquisas" . No entanto, as obras de Galois e Abel são independentes: Galois "tinha apenas um conhecimento parcial" da obra de Abel sobre os assuntos que o interessavam. Foi por meio de fragmentos publicados no Boletim que Galois tomou conhecimento dessa obra.

O trabalho de Abel foi publicado na primeira edição do Journal de Crelle . No entanto, Galois diz que não tinha conhecimento da obra de Abel quando apresentou seus primeiros artigos em 1829. Ele não teve conhecimento dessas obras até outubro, lendo os fragmentos publicados no Boletim de Férussac . Cartas póstumas de Abel para Legendre foram publicadas em 1830.

Se o trabalho converge, os dois jovens, sem dúvida guiados pela mesma intuição, começam cada um com um problema diferente. Niels Abel demonstrou já em 1824 o teorema de Ruffini , a irresolubilidade por radicais de equações quínticas - isto é, não existe uma lei geral para resolver por radicais o conjunto específico desses polinômios. Nove anos mais novo que Niels Abel , tão incompreendido quanto ele, Évariste Galois, sem conhecer, senão em fragmentos, a obra de seu irmão mais velho, demonstra a resolubilidade por radicais de equações quárticas e, portanto, de polinômios de graus inferiores ou até superiores, isto é, define as condições para uma equação ter uma solução por radicais inclusive para aqueles de equações quínticas, tais , que têm um. Ao fazer isso, ele confirma o resultado de Abel de que não há condições específicas para as equações quínticas enquanto existem para as equações quárticas, mas acrescenta que existem condições mais gerais para qualquer equação algébrica, qualquer que seja seu grau. A intuição de Abel é anterior, o resultado de Galois é mais geral. x5+x+1=0{\ displaystyle x ^ {5} + x + 1 = 0}

Correspondência

• Para seu tio Antoine Demante ,31 de agosto de 1829.Em sua relutância em escolher uma carreira.
• Ao editor da Gazette des écoles ,3 de dezembro de 1830. Direito de resposta a ataques do diretor de estudos da Ecole normale , Joseph Daniel Guigniault.
• "Aos meus camaradas", 30 de dezembro de 1830.Publicado na Gazette des écoles .
• Ao Presidente da Academia de Ciências de Paris ,31 de março de 1831. Preocupações com o segundo desaparecimento de suas memórias sobre as condições de solubilidade das equações radicais .
• Para Auguste Chevalier, Maio de 1831.Informando-o de sua prisão.
• Para sua tia Céleste Marie Guinard, Janeiro de 1832.De Sainte Pelagie .
• Para Auguste Chevalier, 25 de maio de 1832.Peço desculpas por sua ironia amarga para com o saint-simonismo e qualquer compromisso.
• Para os "patriotas", 29 de maio de 1832.Pedido de perdão antecipado para seus futuros assassinos e repúdio a qualquer provocação ao duelo  : “É em uma fofoca miserável que minha vida se extingue. "
• Para Napoleon Lebon e Vincent Delaunay, 29 de maio de 1832.Pedindo a seus amigos que atestassem que ele fez de tudo para evitar o duelo e que não é o mentiroso que seus oponentes dizem.
• Para Auguste Chevalier, 29 de maio de 1832.É sobre o testamento matemático escrito na véspera do duelo e destinado à Revista Encyclopédica , que Galois termina com “haverá, espero, gente que encontrará lucro para decifrar toda essa bagunça. "

Trabalho de escola

• Nota sobre equações diferenciais parciais , [sd], 4 p.
• Caderno
  • “A - Assíntotas de uma curva”.
  • “B - Princípios do cálculo diferencial  ”.
  • “C - Observação”.

Doze exemplares doados pelo aluno de Galois a Louis Richard durante os últimos anos de seus estudos no Lycée Louis-le-Grand foram guardados . Estas são as demonstrações trazidas aos problemas colocados que permitem compreender o espanto sentido pelos seus colegas da Matemática Especial .

Perdeu-se o décimo terceiro exemplar, do concurso geral que Évariste Galois ganhou na primavera de 1827. Apenas a fotografia da primeira página permanece. Sobre esta surge a primeira questão, a equação da projeção da intersecção de uma esfera e um cilindro, e a solução deslumbrante proposta pelo aluno.

Celebração

Imagem lendária de Évariste Galois

Desde sua morte dramática, Évariste Galois foi apresentado como um gênio incompreendido, um republicano valente e um matemático desconhecido para seus contemporâneos. Sua vida foi posteriormente romantizada e distorcida em inúmeras biografias, que tomaram essas imagens e acrescentaram outras, como as de um estudante frustrado ou de um utópico: “muitas obras e um filme foram dedicados ao próprio homem que, mesclando ficção, romance e fatos, apresentou-o como o protótipo do herói incompreendido e perseguido ”.

Os historiadores da matemática posteriormente tentaram lançar uma nova luz sobre a vida de Évariste Galois. Seus dois fracassos no ingresso na École Polytechnique e as dificuldades encontradas para publicar certas memórias alimentaram profundamente “seus sentimentos de revolta contra todos os símbolos do poder político”. Sua exclusão oficial da Escola Preparatória emJaneiro de 1831e a recusa de seu livro de memórias em julho por Poisson (que participou do conselho que exclui Galois) deixou Galois "profundamente enojado com o que ele considerava uma prova adicional da incompetência dos círculos científicos e de sua hostilidade para com ele". Galois expressa a sua indignação em certas cartas, acusando abertamente o director da Escola Preparatória de pertencer a "liberais doutrinários" e de ter um "pedantismo ordinário". O ressentimento de Galois foi apresentado por alguns autores como uma oposição real dos matemáticos de sua época ao seu trabalho inovador.

Na margem da proposição II do memorando de 1830 é mencionada a frase "Não tenho tempo [ sic ]" . Esta frase foi interpretada por Auguste Chevalier como prova de uma revisão das memórias realizada por Galois na véspera do duelo. Ele confirmou esta tese com uma correção manuscrita da Proposição III, acompanhada pela data de 1832. Outros adotaram e exageraram esta interpretação. Segundo Eric Temple Bell , Évariste Galois teria escrito seu trabalho sobre a resolução de equações polinomiais por radicais na véspera de sua morte e não teria tido tempo de dar os detalhes da demonstração. Mas “as reclamações e outros bordados que Bell et al. adicionados são mais significativos da imagem pública de Galois, do que do próprio Galois ” .

No entanto, é verdade que as circunstâncias exatas do duelo permanecem "muito obscuras". Diferentes hipóteses foram formuladas: alguns interpretaram como um duelo entre rivais, um suicídio romântico, uma conspiração da polícia secreta, que teria organizado o duelo, um acerto de contas entre revolucionários, até mesmo um suicídio orquestrado para fins políticos. Mas a tese mais provável é a de um “duelo estúpido entre amigos” (duelos eram comuns na época).

Em sua última carta, Galois mencionou: “Guarde minha memória, pois o destino não me deu vida suficiente para que a pátria saiba meu nome. "

Homenagens

Por vezes, simples protagonista de uma obra escrita ou filmada, é também objecto de múltiplas biografias. Mais de quinze vias públicas, estabelecimentos de ensino, vários edifícios, uma cratera lunar ,  etc. levar seu nome. As celebrações são numerosas, seja em 1895 por ocasião do centenário da École normale supérieure ou durante o bicentenário de seu nascimento, com numerosos eventos em toda a França e às vezes além. Entre elas está a palestra de Alain Connes , detentor da Medalha Fields , na Academia de Ciências , instituição com a qual Galois teve alguns contratempos.

Veja também

Bibliografia

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