Monomorfismo

No contexto da álgebra geral ou álgebra universal , um monomorfismo é simplesmente um morfismo injetivo .

No quadro mais geral da teoria das categorias , um monomorfismo é um morfismo simplificado à esquerda , ou seja, um morfismo tal que para qualquer Z , $f \ dois pontos X \ a Y$

{\ displaystyle \ forall g_ {1}, g_ {2} \ dois pontos Z \ a X \ quad \ left (f \ circ g_ {1} = f \ circ g_ {2} \ quad \ Rightarrow \ quad g_ {1} = g_ {2} \ right),}

ou ainda: o aplicativo

{\ displaystyle f _ {*} \ dois pontos \ operatorname {Hom} (Z, X) \ to \ operatorname {Hom} (Z, Y), ~ g \ mapsto f \ circ g {\ text {é injetivo.}} }

Monomorfismos são a generalização para categorias de funções injetivas ; em certas categorias, os dois conceitos também coincidem. Mas os monomorfismos permanecem objetos mais gerais (veja o exemplo abaixo ).

O dual de um monomorfismo é um epimorfismo (ou seja, um monomorfismo na categoria C é um epimorfismo na categoria dual C op ).

Terminologia

Os termos estabelecidos monomorfismo e epimorfismo foram originalmente introduzidos por Bourbaki , que usou o monomorfismo como uma abreviação para denotar funções injetivas. Posteriormente, os teóricos das categorias deram a esses dois termos a definição acima, o que causou alguns mal-entendidos nos casos em que a nova noção não coincidia com a antiga. Saunders Mac Lane tentou remediar a situação restaurando "monomorfismo" ao seu significado setista anterior e chamando a noção categórica de "morfismo mônico", mas suas escolhas não entraram em uso.

Exemplos

Qualquer morfismo de uma categoria concreta cuja aplicação subjacente é injetiva é um monomorfismo.

Na categoria de conjuntos , o inverso é verdadeiro e, portanto, os monomorfismos são exatamente os morfismos injetivos. O inverso também é verdadeiro na maioria das categorias usuais devido à existência de objetos livres em um gerador. Em particular, isso é verdade para qualquer categoria abeliana concreta, e também para a categoria de grupos e a de anéis .

Por outro lado, em outras categorias concretas, os monomorfismos não são necessariamente injetivos. Por exemplo, na categoria Div de grupos abelianos divisíveis e morphisms entre eles, há Monomorfismo não injective: considerar a aplicação quociente f : Q → Q / Z . Não é injetivo; no entanto, é um monomorfismo desta categoria. De fato, se f ∘ g 1 = f ∘ g 2 para dois morfismos g 1 , g 2 : G → Q onde G é um grupo abeliano divisível, então f ∘ h = 0 onde h = g 1 - g 2 (que tem significado em uma categoria de aditivo ). Isso significa que o grupo ( divisível ) im ( h ) está incluído em Z de forma trivial , ou seja: h = 0 , portanto g 1 = g 2 .

Propriedades

O composto de dois monomorfismos é um monomorfismo.
Para todo X , id X : X → X é um monomorfismo.
Se k ∘ f é um monomorfismo, então f também.
De acordo com as duas propriedades anteriores, qualquer seção (ou seja, qualquer morfismo que pode ser invertido à esquerda ) é um monomorfismo. As seções também são chamadas de monos divididos .
Um morfismo f : X → Y é um monomorfismo se e somente se o produto da fibra de f por f existe e é igual a X (fornecido com os mapas id X ).

Conceitos relacionados

Existem também os conceitos de monomorfismo regular, monomorfismo forte e monomorfismo extremal. Um monomorfismo regular equaliza alguns morfismos. Um monomorfismo extremo é um monomorfismo que só pode ser fatorado trivialmente usando um epimorfismo: mais precisamente, se m = g ∘ e com e um epimorfismo, então e é um isomorfismo . Um monomorfismo forte satisfaz uma certa propriedade de levantamento em relação a quadrados comutativos, implicando em um epimorfismo .

Notas e referências

( fr ) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Monomorfismo " ( veja a lista de autores ) .

(em) Saunders Mac Lane , categorias para o matemático trabalhador [ detalhes de publicação ], p. 19 .
(em) George Bergman (em) , Convite para Álgebra Geral e Construções Universais , Springer ,2015( 1 st ed. 1988), 572 p. ( ISBN 978-3-319-11478-1 , leitura online ) , p. 258.
(en) Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra , vol. 1: Teoria da Categoria Básica , CUP ,1994, 345 p. ( ISBN 978-0-521-44178-0 , leitura online ) , p. 26.
Bergman 2015 , p. 255
Borceux 1994 , p. 24
Borceux 1994 , p. 53

Link externo

(en) Jaap van Oosten, " Basic Category Theory " , na University of Utrecht ,2002