Em muitos ramos da matemática , pode-se ser levado a comparar dois "objetos" entre si, mostrando que um dos "objetos" é um "subobjeto" do outro (às vezes por meio de uma injeção , substituindo o conjunto de inclusão ). Em algumas teorias, principalmente na geometria diferencial , o termo embedding é totalmente definido, enquanto em outras é mencionado apenas em contextos intuitivos e, portanto, não tem um significado preciso.
Um mapa f : X → Y entre dois espaços topológicos é um embedding de X em Y se ele induz (por coestrição ) um homeomorfismo de X em f ( X ) (dotado com a topologia induzida ).
Esta restrição é sobrejetiva por definição. É contínuo e injetivo se e somente se f for.
Qualquer injeção contínua aberta ou fechada é uma incorporação.
Em topologia diferencial , sejam V e W duas variedades da classe C k (possivelmente k infinito) e f : V → W uma função.
Dizemos que f é um embedding C k se é um embedding no sentido topológico e se, além disso, f é C k e para todo x ∈ V , a aplicação linear tangente T f ( x ) é injetiva.
Um embedding é então um difeomorfismo C k em sua imagem , cuja imagem é uma subvariedade diferencial de W (este último resultado requer o teorema de funções implícitas ).
Nós o diferenciamos de:
Se V é compacto e se f : V → W é uma imersão injetivo, então f é uma incorporação de V em W .
Contra-exemplos quando V não é compactoTeorema de embedding de Whitney - Qualquer variedade de classe C k ( k ≥ 1 ) e de dimensão n admite um embedding em R 2 n .
No contexto de espaços métricos, falamos de incorporação de um espaço imerso em outro. Um parâmetro importante é então a distorção ( fator de estiramento (en) ), ou seja, uma medida da transformação das distâncias durante a operação. Um exemplo de resultado é o lema de Johnson-Lindenstrauss .
Sejam ( P , ≤) e ( Q , ≼) duas ordens . Então f : P → Q é uma incorporação de ordens (em) se para todo p 1 e p 2 de P :
p 1 ≤ p 2 ⇔ f ( p 1 ) ≼ f ( p 2 ) .Tal aplicação é necessariamente injetiva.
Os equalizadores às vezes são chamados de “mergulhos” .
Em uma categoria que admite imagens e coimagens, um embedding pode estar relacionado a um monomorfismo que seria um isomorfismo na imagem (ou a coimagem é isomórfica à imagem).
Uma incorporação de gráfico (em) , é a operação que consiste em imergir um gráfico em espaço, de acordo com determinadas condições. Um exemplo clássico é o caso de grafos planos : grafos que podem ser desenhados no plano, sem cruzar arestas.