Em matemática , um grupo de Lie é um grupo com uma estrutura diferencial de variedade , para a qual as operações de grupo - multiplicação e inversão - são diferenciáveis . Os grupos de Lie são nomeados em homenagem ao matemático norueguês Sophus Lie , que os introduziu para estudar certas propriedades das equações diferenciais .
A teoria do grupo de Lie descreve a simetria contínua (in) matemática. Em física teórica (por exemplo, na teoria de quarks ), sua importância foi afirmada durante o XX E século.
O próprio Sophus Lie considerou que a teoria dos "grupos contínuos" (no sentido atual de grupos topológicos ) surgiu no inverno de 1873-1874, mas o biógrafo Hawkins sugere que a teoria surgiu de pesquisas realizadas por Lie durante as quatro anteriores anos (de 1869 a 1873).
Algumas das ideias iniciais de Lie foram desenvolvidas em colaboração com Felix Klein , com quem ele se encontrou diariamente durante os dias de outubro dos anos de 1869 a 1872, primeiro em Berlim, depois em Paris, Göttingen e Erlangen.
Os resultados de Lie foram publicados em jornais noruegueses na década de 1870, e seu trabalho rapidamente se espalhou pelo resto da Europa. Em 1884, um jovem matemático alemão, Friedrich Engel , trabalhou com Lie na criação de uma exposição sistemática da teoria dos grupos contínuos, que foi publicada em três volumes sob o título Theorie der Transformationsgruppen , em 1888, 1890 e 1893.
Um importante desenvolvimento da teoria foi então realizado por Wilhelm Killing . A generalização por Élie Cartan levou à classificação de álgebras de Lie semi-simples e ao trabalho de Hermann Weyl em representações de grupos de Lie compactos .
A teoria dos grupos de Lie foi explicada metodicamente em linguagem matemática moderna por Claude Chevalley .
Uma estrutura algébrica G é um grupo de Lie real (respectivamente complexo) quando:
Também é possível definir um grupo de Lie como uma variedade diferencial dotada apenas de operações de grupo diferenciáveis , ou mesmo apenas contínuas . Esta definição é equivalente à anterior e é uma interpretação do quinto problema de Hilbert .
A dimensão de um grupo de Lie é definida como sua dimensão como uma variedade.
Há também uma noção análoga de um grupo de Lie p-ádico quando a variedade diferencial subjacente é substituída por um conjunto analítico p -adico . Esse será o caso, por exemplo, do grupo de pontos p -adic de um grupo algébrico .
Um exemplo simples é o grupo de matrizes de rotação plana , denotadas por SO (2, ℝ):
É parametrizado por um único ângulo λ: sua variedade é, portanto, unidimensional (um círculo). É de fato um grupo porque o inverso de um elemento do parâmetro λ é dado pelo elemento do parâmetro −λ e o produto dos elementos dos parâmetros λ e μ é dado pelo elemento do parâmetro λ + μ.
Os grupos de Lie podem ser classificados de acordo com suas propriedades algébricas ( abeliana , simples (en) , semi-simples , solucionável , nilpotente ) ou topológica ( conectado , simplesmente conectado , compacto ).
Eles também são geralmente classificados em quatro tipos, mostrados na tabela de exemplos abaixo:
Você pode naturalmente associar com qualquer grupo de Lie G uma álgebra de Lie . Existem duas maneiras equivalentes de introduzir esta álgebra de Lie. Uma é o de introduzir um espaço campos vectoriais de L , a segunda consiste em fornecer o espaço tangente ao elemento identidade de um colchete de Lie , que deriva da expressão local da lei interno de L .
G denota um grupo de Lie real ou complexo de dimensão n . Por g um elemento de L, a aplicação é um difeomorfismo de variedade real ou complexa subjacente L . Um campo de vectores de X em L é dito para ser invariante esquerda quando, por qualquer par de elementos de g e h de L , tem-se: (onde se denotar o valor do campo de vectores de X no ponto a).
Para qualquer variedade diferencial real ou complexa M , o espaço vetorial real ou complexo de campos vetoriais sobre M , denotado I (M) , é dotado de uma estrutura natural de álgebra de Lie real ou complexa, cujo gancho é o gancho do campo vetorial. A naturalidade significa exatamente que todo morfismo f : M → N entre variedades induz um morfismo da álgebra de Lie f *: I ( N ) → I ( M ). Em particular, para M = N = G , temos automorfismos ( L g ) * da álgebra de Lie I ( G ). O conjunto de pontos fixos comuns a todos esses automorfismos ( L g ) * é uma subálgebra de Lie de I ( G ), denotada . Seus elementos são campos vetoriais invariantes deixados no G .
Deixe- T e G do espaço tangente na e para G , e denota o elemento neutro G . O mapa (onde X e é o valor de X no elemento neutro) é um isomorfismo linear. A estrutura da álgebra de Lie , por conseguinte, exerce, através deste isomorfismo em uma estrutura de álgebra de Lie no espaço vector T e L .
Esta estrutura pode ser definida diretamente. Suponha que dado f um mapa local de G no elemento neutro e com f ( e ) = 0, então o produto do grupo de Lie lido no mapa local f é de segunda ordem:
onde B é um mapa bilinear e antissimétrico. A estrutura da álgebra de Lie sobre T e G é dada por
Na primeira apresentação, qualquer vector X de é , por definição, uma invariante campo vetorial esquerda na G . A invariância à esquerda implica que seu fluxo é definido globalmente. O exponencial de X é definida como a imagem em tempo de um do elemento de identidade e de L . Mais precisamente, existe uma função única c : ℝ → G cuja derivada é dada pore de modo que c ( 0 ) = e .
Possui a seguinte propriedade notável: para todos os s e t .
Se houver, para v = X e , uma re-parametrização incluindo a variável t mostra.
Podemos então verificar
Esta função é também chamada função exponencial e conecta o álgebra de Lie para o grupo de Lie L . Ele define um difeomorfismo entre um bairro de 0 em e um bairro de e em G . No entanto, em geral, o mapeamento exponencial não é sobrejetivo nem injetivo.
Um subgrupo de um parâmetro de G é um mapa diferenciável c : ℝ → G verificando a identidade (*) acima. Em qualquer subgrupo com um parâmetro c está associada com um único elemento X de verificação: .
Vários grupos de Lie podem compartilhar a mesma álgebra de Lie associada. No entanto, para qualquer álgebra de Lie corresponde um grupo de Lie simplesmente conectado G , exclusivo até isomorfismo. Além disso, este isomorfismo é determinado apenas pelo isomorfismo associado das álgebras de Lie. Qualquer grupo de Lie conectado cuja álgebra de Lie seja isomórfica realiza-se como um quociente de G por um subgrupo normal discreto .
Um grupo de Lie conectado é considerado simples, semi-simples, solucionável, nilpotente ou abeliano se sua álgebra de Lie associada tiver a propriedade do mesmo nome. Em particular, a classificação de álgebras de Lie semi-simples fornece uma classificação de grupos de Lie simplesmente conectados e semi-simples.
Se G e H são dois grupos de Lie (reais ou complexos), então um morfismo de grupos de Lie f : G → H é um morfismo de grupo que também é uma função analítica (na verdade, basta que f seja contínuo).
A composição de dois morfismos de grupo de Lie é um morfismo de grupo de Lie e a classe de todos os grupos de Lie é uma categoria . Dois grupos de Lie são considerados isomórficos se existir entre eles um morfismo bijetivo cujo recíproco também é um morfismo.
Teorema Cartan-von Neumann (en) : qualquer subgrupo fechado em um grupo de Lie tem uma estrutura diferencial única para a qual a inclusão do morfismo é um mergulho .
Sejam G e H dois grupos de Lie, e f : G → H um morfismo de grupos de Lie. Então existe um morfismo de álgebra de Lie único : da álgebra de Lie associada a G para aquela associada a H , de modo que, para qualquer campo de vetores X invariante à esquerda em G, temos, para todo t :
Além disso, se f é um isomorfismo também. Visto como a aplicação de T e G em T e H , não é outro senão o diferencial de f calculada pelo elemento neutro L .
Na tabela abaixo, o termo Um * indica a matriz adjunta de uma matriz de um .
Grupo de mentiras | Descrição | Propriedades | Álgebra de mentira | Descrição | Dimensão |
---|---|---|---|---|---|
ℝ n | Espaço euclidiano fornecido com a adição | Abelian; simplesmente conectado, não compacto | ℝ n | O colchete de Lie é zero | não |
ℝ * | Números reais diferentes de zero fornecidos com a multiplicação | Abelian; não conectado, não compacto | ℝ | Gancho de mentira é zero | 1 |
ℝ * + | Números reais estritamente positivos fornecidos com a multiplicação | Abelian; simplesmente conectado, não compacto | ℝ | Gancho de mentira é zero | 1 |
Números complexos de módulo 1 fornecidos com a multiplicação | Abelian; conectado, não simplesmente conectado, compacto | ℝ | Gancho de mentira é zero | 1 | |
Grupo linear geral : matrizes reais n × n invertíveis | Não relacionado, não compacto | Matrizes N × n , o gancho de Lie sendo o comutador | n ² | ||
Matrizes reais n × n com determinante positivo | Simplesmente conectado, não compacto | Matrizes N × n , o gancho de Lie sendo o comutador | n ² | ||
Grupo especial linear : matrizes reais do determinante 1 | Simplesmente conectado, não compacto se n > 1 | Matrizes quadradas com traço zero, o gancho de Lie sendo o comutador | n ² - 1 | ||
Grupo ortogonal : matrizes ortogonais reais | Não relacionado, compacto | Matrizes quadradas reais antissimétricas , sendo o gancho de Lie o comutador; é isomórfico a e ℝ 3 com o produto vetorial | n ( n - 1) / 2 | ||
Grupo ortogonal especial : matrizes ortogonais reais do determinante 1 | Simples para n = 3 e n ≥ 5; semi-simples para n = 4; conectado, compacto, não simplesmente conectado para n ≥ 2 | Matrizes quadradas reais anti-simétricas, o gancho de Lie sendo o comutador | n ( n - 1) / 2 | ||
Grupo Spin | Simples para n = 3 e n ≥ 5; semi-simples para n = 4; simplesmente conectado, compacto | Matrizes quadradas reais anti-simétricas, o gancho de Lie sendo o comutador | n ( n - 1) / 2 | ||
Grupo simplético : matrizes simpléticas reais | Simples; não compacto | Matrizes reais que satisfazem JA + A T J = 0 onde J é a matriz anti-simétrica padrão | n (2 n + 1) | ||
Unidade Grupo : n × n complexas matrizes de unidade | Não apenas conectado, compacto; isomórfico a S 1 para n = 1 | Matrizes quadradas complexas A verificando A = - A * , o gancho de Lie sendo o comutador | n ² | ||
Grupo unitária especial : n x n matrizes unidade complexa de um determinante | Simples para n ≥ 2; simplesmente conectado, compacto | Matrizes quadradas complexas de traços zero A verificando A = - A * , o gancho de Lie sendo o comutador | n ² - 1 | ||
Quatérnios de módulo 1 fornecidos com a multiplicação, também observado | Simples; simplesmente conectado, compacto; topologicamente uma esfera, isomórfica para e | Quaternions com parte real zero, o gancho de Lie sendo o produto vetorial ; Vetores isomórficos a reais de dimensão 3, também isomórficos a , é uma dupla cobertura de | 3 | ||
Grupo compacto Simpléctica : n x n quaterniônicos matrizes unitárias | Simples; compacto, simplesmente conectado | Matrizes quaterniônicas quadradas A verificando A = - A * , o gancho de Lie sendo o comutador | n (2 n + 1) |
As dimensões são fornecidas em ℂ. (Qualquer grupo complexo ou álgebra de Lie pode ser pensado como um grupo ou álgebra de Lie bidimensional real.)
Grupo de mentiras | Descrição | Propriedades | Álgebra de mentira | Descrição | Dimensão |
---|---|---|---|---|---|
ℂ n | Espaço euclidiano fornecido com a adição | Abelian; simplesmente conectado, não compacto | ℂ n | Gancho de mentira é zero | não |
ℂ * | Números complexos diferentes de zero fornecidos com a multiplicação | Abelian; não simplesmente conectado, não compacto | ℂ | Gancho de mentira é zero | 1 |
Grupo linear geral : matrizes complexas n × n invertíveis | Relacionado, não apenas relacionado, não compacto; isomórfico a ℂ * para n = 1 | Matrizes N × n , o gancho de Lie sendo o comutador | n ² | ||
Grupo especial linear : matrizes complexas do determinante 1 | Simples; simplesmente conectado, não compacto para n ≥ 2 | Matrizes quadradas com traço zero, o gancho de Lie sendo o comutador | ( n ² - 1) | ||
Grupo ortogonal : matrizes ortogonais complexas | Não conectado, não compacto para n ≥ 2 | Matrizes quadradas antissimétricas complexas, gancho de Lie sendo o comutador | n ( n - 1) / 2 | ||
Grupo ortogonal especial : matrizes ortogonais complexas do determinante 1 | Simples para n = 3 e n ≥ 5; semi-simples para n = 4; não simplesmente conectado, não compacto para n ≥ 2 | Matrizes quadradas antissimétricas complexas, gancho de Lie sendo o comutador | n ( n - 1) / 2 | ||
Grupo simplético : complexas matrizes simplécticas | Simples; não compacto | Matrizes complexas que satisfazem JA + A T J = 0, onde J é a matriz anti-simétrica padrão | n (2 n + 1) |
As dimensões são fornecidas em ℍ.
Grupo de mentiras | Descrição | Propriedades | Álgebra de mentira | Descrição | Dimensão |
---|---|---|---|---|---|
ℍ * | Quatérnions diferentes de zero dotados de multiplicação | Simplesmente conectado, não compacto | ℍ | Quaternions, o gancho de Lie sendo o comutador | 1 |
Existem cinco grupos de Lie excepcionais, designados respectivamente por E6 , E7 , E8 , F4 e G2 .
(en) " Atlas of Lie Groups and Representations " , no NSF , American Institute of Mathematics (en)