Pseudovetor

Em física , um pseudovetor ou vetor axial é um vetor de dimensão 3 cuja direção depende da orientação do sistema de coordenadas de referência . É um objeto matemático que se comporta da mesma forma que um vetor para uma rotação direta (mantendo os ângulos orientados), mas de forma diferente durante uma isometria indireta, como uma simetria em relação a um ponto ou em relação a um plano.

A simetria em relação à origem de uma base ortonormal resulta em uma mudança de sinal das coordenadas do pseudovetor. Falamos de pseudovetores em oposição aos chamados vetores verdadeiros ou polares , que são invariantes por tal inversão.

As regras de cálculo para pseudovetores são, portanto, diferentes daquelas para vetores verdadeiros. A razão é que um pseudovetor, mesmo que tenha como vetor três componentes relacionados ao sistema de coordenadas escolhido, não é realmente um vetor, mas um objeto matemático denominado forma diferencial de grau 2 (ou forma 2)., Que pode ser representado por uma matriz antissimétrica de três linhas e três colunas, tendo apenas três componentes independentes.

Definição

Um pseudovetor é um objeto matemático que tem, como um vetor real, uma direção, uma direção e um módulo (mais possivelmente uma posição), mas que se comporta de maneira diferente durante uma simetria (em relação a um ponto ou em relação a um plano) ou durante uma mudança de quadro de referência (de um triedro direto para um triedro inverso, ou vice-versa), cf. abaixo .

Avaliação

Podemos distinguir pseudovetores de vetores verdadeiros observando-os com uma seta curva ( sentido anti-horário ), lembrando o caráter pseudovetorial de uma rotação. Exemplo: para o pseudovetor de velocidade de rotação . ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$

Em geral

Os pseudovetores são freqüentemente construídos a partir de um produto vetorial (de dois vetores polares) ou rotacional (de um vetor polar).

Se e forem dois vetores verdadeiros (polares), o objeto definido por ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$

{\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}} = {\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}}

é um pseudovetor. Se transformarmos todos os eixos em seus opostos, os vetores polares serão transformados em seus opostos (serão substituídos por e por ). Se fosse um vetor polar, sua imagem por esta transformação deveria ser ouro, usando a fórmula de cálculo do produto vetorial, vemos que é invariante por tal transformação: não obedece às mesmas regras de transformação que os "reais" »Vetores, daí o nome pseudovetor . ${\ vec a}$ ${\ displaystyle - {\ vec {a}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle - {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$ ${\ displaystyle - {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}}}$

Este conceito pode ser generalizado: falaremos de pseudoescalares e pseudotensores para quantidades que não respeitam todas as regras de cálculo de escalares e tensores.

O operador rotacional , um produto vetorial com o operador nabla , também constrói pseudovetores.

A noção de pseudovetor é particularmente importante na análise das propriedades de simetria de campos vetoriais. Assim, se o campo elétrico (vetor verdadeiro) tem as mesmas simetrias de suas fontes (um plano de simetria de cargas é um plano de simetria de ), o campo magnético inverte essas propriedades (um plano de simetria de correntes é um plano de antissimetria de ) . ${\ vec {E}}$ ${\ vec {E}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {B}}}$

Um pseudovetor é um tensor antissimétrico de 2ª ordem e possui três componentes em um espaço tridimensional.

Significado

Os pseudovetores podem ser usados para representar:

ângulos em um plano do espaço (1 vez covariante 1 vez pseudovetores contravariantes: isto é, aqueles cuja norma é um escalar verdadeiro, como ângulos). Intuitivamente, esses pseudovetores correspondem a uma noção de ângulo em um plano do espaço;
elementos de superfícies orientadas no espaço (pseudovetores 2 vezes contravariantes: sua norma é um escalar duplamente contravariante, como as áreas);
uma distribuição de superfície em um ponto no espaço. (Pseudovetores covariantes de 2 vezes, equivalentes a formas bilineares alternadas).

A ideia que conecta os três significados é a de um plano, uma superfície plana.

Exemplos físicos

Exemplos de pseudovetores em física:

o momento angular , momento de momento ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {L _ {\ mathrm {O}}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} \ wedge {\ vec {p}}}$
o momento de uma força ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ Gamma _ {\ mathrm {O}}}} = {\ overrightarrow {\ mathrm {OM}}} \ wedge {\ vec {F}}}$
o campo magnético ( Lei de Biot e Savart : ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathrm {d} B}} = \ left ({\ frac {\ mu _ {0} I} {4 \ pi}} \ right) {\ frac {{\ vec {r}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {d} l}}} {r ^ {3}}}}$
o momento magnético ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ mathrm {d} \ mu}} = {\ frac {1} {2}} \, {\ vec {r}} \ wedge {\ vec {j}} \ ; \ mathrm {d} V}$
a vorticidade de um fluido , rotacional do campo de velocidade ( ); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} = {\ overset {\ hookrightarrow} {\ operatorname {rot}}} ({\ vec {v}})}$
a velocidade angular .

O produto vetorial do pseudovetor da velocidade angular e do vetor do raio até o centro de rotação dá a velocidade do ponto considerado: esta é a fórmula de Varignon .

O produto vetorial do pseudovetor de aceleração angular e o raio do vetor fornece a aceleração do ponto considerado.

Simetrias

Simetria sobre um ponto

Em uma simetria S O em relação a um ponto O, um pseudovetor permanece invariante (enquanto um vetor polar é transformado em seu oposto).

Exemplo:

Symmetry S O transforma dois vetores polares e em e , mas . ${\ vec v}$ ${\ vec w}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} '= - {\ vec {v}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {w}} '= - {\ vec {w}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} '\ wedge {\ vec {w}}' = {\ vec {v}} \ wedge {\ vec {w}}}$

Simetria em relação a um plano

Em uma simetria S P em relação a um plano P , o componente normal (ao plano) de um pseudovetor permanece invariante e seu componente paralelo é transformado em seu oposto (ao passo que é o oposto para um vetor polar).

Exemplo:

Em uma simetria em relação a um plano P :

um disco rotativo paralelo ao plano permanece invariante (além da posição de seu centro), assim também sua velocidade de rotação do pseudovetor (perpendicular ao plano); ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$
um disco rotativo perpendicular ao plano é transformado em disco rotativo na outra direção, seu pseudovetor de velocidade rotacional (paralelo ao plano) é, portanto, transformado em . ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}} \, '= - {\ overset {\ hookrightarrow} {\ omega}}}$

Regras de cálculo

Deve-se atentar para o fato de que se os cálculos forem realizados em bases ortonormais, pode haver confusão entre vetor / covetor / pseudovetor. Essas regras de cálculo podem ser usadas para remover ambigüidades e, em seguida, alterar a base.

Produto vetorial

Se e são vetores verdadeiros (vetores polares), o objeto definido por é um pseudovetor. ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ vec {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}} = {\ vec {a}} \ wedge {\ vec {b}}}$
Se é um vetor real e um pseudovetor, o objeto definido como acima é um vetor de reais: . ${\ vec a}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ vec {a}} \ wedge {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$
É o mesmo para o produto vetorial de um pseudovetor e um vetor verdadeiro: (este é notadamente o caso do vetor de Poynting no eletromagnetismo ). ${\ displaystyle {\ vec {p}} = {\ overset {\ hookrightarrow} {a}} \ wedge {\ vec {b}}}$
Se e são pseudovecteurs, o objecto definido como acima, é um pseudovetor: . ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {a}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ overset {\ hookrightarrow} {p}} = {\ overset {\ hookrightarrow} {a}} \ wedge {\ overset {\ hookrightarrow} {b}}}$

Adição

A adição ou subtração de dois pseudovetores é um pseudovetor.
O oposto de um pseudovetor é um pseudovetor.
Não adicionamos um pseudovetor com um vetor ou covetor.
Não adicionamos pseudovetores de tipos diferentes.

Multiplicação por um escalar verdadeiro

A multiplicação de um pseudovetor por um escalar verdadeiro é um pseudovetor do mesmo tipo.
A multiplicação de um vetor verdadeiro por um escalar é um vetor verdadeiro.

Produto escalar

O produto escalar de um vetor verdadeiro e um covetor é um escalar verdadeiro.
O produto escalar de dois pseudovetores é um escalar verdadeiro.

Padrão

A norma de um pseudovetor é um escalar. É calculado pela fórmula , onde um , b e c são as coordenadas do pseudovetor no escolhido base ortonormais . ${\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}$

Mudança de base

Os pseudovetores obedecem a fórmulas de mudança de base diferentes dos vetores verdadeiros.

As bases dos pseudovetores são diferentes das bases dos vetores verdadeiros: em bases ortonormais, isso resulta em mudanças de sinal; em qualquer base por mudanças de todas as coordenadas entre um vetor e o pseudovetor da mesma direção. Se escrevermos pseudovetores e vetores verdadeiros no que parece ser a mesma base ( i , j , k ), será novamente necessário distinguir as bases durante operações como simetria plana.

Produto misto

O produto misturado é definido pelo determinante:

{\ mathrm {Det}} {\ bigl (} {\ boldsymbol a}, {\ boldsymbol b}, {\ boldsymbol c} {\ bigr)} = {\ boldsymbol a} \ cdot ({\ boldsymbol b} \ wedge {\ boldsymbol c})

Se a é um pseudovetor eb e c são vetores verdadeiros, o resultado é um escalar verdadeiro. Em outros casos, consulte a definição do produto misturado .

Torções

A resultante de um torsor é um verdadeiro vetor no caso de um torsor cinético , dinâmico ou estático .
A resultante de um torsor é um pseudovetor no caso de um torsor cinemático .
O momento de um torsor é um pseudovetor no caso de um torsor cinético , dinâmico ou estático .
O momento de um torsor é um verdadeiro vetor no caso de um torsor cinemático .

Rotacional e divergência

Rotacional

A rotação de um campo de vetores verdadeiros é um pseudovetor. Este pseudovetor é do tipo 1 covariante vez, 1 vez contravariante.

Por outro lado, para um campo de pseudovetores, existe uma contradição entre duas abordagens:

se mantivermos as mesmas fórmulas dos vetores (enquanto estamos trabalhando em outra base!), o rotacional é um vetor real. Esta é a definição mais comum. O exemplo mais conhecido é o das equações de Maxwell: a rotação do pseudovetor campo magnético B é proporcional ao vetor atual, que é um vetor verdadeiro: ${\ boldsymbol \ nabla} \ wedge {\ boldsymbol B} = \ mu _ {0} \ left ({\ boldsymbol j} + {\ boldsymbol j} _ {{{\ rm {D}}}} \ right)$ ;
seguindo a segunda abordagem, os pseudovetores se comportando em todos os casos como tensores antissimétricos de segunda ordem, eles são analisados como tais. E então usamos a definição de rotação dada para os tensores de segunda ordem. Surge então algo extraordinário: a rotação de um campo de pseudovetores calculado de acordo com essa definição tem a mesma fórmula na base canônica dos pseudovetores, que a divergência para campos de vetores verdadeiros na base canônica de vetores verdadeiros. Ou seja, o nome usual do operador de rotação para campos de pseudovetor é divergência . E isso é sempre zero;

Divergência

A divergência de um campo de vetores verdadeiros é escalar. Por outro lado, a divergência de um campo de pseudovetores é sempre zero. Esta é a definição mais comum, o exemplo usual sendo, novamente, o campo magnético.

Síntese

O que é comumente chamado de rotacional tem, de fato, para os vetores verdadeiros o significado de rotacional: os pseudovetores representam de fato rotações. Mas isso tem para os pseudovetores o significado físico de uma divergência. E para tensores de segunda ordem, este é um vetor.
O que é comumente chamado de divergência é sempre zero para pseudovetores.

Representação matricial

Um pseudovetor pode ser representado por um tensor antissimétrico de ordem 2, com 3 possibilidades: ou o tensor é 2 vezes contravariante, ou 1 vez contravariante-1 vez covariante, ou 2 vezes covariante. Apenas os 2 nd caso corresponde a um habitual matriz , onde a acção de tal tensor de um em um vector novamente dá um vector.

Neste caso, em base ortonormal, a matriz:

{\ begin {pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ - b & a & 0 \\\ end {pmatrix}}

corresponde ao pseudovetor geralmente representado por:

{\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}

Esta representação por matriz quadrada é particularmente adequada porque:

o produto vetorial com um vetor verdadeiro resulta em uma multiplicação de matriz simples (preste atenção, entretanto, ao sinal e à ordem dos fatores);
o produto vetorial com outro pseudovetor resulta no gancho de Lie das duas matrizes. [A, B] = AB - BA; é zero se e somente se as duas matrizes comutam;
as mudanças de base são idênticas às mudanças de base dos tensores de ordem 2, mesmo às das matrizes quando se trata de um tensor 1 contravariante-1 vez covariante;
torna fácil ver que um pseudovetor corresponde a uma matriz de rotação de um quarto de volta em um plano seguido ou precedido por uma projeção neste plano;
na dimensão 2, o produto vetorial dos dois vetores de base do plano corresponde a uma matriz anti - simétrica :

{\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\\ end {pmatrix}}

Com esta matriz, podemos representar números complexos . O produto da matriz desta matriz consigo mesmo dá, com efeito, o oposto da matriz de identidade. E também permite, por combinação linear, representar semelhanças diretas no plano .

Exponencial

A exponencial da matriz que representa os pseudovetores na dimensão 3 é uma matriz de rotação, de ângulo (em radianos ) , cuja direção é dada pelo pseudovetor. ${\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}$

Generalização: tensores

As noções de variância / covariância vêm do formalismo de tensores .

Esse formalismo permite estender as noções de vetor, covetor e pseudovetor para espaços de dimensão maior que 3.

Notas e referências

Dicionário de física e química . J.-L. Basdevant, X. Bataille, P. Fleury, P. Kohl, J. Robert. Coordenação, Jérôme Robert. Nathan, 2004, página 326.
Dicionário de Física . Richard Taillet, Loïc Villain, Pascal Febvre. 2 nd edição. De Boeck, 2009, página 449-450.
Jean-Pierre Provost e Gérard Vallée, Matemática em Física: Física através do filtro da matemática , Paris, Éditions Dunod , coll. "Sup Sciences",Março de 2004, 1 r ed. , 331 p. ( ISBN 2-10-004652-7 ) , p. 62-63.

Veja também

links externos

www.isima.fr/~leborgne/IsimathMeca/Produitvectoriel.pdf . "Produto cruzado, produto cruzado pseudo e endomorfismos anti-simétricos". 9 páginas.