Torsor cinético
O torsor cinético é uma ferramenta matemática utilizada na mecânica dos sólidos , em particular para calcular a energia cinética de um sistema e para aplicar o princípio fundamental da dinâmica .
Definição
Seja um referencial R e um sólido S para o qual definimos o campo de densidade ρ. O vetor velocidade pode ser definido em qualquer ponto M do sólido . A partir deste campo vetorial, podemos definir o momento angular em relação a um determinado ponto A, denotado por:
V→(M){\ displaystyle {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M})}σ→NO(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R})}
σ→NO(S/R)=∫SNOM→∧V→(M,S/R)ρ(M)dV=∫SNOM→∧V→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}} } \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}} = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}onde dV é um volume elementar infinitesimal de matéria em torno do ponto M e d m = ρ (M) dV é a massa desse elemento. O momento angular é expresso em kg⋅m 2 ⋅s −1 .
Pode-se definir um momento angular em relação a cada ponto A do sólido. O momento angular, portanto, forma um campo vetorial. Este campo é equiprojetivo : é, portanto, um torsor , denominado torsor cinético (não deve ser confundido com o torsor cinemático ).
Demonstração
Omitem-se as referências ao sólido S e ao referencial R para clarear as notações.
Nós temos
σ→B-σ→NO=∫(BM→-NOM→)∧V→(M)dm=∫BNO→∧V→(M)dm=BNO→∧∫V→(M)dm=BNO→∧p→{\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {B}} - {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} = \ int ({\ overrightarrow {\ mathrm {BM}} } - {\ overrightarrow {\ mathrm {AM}}}) \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = \ int {\ overrightarrow {\ mathrm { BA}}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge \ int {\ vec { \ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m = {\ overrightarrow {\ mathrm {BA}}} \ wedge {\ vec {p}}}ou
p→=∫V→(M)dm{\ displaystyle {\ vec {p}} = \ int {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}) \ mathrm {d} m}é independente do ponto.
Se existe uma resultante, o campo é, portanto, equiprojetivo.
Percebe-se que, quanto ao torsor dinâmico e ao contrário do torsor cinemático, não é necessário supor que o sólido seja indeformável.
Resultante
A resultante do torsor é chamada de momentum e anotada . É definido por (veja a demonstração acima):
p→(S/R){\ displaystyle {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R})}
p→(S/R)=∫SV→(M,S/R)ρ(M)dV=∫SV→(M,S/R)dm{\ displaystyle {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R}) = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M}, \ mathrm {S / R}) \ rho (\ mathrm {M}) \ mathrm {dV}} = \ int _ {\ mathrm {S}} {{\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {M }, \ mathrm {S / R}) \ mathrm {d} m}}É expresso em kg⋅m⋅s −1 . Observe que
p→(S/R)=mV→(G/R){\ displaystyle {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R}) = m {\ vec {\ mathrm {V}}} (\ mathrm {G / R})}onde G indica o centro de inércia e m a massa total do S. sólido
Elementos de redução
Como todos os torsores , o torsor cinético pode ser representado por elementos de redução em um ponto, ou seja, pelos dados do vetor resultante e um valor do momento angular em um determinado ponto A. Nós então notamos
VS(S/R)={p→(S/R)σ→NO(S/R)}NO/R{\ displaystyle {{\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R})} = {\ begin {Bmatrix} {\ vec {p}} (\ mathrm {S / R}) \\ {\ vec { \ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) \ end {Bmatrix}} _ {\ mathrm {A / R}}}
Momento cinematográfico
O vetor momento angular também pode ser escrito
σ→NO(S/R)=NOG→∧mV→NO(S/R)+[euNO(S)]⋅Ω→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge m {\ vec {\ mathrm { V}}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) + [\ mathrm {I_ {A}} (\ mathrm {S})] \ cdot {\ vec {\ Omega}} ( \ mathrm {S / R})}onde [I A (S)] é a matriz de inércia (ou operador de inércia ) de S em relação ao ponto A, e é o vetor de velocidade angular (ou taxa de rotação) de S.
Ω→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ Omega}} (\ mathrm {S / R})}
Se escrevermos o momento angular em G, temos:
σ→G(S/R)=[euG(S)]⋅Ω→(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R}) = [\ mathrm {I_ {G}} (\ mathrm {S})] \ cdot {\ vec {\ Omega}} (\ mathrm {S / R})}de onde :
σ→NO(S/R)=NOG→∧mV→G(S/R)+σ→G(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ overrightarrow {\ mathrm {AG}}} \ wedge m {\ vec {\ mathrm { V}}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R}) + {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R})}
Relacionamento com o torsor dinâmico
O momento dinâmico pode ser deduzido do momento angular por
δ→NO(S/R)=ddtσ→NO(S/R)+m⋅V→NO/R∧V→G(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) + m \ cdot {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {A / R}} \ wedge {\ vec {\ mathrm {V}}} _ {\ mathrm {G}} (\ mathrm {S / R})}Esta relação é simplificada quando o vetor velocidade dos pontos A é colinear com o de G - a fortiori quando A = G - ou quando A é um ponto fixo em R:
δ→NO(S/R)=ddtσ→NO(S/R){\ displaystyle {\ vec {\ delta}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ vec {\ sigma}} _ {\ mathrm {A}} (\ mathrm {S / R})}
D(S/R)NO=ddt[VS(S/R)NO]{\ displaystyle {{\ mathcal {D}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ esquerda [{{\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R})} _ {\ mathrm {A}} \ direita]}
Energia cinética
Graças às notações de torção, podemos calcular a energia cinética de um sólido. Este último é igual à metade do comoment do torsor cinético pelo torsor cinemático .
T(S/R)=12{VS(S/R)G}⊗{V(S/R)G}{\ displaystyle \ mathrm {T} (\ mathrm {S / R}) = {\ frac {1} {2}} {\ begin {Bmatrix} {\ mathcal {C}} (\ mathrm {S / R}) _ {\ mathrm {G}} \\\ end {Bmatrix}} \ otimes {\ begin {Bmatrix} {\ mathcal {V}} (\ mathrm {S / R}) _ {\ mathrm {G}} \\ \ end {Bmatrix}}}
A energia cinética é expressa em joules (J).
Bibliografia
- Michel Combarnous , Didier Desjardins e Christophe Bacon , Mecânica dos sólidos e sistemas de sólidos , Dunod , col. "Ciências Superiores",2004, 3 e ed. ( ISBN 978-2-10-048501-7 ) , p. 97-99
Veja também
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