Campo equiprojetivo
Em um espaço euclidiano afim , um campo vetorial é equiprojetivo se:
E{\ displaystyle E} (VP→)P∈E{\ displaystyle ({\ overrightarrow {V_ {P}}}) _ {P \ in E}}
∀P∈E,∀Q∈E,(VP→|PQ→)=(VQ→|PQ→){\ displaystyle \ forall P \ in E, \ forall Q \ in E, ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) = ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {PQ}})}onde denota o produto escalar .
(⋅|⋅){\ displaystyle (\ cdot | \ cdot)}
Existe então um endomorfismo anti - simétrico , como:
você{\ displaystyle u}
∀P∈E,∀Q∈E,VQ→=VP→+você(PQ)→{\ displaystyle \ forall P \ in E, \ forall Q \ in E, {\ overrightarrow {V_ {Q}}} = {\ overrightarrow {V_ {P}}} + u ({\ overrightarrow {PQ)}}}.
Essa noção é usada na física, consulte Equiprojetividade na física .
Demonstração da existência de endomorfismo
Anti-simetria
Deixe ser um ponto arbitrário de . Para qualquer vetor , existe um ponto único tal que e nós o definimos por .
O{\ displaystyle O}E{\ displaystyle E}x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}P{\ displaystyle P}x→=OP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {OP}}}você{\ displaystyle u}você(x→)=VP→-VO→{\ displaystyle u ({\ overrightarrow {x}}) = {\ overrightarrow {V_ {P}}} - {\ overrightarrow {V_ {O}}}}
Vamos mostrar que, para todos os vetores e , temos:
x→=OP→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} = {\ overrightarrow {OP}}}y→=OQ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}} = {\ overrightarrow {OQ}}}
(você(x→)|y→)=-(x→|você(y→)){\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = - ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}}))}o que prova a antissimetria de .
você{\ displaystyle u}
Temos de fato:
(você(x→)|y→)=(VP→-VO→|OQ→)=(VP→|OQ→)-(VO→|OQ→){\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} - {\ overrightarrow {V_ {O}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {O}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}
=(VP→|OQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})} usando a equiprojetividade do campo
V{\ displaystyle V}
=(VP→|OP→+PQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}} + {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ }})}
=(VP→|OP→)+(VP→|PQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}}) + ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})}
=(VP→|OP→)+(VQ→|PQ→)-(VQ→|OQ→){\ displaystyle = ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {OP}}) + ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {PQ}}) - ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}})} novamente usando equiprojetividade.
Se trocarmos as funções de e , obteremos:
x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}y→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}
(x→|você(y→))=(você(y→)|x→)=(VQ→|OQ→)+(VP→|QP→)-(VP→|OP→){\ displaystyle ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = (u ({\ overrightarrow {y}}) | {\ overrightarrow {x}}) = ({\ overrightarrow { V_ {Q}}} | {\ overrightarrow {OQ}}) + ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {QP}}) - ({\ overrightarrow {V_ {P}}} | { \ overrightarrow {OP}})}Nós temos:
(você(x→)|y→)=-(x→|você(y→)){\ displaystyle (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}}) = - ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}}))}
Linearidade
Deduzimos da antissimetria que é linear. De fato, para todos , , temos:
você{\ displaystyle u}x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}}}y→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}λ{\ displaystyle \ lambda}
(você(λx→)|y→)=-(λx→|você(y→))=-λ(x→|você(y→))=λ(você(x→)|y→)=(λvocê(x→)|y→){\ displaystyle \ left (u \ left (\ lambda {\ overrightarrow {x}} \ right) | {\ overrightarrow {y}} \ right) = - (\ lambda {\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = - \ lambda ({\ overrightarrow {x}} | u ({\ overrightarrow {y}})) = \ lambda (u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow { y}}) = (\ lambda u ({\ overrightarrow {x}}) | {\ overrightarrow {y}})}Sendo esta igualdade verdadeira para tudo , deduzimos que:
y→{\ displaystyle {\ overrightarrow {y}}}
você(λx→)=λvocê(x→){\ displaystyle u \ left (\ lambda {\ overrightarrow {x}} \ right) = \ lambda u \ left ({\ overrightarrow {x}} \ right)}Procedemos da mesma forma para mostrar que:
você(x→+x′→)=você(x→)+você(x′→){\ displaystyle u ({\ overrightarrow {x}} + {\ overrightarrow {x '}}) = u ({\ overrightarrow {x}}) + u ({\ overrightarrow {x'}})}
Caso de dimensão 3, torsor
Em uma base ortonormal direta, sendo um endomorfismo anti-simétrico, tem uma matriz anti - simétricavocê{\ displaystyle u}
(0-vsbvs0-no-bno0){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ - b & a & 0 \\\ end {pmatrix}}}
Se nomearmos o vetor de componentes , a matriz precedente é a do aplicativo .
Ω→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}(nobvs){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a \\ b \\ c \ end {pmatrix}}}x→↦Ω→∧x→{\ displaystyle {\ overrightarrow {x}} \ mapsto {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {x}}}
Então nós temos e portanto
∀x→,você(x→)=Ω→∧x→{\ displaystyle \ forall {\ overrightarrow {x}}, u ({\ overrightarrow {x}}) = {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {x}}}
VQ→=VP→+Ω→∧PQ→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V_ {Q}}} = {\ overrightarrow {V_ {P}}} + {\ overrightarrow {\ Omega}} \ wedge {\ overrightarrow {PQ}}}(VP→)P∈E{\ displaystyle ({\ overrightarrow {V_ {P}}}) _ {P \ in E}}é o campo de momentos de um torsor resultante .
Ω→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}
Exemplo
O exemplo típico de um campo equiprojetivo tridimensional é o campo de velocidade de um sólido em movimento. Na verdade, se e são dois pontos do sólido, e se notarmos a distância entre e , temos:
P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}d{\ displaystyle d}P{\ displaystyle P}Q{\ displaystyle Q}
‖PQ→‖2=d2=(PQ→|PQ→){\ displaystyle \ | {\ overrightarrow {PQ}} \ | ^ {2} = d ^ {2} = \ left ({\ overrightarrow {PQ}} | {\ overrightarrow {PQ}} \ right)}e à deriva em relação ao tempo:
(VQ→-VP→|PQ→)=0{\ displaystyle \ left ({\ overrightarrow {V_ {Q}}} - {\ overrightarrow {V_ {P}}} | {\ overrightarrow {PQ}} \ right) = 0}onde denota a velocidade em um ponto.
V→{\ displaystyle {\ overrightarrow {V}}}
O campo de velocidade é, portanto, um torsor. O vetor é denominado vetor de rotação instantânea.
Ω→{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega}}}
Notas e referências
-
" Campo Vetores - Campo de équiprojectif vetores " sobre jdotec.net (acessado em 1 st outubro 2010 )
-
" Cinemática do sólido " [PDF] em melusine.eu.org (acessado em 1 st outubro 2010 )
Veja também
Bibliografia
- E. Ramis , C. Deschamps e J. Odoux , Algebra and applications to geometry , Paris / New York / Barcelona / 1987, Masson, col. "Curso de matemática superior" ( n o 2)1987, 297 p. ( ISBN 2-225-63404-1 ) , cap. 8 (“Les torseurs”), p. 276-294
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