Em física, o vetor de velocidade angular , também chamado de vetor de Poisson, é uma grandeza vetorial - ou mais precisamente um pseudovetor - que determina a velocidade angular (escalar) de um objeto, bem como o eixo em torno do qual o objeto gira. A unidade SI de velocidade angular é radianos por segundo ( rad / s ), embora possa ser medida em outras unidades como graus por segundo, revoluções por segundo, revoluções por minuto, graus por hora, etc. Às vezes, é também chamada de velocidade de rotação , normalmente medida em revoluções por unidade de tempo (por exemplo, revoluções por minuto). O vetor de velocidade angular é geralmente representado pelo símbolo ômega ( ω ou , mais raramente Ω ou ).
Se o corpo considerado está em rotação em torno de um eixo fixo no referencial, então a direção do vetor de velocidade angular é paralela ao eixo de rotação. Na simplificação dos movimentos planos, a direção do vetor velocidade é ortogonal ao plano de rotação. A direção do vetor é geralmente dada pela regra da mão direita
Se o corpo não está girando em torno de um eixo fixo, geralmente podemos definir um eixo de rotação instantâneo e, na simplificação dos movimentos planos, um centro de rotação instantâneo (CIR) - a menos que o corpo esteja em movimento. O vetor de velocidade angular tem então as mesmas propriedades com respeito a esses elementos geométricos instantâneos.
A velocidade angular de uma partícula é medida em relação a um ponto, chamado de origem. Conforme mostrado na figura (com ângulos e em radianos , se desenharmos uma linha da origem (O) até a partícula (P), então o vetor velocidade ( v ) da partícula tem um componente le ao longo da linha (componente radial , v ∥ ) e um componente ortogonal ( v ⊥ ). Se o componente radial for zero, a partícula se move em um círculo, enquanto se o componente ortogonal for zero, a partícula se move em uma linha reta passando pela origem.
O movimento radial não induz nenhuma mudança na direção da partícula em relação à origem, portanto, ao observar a velocidade angular, o componente radial pode ser ignorado. Assim, a rotação é inteiramente produzida pelo movimento ortogonal em relação à origem, e a velocidade angular é inteiramente determinada por este componente.
Em duas dimensões, a velocidade angular é dada por:
Está relacionado ao componente ortogonal da velocidade por:
Uma fórmula explícita para v ⊥ como uma função de v e é:
Ao combinar as equações acima, obtemos uma fórmula para :
Na dimensão 2, a velocidade angular é um número que não tem direção, mas que, por outro lado, tem uma direção ou orientação. É um pseudoescalar , uma quantidade que muda de sinal ao realizar uma operação de simetria que muda a orientação, ou seja, uma inversão de paridade (por exemplo, quando um dos eixos é invertido ou quando eles são trocados). O sentido de rotação positivo é, por convenção, ao girar do eixo x para o eixo y . Se tomarmos a convenção inversa (portanto, se a paridade for invertida), mas sem alterar a direção de rotação do objeto, o sinal da velocidade angular muda.
Em três dimensões, a velocidade angular se torna um pouco mais complicada. A velocidade angular é geralmente considerada um vetor ou, mais precisamente, um pseudovetor . Falamos do vetor velocidade angular (ou pseudovetor) . Não tem apenas magnitude, mas também direção e significado. A magnitude é a velocidade angular escalar e a direção indica o eixo de rotação. A direção do vetor especifica a direção da rotação, via regra da mão direita .
Seja um vetor unitário ao longo do eixo instantâneo de rotação, orientado de forma que a rotação vista do ponto do vetor seja realizada no sentido anti - horário . Então, o vetor de velocidade angular pode ser definido por:
Assim como no caso bidimensional, uma partícula tem um componente de sua velocidade ao longo do raio da origem até a partícula e outro componente ortogonal a esse raio. A combinação do vetor raio e do vetor velocidade define um plano de rotação (instantâneo) no qual o movimento da partícula (neste instante) é simplesmente como no caso da dimensão 2. O eixo de rotação é uma linha normal a este plano, e este eixo define a direção do pseudovetor de velocidade angular, enquanto sua magnitude é a mesma que a grandeza pseudoescalar obtida no caso da dimensão 2. Usando o vetor unitário definido acima, podemos escrever o vetor de velocidade angular tão semelhante àquele do caso da dimensão 2:
que, por definição do produto vetorial , pode ser escrito:
Adição de vetores de velocidade angularÉ possível definir uma operação de adição de vetores de velocidade angular a partir da composição de movimentos.
Se um ponto gira com uma velocidade angular em um referencial F 2 que por sua vez gira com uma velocidade angular em relação a um referencial externo F 1 , a soma pode ser definida como sendo o vetor de velocidade angular do ponto em relação a F 1 .
Definida assim a operação de adição, a velocidade angular, que é um pseudovetor, se comporta como um vetor usual, pois possui duas operações:
Com essas duas operações, o conjunto de pseudovetores forma um espaço vetorial , apesar do nome pseudovetores sugerir o contrário. As únicas propriedades difíceis de provar são a comutatividade e a associatividade da adição. A comutatividade, por exemplo, pode ser provada usando o fato de que o tensor de velocidade W (veja abaixo) é anti-simétrico. Portanto, R = \ e W t é uma matriz de rotação. Para um tempo d t , é uma matriz de rotação infinitesimal, que pode ser desenvolvida da seguinte forma:
A composição das rotações não é comutativa, mas para rotações infinitesimais, podemos considerar a aproximação de primeira ordem da série acima, e obteremos
Consequentemente :
.Considere o movimento de um sólido S em relação a um referencial (R). Podemos definir um vetor de velocidade para cada ponto do sólido. Se o sólido for indeformável , o campo de velocidade é equiprojetivo . Portanto, é um torsor ; o vetor, freqüentemente chamado neste contexto de vetor da taxa de rotação e notado , é a resultante do torsor.
Se o campo de velocidade for uniforme, então o sólido está - momentaneamente - em translação, e nós o fizemos .
Dado um quadro de referência composto por três vetores unitários, cada um deles deve ter a mesma velocidade angular em todos os momentos. Nesse quadro de referência, cada um dos vetores é um caso particular do caso anterior (partícula em movimento), no qual a norma de cada um dos vetores é constante.
Embora seja apenas um caso particular do anterior, é um caso muito importante pela sua relação com o estudo do corpo rígido, tendo sido desenvolvidas ferramentas especiais para este caso. Existem duas maneiras possíveis de descrever a velocidade angular de uma sugestão em rotação. O vetor de velocidade angular e o tensor de velocidade angular. Esses dois objetos estão intimamente relacionados e podem ser calculados um do outro.
É definida como a velocidade angular de cada um dos vetores do sistema de coordenadas, de forma consistente com a definição geral.
Sabemos, graças ao teorema da rotação de Euler, que para uma referência rotativa existe a cada momento um eixo instantâneo de rotação . No caso de um sistema de coordenadas, o vetor de velocidade angular está ao longo do eixo instantâneo de rotação.
Adição de vetores de velocidade angular em marcas de referênciaComo no caso geral, a operação de adição para vetores de velocidade angular pode ser definida usando a composição de movimentos. No caso das marcas rotativas, a composição dos movimentos é mais simples do que no caso geral, pois a matriz final é sempre um produto de matrizes rotativas.
Como no caso geral, a adição é comutativa .
Cálculo dos componentes a partir dos vetores da marca de referênciaSubstituindo na expressão
um vetor do sistema de coordenadas, obtém-se e, portanto .
Como as colunas da matriz do sistema de coordenadas são os componentes de seus vetores, isso permite calcular a partir da matriz do sistema de coordenadas e suas derivadas.
Cálculo de componentes de ângulos de EulerOs componentes do pseudovetor de velocidade angular foram calculados pela primeira vez por Leonhard Euler usando seus ângulos de Euler e um referencial intermediário construído a partir dos referenciais intermediários da construção:
Euler provou que as projeções do pseudovetor de velocidade angular nesses três eixos são as derivadas dos ângulos associados (o que equivale a decompor a rotação instantânea em três rotações instantâneas de Euler). Então:
Uma matriz 3 × 3 antisimétrica Ω ( t ) está associada ao vetor de velocidade angular ω ( t ) (matriz 3 × 1):
e tem a forma: