Produto vetorial

Em matemática , especificamente em geometria , o produto vetorial é uma operação vetorial feita em espaços euclidianos orientados de dimensão 3. O formalismo atualmente utilizado apareceu em 1881 em um manual de análise vetorial escrito por Josiah Willard Gibbs para seus alunos físicos. As obras de Hermann Günther Grassmann e William Rowan Hamilton estão na origem do produto vetorial definido por Gibbs.

História

resumo

O estabelecimento do conceito de produto vetorial decola na segunda metade do XIX E século , mesmo se Lagrange usa em 1773 quantidades comparáveis aos componentes do produto cruzado de dois vetores. Mas esse uso permanece limitado a um uso único. Em 1843, Hamilton inventou os quatérnios que permitiram que o produto vetorial fosse introduzido naturalmente. Independentemente e no mesmo período (1844), Grassmann define em Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik um “produto geométrico” a partir de considerações geométricas; mas falha em definir claramente um produto cruzado. Grassmann então leu Hamilton e foi inspirado por seu trabalho a publicar em 1862 uma segunda versão de seu tratado, que era muito mais clara. Da mesma forma, Hamilton lê as obras de Grassmann, as comenta e as aprecia. Mais tarde, Maxwell começou a usar a teoria dos quatérnios para aplicá-la à física. Depois de Maxwell, Clifford modificou profundamente o formalismo do que se tornou a análise vetorial . Ele está interessado na obra de Grassmann e Hamilton com uma clara preferência pelo primeiro. Em seu trabalho Elements of Dynamic (1878), Clifford define o produto vetorial de dois vetores como um vetor ortogonal aos dois vetores e cuja magnitude é igual à área do paralelogramo formado pelos dois vetores. Em 1881, Gibbs publicou Elementos de análise vetorial arranjados para o uso de estudantes de física, inspirando-se em trabalhos anteriores, incluindo o de Clifford e Maxwell. Se os físicos foram rápidos em usar o formalismo de Gibbs, ele não foi aceito na matemática até muito mais tarde, e após várias modificações.

Anedota

Peter Guthrie Tait , no prefácio à terceira edição de seu tratado sobre quatérnios, descreve o novo formalismo criado por Gibbs como um "monstro hermafrodita, composto pelas notações de Hamilton e Grassmann" .

Avaliação

Várias notações estão competindo pelo produto vetorial:

Em França , o produto cruzado de $u$ e $v$ é denotada $u \land v$ , onde o símbolo $\land$ lê vector ( cunha em Inglês). Esta classificação foi introduzida por Cesare Burali-Forti e Roberto Marcolongo em 1908. Sua desvantagem é que ela conflita com a classificação do produto externo ;
Na literatura inglesa e alemã (bem como no Canadá francês, na Suíça e às vezes na Bélgica), o produto vetorial é denotado como $u \times v$ . Esta avaliação é devida a Josiah Willard Gibbs . Sua desvantagem é induzir uma possível confusão com o produto dos reais e o produto cartesiano , mas esses produtos não se relacionam com objetos da mesma natureza;
Uma terceira notação, favorecida por exemplo por Arnold , é o uso de colchetes de Lie : $[ u , v ]$ .

Neste artigo, será utilizada a primeira convenção (com ou sem setas nos vetores).

Definição

Seja E um espaço vetorial euclidiano orientado de dimensão 3. Pela escolha de uma base ortonormal , E pode ser identificado com o espaço R 3 , mas essa identificação não é obrigatória para definir o produto vetorial.

Do ponto de vista geométrico ,

o produto vetorial de dois vetores e de E não colinear é definido como o único vetor, de modo que: ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec w}$

o vetor é ortogonal aos dois vetores dados; ${\ vec w}$
${\ displaystyle \ | {\ vec {w}} \ | = \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ | \ left | \ sin ({\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}}) \ right |}$ ;
a base é simples , ${\ displaystyle ({\ vec {u}}, {\ vec {v}}, {\ vec {w}})}$

e o produto vetorial de dois vetores colineares é zero por definição.

Em particular :

dois vetores são colineares se (e somente se) seu produto vetorial for zero;
dois vetores são ortogonais se e somente se a norma de seu produto vetorial for igual ao produto de suas normas;
o módulo do produto vetorial é igual à área do paralelogramo definido pelos dois vetores e . ${\ vec w}$ ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$

A noção de orientação pode ser entendida aqui de uma forma elementar usando a regra da mão direita : o polegar, o indicador e o dedo médio separados em um triédrico indicam respectivamente a direção de , de e de . Esta definição , utilizada no ensino secundário, não é totalmente satisfatória, mas continua a ser uma abordagem adaptada às aplicações, em particular na física (ver a orientação do artigo (matemática) para uma abordagem mais teórica). ${\ vec {u}}$ ${\ vec v}$ ${\ vec w}$

Definição pelo produto misto

Uma segunda definição usa a teoria dos determinantes e a noção de produto misto como ponto de partida. O produto misto de três vetores $u$ , $v$ , $w$ , denotado $[ u , v , w ]$ é o determinante dos três vetores em um b ase o rtho n Ormee d irecte (BOND) um. A fórmula de mudança de base mostra que esse determinante é independente da escolha da base direta; geometricamente é igual ao volume orientado do paralelepípedo apoiado nos vetores $u$ , $v$ , $w$ .

O produto cruzado de dois vetores $u$ e $v$ é o vetor único $u \land v$ tal que, para qualquer $w$ , temos: ${\ displaystyle [u, v, w] = (u \ wedge v) \ cdot w.}$

O produto vetorial é interpretado como as variações do volume orientado de um paralelepípedo em função do terceiro lado.

Com tal definição, é possível definir, em um espaço vetorial orientado de dimensão n + 1, o produto vetorial de n vetores.

Esta definição é reformulada recorrendo ao formalismo dos espaços euclidianos . O produto vetorial $u \land v$ é então o vetor dual da aplicação linear $w : ⟼ [ u , v , w ]$ , dado pelo teorema de representação de Riesz .

Cálculo de componente

A escolha arbitrária de uma base ortonormal direta fornece uma identificação de E e de . Denotam as coordenadas $u$ $= ($ $L$ $1$ $,$ $L$ $2$ $,$ $L$ $3$ $)$ e $v$ $= ($ $v$ $1$ $,$ $v$ $2$ $,$ $v$ $3$ $)$ . $\ mathbb {R} ^ {3}$

Seu produto cruzado é dado por:

{\ displaystyle u \ wedge v = {\ begin {pmatrix} u_ {2} v_ {3} -u_ {3} v_ {2} \\ u_ {3} v_ {1} -u_ {1} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {2} -u_ {2} v_ {1} \ end {pmatriz}}}

Esta terceira definição, por ser equivalente às duas precedentes, é independente, apesar das aparências, da escolha da base ortonormal direta em que as coordenadas são calculadas.

Propriedades

Propriedades algébricas

O produto vetorial é um produto distributivo e anticomutativo:
- Distributividade em relação à adição: $u \ wedge (v + w) = u \ wedge v + u \ wedge w$ ,
- Compatibilidade com multiplicação por um escalar : $\ lambda (u \ wedge v) = \ lambda u \ wedge v = u \ wedge \ lambda v$ ,
- Antissimetria : ${\ displaystyle u \ wedge v = -v \ wedge u}$ .

Essas propriedades decorrem imediatamente da definição do produto vetorial pelo produto misto e das propriedades algébricas do determinante.

Não é associativo - ou seja, em geral $u \land ( v \land w )$ não é igual a $( u \land v ) \land w$ - e mais precisamente, verifica as igualdades do vetor de produto duplo :

{\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) = (u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w \ qquad {\ text {e}} \ qquad (u \ wedge v) \ wedge w = ( u \ cdot w) v- (v \ cdot w) u}

. Prova das igualdades do produto duplo cruzado

Observe primeiro que cada uma das duas igualdades é deduzida da outra por antissimetria e que são imediatas quando os dois vetores entre parênteses, no produto duplo, estão ligados. Vamos mencionar alguns dos muitos métodos de demonstrar um ou outro, do mais calculista ao mais erudito.

Podemos desenvolver os dois membros da equação em coordenadas em qualquer base ortonormal direta e ver que os dois resultados são iguais.
Um método padrão é fazer o mesmo, mas em uma base ortonormal direta correspondente ao método de Gram-Schmidt (assumindo livre), que simplifica os cálculos. $(u, v)$
Podemos notar imediatamente que sempre existem dois números reais $α$ , $β$ tais que

$u \ wedge (v \ wedge w) = \ alpha v + \ beta w$ (de fato, se $v$ e $w$ são independentes, o plano que eles geram é o ortogonal de seu produto vetorial, mas o produto duplo pertence a este ortogonal), e mesmo (realizando o produto escalar dos dois membros por $u$ ) que lá existe um $λ$ real tal que ${\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) = \ lambda ((u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w)}$ . Em seguida, mostramos que $λ$ é independente de $u$ , $v$ e $w$ . Concluímos calculando seu valor em uma configuração simples: por exemplo, se $( u , v )$ é ortonormal então $u \land ( v \land u ) = v,$ portanto $λ$ = 1.

Em vez de comparar diretamente os dois membros da igualdade, podemos comparar seu produto escalar com um vetor $x$ arbitrário, usando as propriedades do determinante de Gram :

${\ begin {alinhado} (x \ cdot ((u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w)) & = (x \ cdot v) (u \ cdot w) - (x \ cdot w) ( u \ cdot v) \\ & = \ operatorname {Gram} (x, u; v, w) \\ & = ((x \ wedge u) \ cdot (v \ wedge w)) \\ & = [x, u, v \ wedge w] \\ & = (x \ cdot (u \ wedge (v \ wedge w))). \ end {alinhado}}$

D.-J. Mercier, O teste de apresentação na CAPES matemática, vol. 4 , Publibook, 2008 ( ISBN 978-2-74834110-2 ) , p. 301.
Exercício corrigido em uel.unisciel.fr.
H. Muller, R. Weidenfeld e A. Boisseau, Mathematics MPSI , Bréal, 2008 ( ISBN 978-2-74950033-1 ) , p. 75 .
Para mais detalhes, consulte o capítulo "Produto de vetor duplo" na Wikiversidade .
R. Ferréol, MPSI 09/10, Exercícios sobre os espaços euclidianos , exercício 44.
P. Dupont, Introdução à geometria , De Boeck, 2002 ( ISBN 978-2-80414072-4 ) , p. 194, dá até, por este método, uma generalização da fórmula em qualquer dimensão.

Portanto, verifica a identidade de Jacobi , tornando-o um gancho de Lie :

${\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) + w \ wedge (u \ wedge v) + v \ wedge (w \ wedge u) = 0}$ .

A partir da identidade de Lagrange

$\ left ((bc'-b'c) ^ {2} + (ca'-c'a) ^ {2} + (ab'-a'b) ^ {2} \ right) + (aa '+ bb '+ cc') ^ {2} = (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) (a '^ {2} + b' ^ {2} + c '^ {2} ),$ podemos facilmente demonstrar igualdade $\ | {\ vec u} \ wedge {\ vec v} \ | ^ {2} + ({\ vec u} \ cdot {\ vec v}) ^ {2} = \ | {\ vec u} \ | ^ {2} \ | {\ vec v} \ | ^ {2}$ que também pode ser escrito na forma: $\ left ({\ dfrac {\ | {\ vec u} \ wedge {\ vec v} \ |} {\ | {\ vec u} \ | \ | {\ vec v} \ |}} \ right) ^ { 2} + \ left ({\ dfrac {{\ vec u} \ cdot {\ vec v}} {\ | {\ vec u} \ | \ | {\ vec v} \ |}} \ right) ^ {2 } = 1,$ que é equivalente à identidade trigonométrica $\ sin ^ {2} (\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec {v}}}) + \ cos ^ {2} (\ widehat {{\ vec {u}}, {\ vec v }}) = 1$ e que nada mais é do que uma das formas de escrever o teorema de Pitágoras .

As primeiras propriedades algébricas acima ( bilinearity e dupla fórmula produto vetor) proporcionar uma solução para a divisão vector problema $u \land x = v$ , onde o desconhecido é o vector $x$ e os dados são os dois vectores de $u$ e $v$ , assumindo $u$ não zero e ortogonal $av$ (caso contrário, a resolução é instantânea). De fato, de $u \land ( v \land u ) = ║ u ║ 2 v$ , deduzimos que $x 0 = ( v \land u ) / ║ u ║ 2$ é uma solução. Porém, o kernel da aplicação linear $x \mapsto u \land x$ é a reta vetorial $R u$ , então o conjunto de soluções desta equação linear é $x 0 + R u$ .

Invariância por isometrias

O produto vetorial é invariante pela ação de isometrias vetoriais diretas. Mais exatamente, para todos os vetores $u$ e $v$ de E e para qualquer rotação $f$ de E , temos: $f \ left [u \ wedge v \ right] = f (u) \ wedge f (v).$

Essa identidade pode ser comprovada de forma diferente dependendo da abordagem adotada:

Definição geométrica : A identidade é imediata com a primeira definição, pois $f$ preserva a ortogonalidade, a orientação e os comprimentos.

Produto misto : O isomorfismo linear $f$ deixa o produto misto de três vetores invariante. De fato, o produto misto de $f ( u )$ , $f ( v )$ , $f ( w )$ pode ser calculado na imagem por $f$ da base ortonormal direta na qual o produto misto de $u$ , $v$ e $w$ é calculado. Na verdade, a identidade anterior é obtida imediatamente:

(f (u) \ wedge f (v)) \ cdot f (w) = [f (u), f (v), f (w)] = [u, v, w] = (u \ wedge v) \ cdot w \, = f (u \ wedge v) \ cdot f (w)

onde $f ( w )$ atravessa todo o espaço vetorial quando $w o$ atravessa, uma vez que $f$ é uma bijeção, daí a igualdade desejada.

Definições alternativas

Como produto da mentira

Qualquer isometria direta de R 3 é uma rotação vetorial. O conjunto de isometrias diretas forma um grupo de Lie clássico denotado SO (3) (em outras palavras, um subgrupo fechado de GL 3 ( R )). Sua álgebra de Lie , denotada assim (3), é a subálgebra de Lie de gl 3 ( R ) definida como o espaço tangente de SO (3) em identidade. Um cálculo direto mostra que é o espaço de matrizes anti-simétricas de tamanho 3. Este espaço é a fortiori estável pelo gancho de Lie.

Qualquer matriz antissimétrica $A$ de tamanho 3 é escrita de uma maneira única ${\ displaystyle \ mathrm {A} = {\ begin {pmatrix} 0 & -a_ {3} & a_ {2} \\ a_ {3} & 0 & -a_ {1} \\ - a_ {2} & a_ {1} & 0 \ end {pmatrix}}}$ Ao identificar $A$ e o vetor , definimos um isomorfismo linear entre so (3) e R 3 . O gancho de Lie é transportado por meio desse isomorfismo e R 3 herda uma estrutura de álgebra de Lie. O colchete $[$ $u$ $,$ $v$ $]$ de dois vetores é precisamente o produto vetorial de $u$ e $v$ . ${\ displaystyle a = (a_ {1}, a_ {2}, a_ {3})}$

Na verdade, se e , seu gancho é calculado pela introdução das matrizes anti-simétricas correspondentes e : ${\ displaystyle u = (u_ {1}, u_ {2}, u_ {3})}$ ${\ displaystyle v = (v_ {1}, v_ {2}, v_ {3})}$ $você$ $V$

{\ displaystyle [\ mathrm {U}, \ mathrm {V}] = \ mathrm {U} \ mathrm {V} - \ mathrm {V} \ mathrm {U} = {\ begin {pmatrix} 0 & v_ {1 } u_ {2} -u_ {1} v_ {2} & v_ {1} u_ {3} -u_ {1} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {2} -v_ {1} u_ {2 } & 0 & v_ {2} u_ {3} -u_ {2} v_ {3} \\ u_ {1} v_ {3} -v_ {1} u_ {3} & u_ {2} v_ {3} - v_ {2} u_ {3} & 0 \ end {pmatrix}}}

O vetor correspondente, ou seja , portanto, possui coordenadas . Essa abordagem, portanto, redefine o produto vetorial. ${\ displaystyle [u, v]}$ ${\ displaystyle (u_ {2} v_ {3} -v_ {2} u_ {3}, u_ {3} v_ {1} -v_ {3} u_ {1}, u_ {1} v_ {2} -v_ {1} u_ {2})}$

Se seguirmos esta abordagem, é possível provar diretamente a invariância do produto vetorial por isometrias diretas. $f \ left [u \ wedge v \ right] = f (u) \ wedge f (v).$ Como álgebras de Lie, então (3) foi identificado com R 3 . A ação (linear) de SO 3 ( R ) em R 3 é identificada com a ação por conjugação em so (3). SO 3 ( R ), portanto, opera por automorfismo de álgebras de Lie. Em outras palavras, a identidade acima é verificada.

Como um produto de quatérnios imaginários

É possível encontrar o produto vetorial e o produto escalar do produto de dois quatérnios puros. Como um lembrete, o campo (não comutativo) dos quatérnions H é a extensão única de R de dimensão 4. Sua base canônica é $(1, i, j, k)$ onde o subespaço gerado por $i$ , $j$ e $k$ forma o espaço l de quatérnions puros, canonicamente identificados com R 3 . Esses elementos verificam: ${\ displaystyle {\ rm {i}} ^ {2} = {\ rm {j}} ^ {2} = {\ rm {k}} ^ {2} = {\ rm {ijk}} = - 1}$ ; ${\ displaystyle {\ rm {ij}} = - {\ rm {ji}} = {\ rm {k}} \ quad; \ quad {\ rm {jk}} = - {\ rm {kj}} = { \ rm {i}} \ quad; \ quad {\ rm {ki}} = - {\ rm {ik}} = {\ rm {j}}}$ . Se $q 1 = a 1 i + b 1 j + c 1 k$ e $q 2 = a 2 i + b 2 j + c 2 k$ , o produto $q 1 q 2$ é calculado imediatamente: $q_ {1} q_ {2} = - (a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2} + c_ {1} c_ {2}) + (b_ {1} c_ {2} -b_ {2} c_ {1}) {{\ rm {i}}} + (c_ {1} a_ {2} -c_ {2} a_ {1}) {{\ rm {j}}} + (a_ { 1} b_ {2} -a_ {2} b_ {1}) {{\ rm {k}}}.$ A parte real é para o sinal mais próximo o produto escalar de $q 1$ e $q 2$ ; a parte imaginária é um quatérnio puro que corresponde ao produto vetorial, após identificação com R 3 .

Esta coincidência encontra sua explicação na parametrização do grupo SO (3) pelos quatérnios unitários.

Elementos explicativos

O mapa linear envio de 1 a 1, $i$ para $-i$ , $j$ para $-j,$ e $k$ para $k$ é chamado conjugação. O conjugado de um quaternion $q$ é denotado por q . Um quatérnion é um real se e somente se for igual ao seu conjugado. O pedido define um produto interno no espaço vectorial H . Diz-se que um quatérnion é unitário quando tem a norma 1. Nesse caso, decorre da própria definição do produto escalar que ele é invertível e que seu inverso é seu conjugado. O conjunto de quatérnions unitários, a esfera unitária S 3 , forma um grupo compacto e simplesmente conectado (Lie) . Ele age sobre o espaço de quaternions imaginários por conjugação. Para qualquer quatérnio unitário $u$ e para qualquer quatérnio imaginário $q$ : $(q, q ') \ mapsto q \ overline {q'}$ $u \ cdot q = uq \ overline {u} = uqu ^ {{- 1}}.$ Esta ação preserva o padrão; em outras palavras, é uma ação por isometrias. Portanto, define um morfismo de grupos:

S ^ {3} \ rightarrow SO (3)

Este morfismo é na realidade a cobertura universal do grupo SO (3). Portanto, induz um isomorfismo entre as álgebras de Lie.

A álgebra de Lie de S 3 é precisamente o espaço de quatérnions imaginários fornecido com o gancho de Lie obtido como a parte imaginária do produto dos quatérnios. Esta álgebra de Lie é isomórfica à álgebra de Lie R 3 (fornecida com o produto vetorial).

Esta é a razão fundamental pela qual a parte imaginária de dois quatérnios imaginários é identificada com o produto vetorial.

É novamente possível justificar a invariância por isometria. Qualquer isometria do espaço de quatérnions imaginários é escrita como a conjugação por um quatérnio unitário. Se $q$ é um quatérnio unitário $eq 1$ , $q 2$ são quatérnios imaginários, basta observar:

\ left [qq_ {1} \ overline {q} \ right]. \ left [qq_ {2} \ overline {q} \ right] = q (q_ {1} q_ {2}) \ overline {q}

para deduzir a invariância isométrica do produto vetorial.

Pelo produto tensorial

Let Ser dois vectores de $u$ e $v$ , cuja três coordenadas numa base ortonormais directa são denotadas, respectivamente, e . Podemos definir o tensor cujas 9 coordenadas são $u_i$ $v_ {j}$ ${\ displaystyle u \ otimes v}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} u_ {1} v_ {1} & u_ {1} v_ {2} & u_ {1} v_ {3} \\ u_ {2} v_ {1} & u_ {2} v_ {2} & u_ {2} v_ {3} \\ u_ {3} v_ {1} & u_ {3} v_ {2} & u_ {3} v_ {3} \\\ end {pmatrix}}}

que, em notação tensorial, é escrito de forma simples . ${\ displaystyle (u \ otimes v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j}}$

Este tensor pode ser dividido na meia-soma de dois tensores, um completamente simétrico, que possui 6 coordenadas independentes, dadas por , e o outro, completamente anti-simétrico, que possui 3 coordenadas independentes, dadas por . ${\ displaystyle u \ odot v = u \ otimes v + v \ otimes u}$ ${\ displaystyle (u \ odot v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} + v_ {i} \, u_ {j}}$ ${\ displaystyle u \ wedge v = u \ otimes vv \ otimes u}$ ${\ displaystyle (u \ wedge v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} -v_ {i} \, u_ {j}}$

Podemos associar e o vetor $z$ cujas coordenadas são: $u \ wedge v$

{\ displaystyle z_ {1} = (u \ wedge v) _ {23}, \; z_ {2} = (u \ wedge v) _ {31}, \; z_ {3} = (u \ wedge v) _ {12}}

que, usando o símbolo Levi-Civita pode ser escrito $\ varejpsilon$ ${\ displaystyle z_ {k} = \ varepsilon _ {ijk} \, u_ {i} \, v_ {j}}$

De acordo com a convenção de somatório de Einstein , que soma sobre $i$ e $j$ na fórmula acima. Por exemplo, para $k = 3$ ( $i$ e $j$ variando de 1 a 3) ,. ${\ displaystyle z_ {3} = varej \ varejpsilon _ {ij3} \, u_ {i} \, v_ {j} = \ varepsilon _ {123} \, u_ {1} \, v_ {2} + \psilon _ { 213} \, u_ {2} \, v_ {1} = u_ {1} \, v_ {2} -v_ {1} \, u_ {2}}$

Como esta igualdade é preservada durante uma mudança de base ortonormais directa, $Z$ é, de facto o produto cruzado de $u$ e $v$ .

Nota: Na escrita acima, denote o produto exterior dos vetores $u$ e $v$ . Com a notação para o produto vetorial, podemos escrever , etc. o que não representa nenhum problema. Com a notação francesa para o produto vetorial, obtemos o que pode levar à confusão. $u \ wedge v$ $\ vezes$ ${\ displaystyle (u \ times v) _ {1} = (u \ wedge v) _ {23}}$ ${\ displaystyle \ wedge}$ ${\ displaystyle (u \ wedge v) _ {1} = (u \ wedge v) _ {23}}$

No caso geral, a base não é necessariamente ortonormal direta. À medida que o produto externo é definida intrinsecamente (definição tensor), a expressão das suas coordenadas é inalterada: . Mas não é o mesmo para o produto vetorial. Para generalizar para o caso de qualquer base, (sempre na dimensão 3) é necessário introduzir as coordenadas covariantes e contravariantes assim como o tensor de Levi-Civita. $u \ wedge v$ ${\ displaystyle (u \ wedge v) _ {ij} = u_ {i} \, v_ {j} -v_ {i} \, u_ {j}}$ $\ eta$

Em seguida, obtemos ou de maneira equivalente ${\ displaystyle z_ {k} = \ eta _ {ijk} \, u ^ {i} \, v ^ {j}}$ ${\ displaystyle z ^ {k} = \ eta ^ {ijk} \, u_ {i} \, v_ {j}}$

De propriedades algébricas

Caracterização do produto vetorial na dimensão 3

Teorema: se um mapa bilinear denotado por em $E$ , $E$ espaço vetorial real de dimensão 3, satisfaz para todos : $\ wedge$ ${\ displaystyle E \ times E}$ $u, v, w$

Regra de troca: ${\ displaystyle (u \ wedge v) \ cdot w = u \ cdot (v \ wedge w)}$
Fórmula de produto duplo: ${\ displaystyle u \ wedge (v \ wedge w) = (u \ cdot w) v- (u \ cdot v) w \ qquad}$

Em seguida, existe uma orientação de $E$ como é o produto do vetor de $E$ . $\ wedge$

Etapas sucessivas da demonstração:

no. Mostramos a partir de e usando 1. e depois 2. ${\ displaystyle \ lVert u \ wedge v \ rVert ^ {2} = \ lVert u \ rVert ^ {2} \ lVert v \ rVert ^ {2} - (u \ cdot v) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ lVert u \ wedge v \ rVert ^ {2} = (u \ wedge v) \ cdot (u \ wedge v)}$

b. Deduz-se dele diretamente (igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz ) então calculando . ${\ displaystyle u \ wedge v = 0 \ Leftrightarrow (u, v) {\ text {linked}}}$ ${\ displaystyle u \ wedge v = -v \ wedge u}$ ${\ displaystyle (u + v) \ wedge (u + v)}$

vs. Sejam dois vetores normalizados ortogonais, então usando 1. e a. mostramos que é ortonormal, então isso e . ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}}$ $e_ {3} = e_ {1} \ cunha e_ {2}$ $(e_ {1}, e_ {2}, e_ {3})$ ${\ displaystyle e_ {2} \ wedge e_ {3} = e_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {3} \ wedge e_ {1} = e_ {2}}$

d. Ao expressar $u$ e $v$ nesta base, declarou direta, nós calcular as coordenadas da , que, em seguida, mostram que “o” produto cruz é, de fato. $u \ wedge v$ $\ wedge$

Outra caracterização em qualquer dimensão a priori

Chamado produto vetor em um espaço euclidiano V um mapeamento bilinear denotado × variando de V × V de V , tendo as seguintes propriedades: $({\ mathbf {x}}, {\ mathbf {y}}) \ mapsto {\ mathbf {x}} \ times {\ mathbf {y}}$

{\ mathbf {x}} \ cdot ({\ mathbf {x}} \ times {\ mathbf {y}}) = ({\ mathbf {x}} \ times {\ mathbf {y}}) {\ mathbf { \ cdot y}} = 0

(ortogonalidade),

| {\ mathbf {x}} \ times {\ mathbf {y}} | ^ {2} = | {\ mathbf {x}} | ^ {2} | {\ mathbf {y}} | ^ {2} - ({\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {y}}) ^ {2}

(relação entre padrões),

onde ( x · y ) é o produto escalar e | x | é a norma do vetor x . Uma formulação equivalente, usando o ângulo θ entre os vetores, é:

| {\ mathbf {x}} \ times {\ mathbf {y}} | = | {\ mathbf {x}} || {\ mathbf {y}} | \ sin \ theta,

que é a área do paralelogramo (no plano de x e y ), possuindo as duas vectores para os lados. Também é possível mostrar que a seguinte expressão é equivalente às duas anteriores:

{\ displaystyle | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | ~ {\ mbox {si}} \ \ left (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} \ right) = 0}

Em seguida, provamos que um produto vetorial não trivial só pode existir nas dimensões três e sete; além disso, na dimensão três, este produto vetorial é único, exceto pelo sinal.

Formulários

Mecânico

Definimos o operador de rotação da seguinte forma: $\ overrightarrow {\ operatorname {rot}} \ {\ vec u} = {\ vec \ nabla} \ wedge {\ vec u} = {\ begin {vmatrix} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\\ parcial _ {x} & \ parcial _ {y} & \ parcial _ {z} \\ u_ {x} & u_ {y} & u_ {z} \ end {vmatrix}}.$ Na mecânica do estado sólido , é uma operação muito utilizada em particular na relação de Varignon que liga os dois campos vetoriais de um torsor . Por outro lado, as equações de Maxwell sobre eletromagnetismo são expressas por meio do operador rotacional, assim como as equações da mecânica dos fluidos , em particular as de Navier-Stokes .

O momento de uma força é definido como o produto vetorial desta força pelo vetor conectando seu ponto de aplicação $A$ ao pivô $P$ considerado: ${\ vec {\ mathrm F}}$ ${\ vec {{\ mathrm {AP}}}}$ ${\ vec {\ mathrm M}} _ {{{\ vec {\ mathrm {F / P}}}}} = {\ vec {\ mathrm F}} \ wedge {\ vec {{\ mathrm {AP}} }} = {\ vec {{\ mathrm {PA}}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm F}}.$ É uma noção primordial na mecânica dos sólidos.

Equação plana no espaço

Sejam A , B e C três pontos não alinhados no espaço, graças aos quais podemos formar o plano ( ABC ).

$M ( x , y , z )$ pertence a ( ABC ) se e somente se as coordenadas de M satisfazem a equação de ( ABC ).

A equação cartesiana de ( ABC ) tem a forma $ax + by + cz + d = 0$ , onde $a , b , c$ e $d$ são números reais e é um vetor normal a ( ABC ), ou seja, seu produto escalar com o vetor ou com ou com o vetor é zero, portanto, si é um vetor ortogonal a dois vetores não colineares de ( ABC ). ${\ vec w}$ $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {AC}$ $\ overrightarrow {BC}$ ${\ vec w}$

Os reais $um , b$ e $c$ são, por conseguinte, os respectivos componentes em $x , y$ e $z$ do vector , transversal produto de dois vectores não colineares do plano ( ABC ), por exemplo e . ${\ vec w}$ $\ overrightarrow {AB}$ $\ overrightarrow {AC}$

Geometria plana

Seja ABCD um paralelogramo , ou seja, temos a relação ${\ displaystyle {\ overrightarrow {AB}} = {\ overrightarrow {DC}}}$ .

Conforme indicado acima na definição, a área deste paralelogramo é igual à norma do produto vetorial dos dois vetores nos quais se baseia: ${\ displaystyle \ left \ | {\ overrightarrow {AB}} \ wedge {\ overrightarrow {AD}} \ right \ |}$ .

Notas e referências

Notas

Todos os espaços vetoriais euclidianos tridimensionais orientados são isomorfos dois por dois ; isomorfismo é uma isometria bem definida até a composição por uma rotação .
É de fato possível definir uma operação com propriedades semelhantes em espaços 7-dimensionais; consulte " Produto vetorial na dimensão 7 ".
Podemos também definir o produto vetorial de n -1 vetores em um espaço vetorial euclidiano orientado de dimensão n .
Outra desvantagem é que o produto vetorial não é associativo nem comutativo, mas também é o caso de “produtos” em álgebras não associativas .
Consulte a seção Definição #Como um produto Lie .
A equivalência entre esta definição e a anterior é demonstrada, por exemplo, na lição "Produto vetorial" da Wikiversidade .
Para uma demonstração, veja por exemplo a lição "Produto vetorial" na Wikiversidade .

Referências

Crowe 1994 .
Jean-Paul Collette, História da matemática , t. 2, Vuibert, 1979 ( ISBN 0-7767-0164-9 ) , p. 244 .
Joseph-Louis Lagrange, " Soluções analíticas de alguns problemas em pirâmides triangulares ", Novas memórias da Royal Academy of Sciences and Belles-Lettres ,1773, reimpresso em Serret, Œuvres de Lagrange , vol. 3, Gauthier-Villars ,1869( leia online ) , p. 661-692
Jean Dieudonné (ed.), Abrégé d'histoire des mathematiques 1700-1900 [ detalhe das edições ], 1986, p. 107 .
Crowe 1994 , p. 85
(in) William Clifford, Elements of Dynamic: An Introduction to the Study of Motion and Rest in Solid and Fluid Bodies , MacMillian and Co (London)1878, p. 95
Cajori 1993 , p. 134 e 136.
Cajori 1993 , p. 138
" Produto vetorial "
A notação francesa usual do produto vetorial tridimensional é , mas não parece haver qualquer menção do caso geral na literatura $\ scriptstyle {\ mathbf {x}} \ wedge {\ mathbf {y}}$
(in) WS Massey, " Produtos cruzados de vetores em espaços euclidianos de dimensão superior " , American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America , vol. 90, n o 10,1993, p. 697–701 ( DOI 10.2307 / 2323537 , ler online )
Massey (1993) e (em) Robert B Brown e Alfred Gray, “ Vector cross products ” , Commentarii Mathematici Helvetici , Birkhäuser Basel, vol. 42,1967, p. 222-236 ( DOI 10.1007 / BF02564418 , leia online ) peça que a aplicação seja bilinear.
A definição do ângulo em um espaço de dimensão n é geralmente dada usando o produto escalar, como valendo a pena . Portanto, e aplicando o teorema de Pitágoras à relação entre as normas , sen θ sendo sempre positivo neste intervalo. Ver (en) Francis Begnaud Hildebrand, Methods of Applied Mathematics , Courier Dover Publications , ${\ displaystyle \ theta = {\ widehat {(\ mathbf {x \ cdot y})}} = \ arccos (\ mathbf {x \ cdot y} | / (\ mathbf {x} || \ mathbf {y} | )), \ \ mathrm {com} \ 0 \ leq \ theta \ leq \ pi}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {x} \ times \ mathbf {y} | = | \ mathbf {x} || \ mathbf {y} | \ sin \ theta}$ 1992, Reimpressão de Prentice-Hall 1965 2ª ed. , 362 p. , pocket ( ISBN 978-0-486-67002-7 , ler online ) , p. 24
(en) Pertti Lounesto , álgebras e espinores de Clifford , Cambridge, Reino Unido, Cambridge University Press ,2001, 2 nd ed. , 338 p. , pocket ( ISBN 978-0-521-00551-7 , LCCN 2001025396 , ler online ) , p. 96-97.
(em) MG Kendall , Um Curso de Geometria das N dimensões , Publicações Courier Dover ,2004, 63 p. , pocket ( ISBN 978-0-486-43927-3 , LCCN 2004047769 , ler online ) , p. 19
(in) ZK Silagadze, produto vetorial multidimensional ,2002, " Math.RA / 0204357 " , texto de livre acesso, em arXiv ..

Obras mencionadas

(pt) Florian Cajori , A History of Mathematical Notations [ detalhe das edições ], 1993
(pt) Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis (pt) : The Evolution of the Idea of a Vectorial System , Dover ,1994, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1985), 270 p. ( ISBN 0-486-67910-1 , leia online )

Veja também

Bibliografia

Marcel Berger , Geometria [ detalhe das edições ]

Link externo

www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf . "Produto cruzado, produto cruzado pseudo e endomorfismos anti-simétricos". 9 páginas.

QCM Prod , um programa python gratuito para treinamento em produtos vetoriais.