Espaço euclidiano

Em matemática , um espaço euclidiano é um objeto algébrico que permite generalizar de forma natural a geometria tradicional desenvolvida por Euclides , em seus Elementos . Uma geometria desta natureza modela, na física clássica , o plano e também o espaço que nos rodeia. Um espaço euclidiano também permite lidar com as dimensões superiores; é definido pelos dados de um espaço vetorial no campo dos números reais , de dimensão finita , munido de um produto escalar , que permite “ medir ” distâncias e ângulos .

Os dados de um produto escalar permitem, por exemplo, definir a noção de determinadas bases ditas ortonormais , estabelecer uma relação canônica entre o espaço e seu dual , ou especificar famílias de endomorfismos fáceis de reduzir . Também permite definir um padrão e, portanto, uma distância e, portanto, uma topologia , o que disponibiliza os métodos de análise .

Os espaços euclidianos têm uma longa história e muitas aplicações. As relações entre esta ferramenta e o resto da matemática são muitas e variadas, desde lógica e álgebra até geometrias não euclidianas. Este aspecto é tratado no artigo “ Geometria euclidiana ”.

Geometria

Espaço euclidiano e bipontos

No âmbito da construção dos vetores usando as classes de equivalência de bipontos em um espaço afim , uma primeira definição do produto escalar pode ser obtida. A norma de um vetor corresponde ao comprimento de um biponto representativo, o ângulo de dois vetores corresponde ao de dois bipontos representativos da mesma origem. A fórmula que dá o produto escalar é então:

\ langle {\ vec u}, {\ vec v} \ rangle = \ | {\ vec u} \ | \ | {\ vec v} \ | \ cos (\ widehat {{\ vec u}, {\ vec v }}).

Em muitos casos, na física clássica ou na geometria analítica , se a dimensão do espaço não for muito alta (normalmente 2 ou 3), esta definição é suficiente. No entanto, no caso geral, esse formalismo acaba sendo incômodo e não muito adequado, por exemplo, para o estudo das propriedades topológicas de um espaço euclidiano. Uma segunda abordagem, puramente algébrica e mais abstrata, existe e torna mais fácil estabelecer resultados mais gerais.

Geometria triangular

Em um espaço euclidiano, podemos definir - além das distâncias - os ângulos, como classes de equivalência de pares de vetores unitários , dois desses pares ( a , b ) e ( x , y ) representando o mesmo ângulo se houver um rotação do vetor que envia a para x e b para y .

Se E é de dimensão estritamente maior que 2, o ângulo de ( x , y ) é sempre igual ao de ( y , x ). No plano, ao contrário, os ângulos orientados formam um grupo , no qual os ângulos de ( x , y ) e ( y , x ) são simétricos entre si e distintos a menos que y = ± x . Podemos então distinguir uma noção menos precisa de ângulo geométrico , comum a ( x , y ) e ( y , x ), e cuja medida θ é dada pela seguinte fórmula:

\ theta = {{\ rm {Arc \ cos}}} \ left ({\ frac {{\ vec x} \ cdot {\ vec y}} {\ | {\ vec x} \ | \ | {\ vec y } \ |}} \ right).

Esta definição permite formalizar um espaço com a mesma “geometria do triângulo” que se baseia nos famosos postulados descritos nos Elementos de Euclides. Essa geometria verifica os teoremas de Tales , Pitágoras ou Al-Kashi .

Um exemplo clássico é dado pelo círculo de Euler com nove pontos notáveis.

Formalização e primeiras propriedades

Definições

Os axiomas de um espaço vetorial euclidiano E dizem respeito a duas estruturas que se combinam: a primeira é a de um espaço vetorial de dimensão finita sobre o campo ℝ de números reais; a segunda são os dados de uma forma bilinear chamada “produto escalar”, possuindo três propriedades específicas (uma forma bilinear em E é uma aplicação de E × E em ℝ, linear em relação a cada uma das duas variáveis).

Definições -

Um produto escalar em um espaço vetorial real E é uma forma bilinear 〈⋅, ⋅〉
- simétrico : $\ forall x, y \ in E \ quad \ langle x \ ,, \, y \ rangle = \ langle y \ ,, \, x \ rangle,$
- definiram: $\ forall x \ in E \ quad {\ big (} \ \ langle x \ ,, \, x \ rangle = 0 \; \ Rightarrow x = 0 \ {\ big)},$
- positivo: $\ forall x \ in E \ quad \ langle x \ ,, \, x \ rangle \; \ geq \; 0.$
Um espaço vetorial euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita com um produto escalar.
Um espaço afim euclidiano é um espaço afim cuja direção é um espaço vetorial euclidiano.
A norma euclidiana , em um espaço vetorial euclidiano E , é a função de E em ℝ + que a um vetor x associa a raiz quadrada do produto escalar de x por si mesmo: $\ | x \ | = {\ sqrt {\ langle x, x \ rangle}}.$
A distância euclidiana associada é, entre dois vetores, a norma euclidiana de sua diferença: $d (x, y) = \ | yx \ |.$

No caso de um espaço afim, a distância entre dois pontos a e b é igual a norma do vector de extremidades um e b . Qualquer espaço euclidiano, vetorial ou afim, é, portanto, dotado de uma estrutura espacial métrica .

Dizemos que dois vetores são ortogonais se seu produto escalar for zero. O produto escalar sendo definido, não é degenerado : o vetor nulo é o único vetor ortogonal a si mesmo e, a fortiori, o único ortogonal a todo o espaço.

Exemplos

O espaço vetorial ℝ n , dotado do produto escalar canônico e a norma associada, definido, para x = ( x 1 , ..., x n ) ey = ( y 1 , ..., y n ), por $\ langle x, y \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} y_ {i} {\ text {and}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} ^ {2}}},$ é um espaço euclidiano denominado espaço euclidiano canônico de dimensão n .
No espaço vetorial M n (ℝ) de matrizes quadradas de ordem n , identificadas com ℝ ( n 2 ) , o produto escalar canônico é, portanto, reescrito em termos de traço e matriz transposta : $\ langle A, B \ rangle = \ sum _ {{i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}} A _ {{ij}} B _ {{ij}} = {{\ rm { Tr}}} (^ {{\ operatorname t}} \! A ~ B).$ A norma associada é chamada de “ norma Frobenius ”. Encontraremos esta estrutura euclidiana de uma forma mais abstrata no § “Endomorfismo” .
O espaço vetorial de polinômios reais de grau menor ou igual a n ,
- fornecido com o produto escalar $\ left \ langle \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} b_ {i} X ^ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} b_ {i},$ é um espaço euclidiano, trivialmente isomórfico ao espaço euclidiano canônico de dimensão n + 1.
- com um produto escalar diferente: $\ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) Q (t) \ {{\ rm {d}}} t,$ também é um espaço euclidiano. Este produto escalar é o do espaço de Hilbert $L 2 ([0, 1])$ (de dimensão infinita), restrito ao subespaço de funções polinomiais (identificadas como polinômios) de grau menor ou igual a n .
- fornecido com o produto escalar (diferente dos dois anteriores): $\ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} P (x_ {i}) Q (x_ {i})$ (onde x 0 ,…, x n são n + 1 reais distintos) é isomórfico ao espaço euclidiano canônico de dimensão n + 1, pelo mapa P ↦ ( P ( x 0 ),…, P ( x n )).
O ℂ espaço de números complexos é um plano euclidiano , o produto escalar dos dois complexos de x e y sendo a parte real do produto de x pelo conjugado de y .
Mais geralmente, qualquer espaço Hermitiano de dimensão n herda uma estrutura de espaço euclidiano de dimensão 2n , com como produto escalar a parte real do produto escalar original.

Desigualdades de Cauchy-Schwarz e Minkowski

Duas marcações são amplamente utilizadas no estudo de espaços euclidianos.

Desigualdade de Cauchy - Schwarz -

O valor absoluto do produto escalar de dois vetores é aumentado pelo produto de suas normas:

\ forall x, y \ in E \ quad | \ langle x \ ,, \, y \ rangle | \; \ leq \; \ | x \ | \ | y \ |.

A igualdade ocorre apenas se x e y forem colineares .

Desigualdade de Minkowski -

A norma da soma de dois vetores é aumentada pela soma de suas normas:

\ forall x, y \ in E \ quad \ | x + y \ | \; \ leq \; \ | x \ | + \ | y \ |.

A igualdade só ocorre se x e y forem colineares e tiverem o mesmo significado. Esse aumento corresponde ao terceiro axioma que define uma norma , conhecido como subaditividade ou desigualdade triangular .

Propriedades algébricas

Caracterização pela forma polar

Para qualquer norma euclidiana ║ ∙ ║ em um ℝ-espaço vetorial E (de dimensão finita ou infinita), o quadrado ║ ∙ ║ 2 é uma forma quadrática . Seus dados são suficientes para reconstituir o produto escalar do qual a norma ║ ∙ ║ deriva. Três “fórmulas de polarização” ou “formas polares” estão disponíveis para isso. Essas três fórmulas também fornecem três critérios para que uma norma seja euclidiana:

Identidades de polarização - Uma norma ║ ∙ ║ sobre E é euclidiana se e somente se um dos três mapas φ de E × E a ℝ deduzido de ║ ∙ ║ pelas seguintes fórmulas for bilinear. Além disso, esses três mapas são então iguais ao produto escalar do qual ║ ∙ ║ deriva.

{\ begin {matrix} \ forall x, y \ in E & \ varphi (x, y) & = & {\ frac 12} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | x \ | ^ {2} - \ | y \ | ^ {2} \ right), \\\ forall x, y \ in E & \ varphi (x, y) & = & {\ frac 12} \ left (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right) \\\ forall x, y \ in E & \ varphi (x, y) & = & {\ frac 14} \ left (\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} \ right). \ End {matriz}}

Deduzimos imediatamente a seguinte caracterização:

Caracterização por um quádrica - A esfera unitária de um espaço vetor é um quádrica compacto não degenerada centrado em 0. Por outro lado, todos quádrica compacto E não degenerada centrado a 0 é a esfera unidade de um único produto escalar em E .

Demonstração Num espaço afim de dimensão finita n sobre ℝ, fornecido com um sistema de coordenadas cartesiano , uma hipersuperfície quádrica é o conjunto S dos pontos cujas coordenadas ( x i ) neste sistema de coordenadas satisfazem uma equação quadrática, ou seja, que existe existe um polinômio Q ( X ) com n variáveis e de grau 2 tal que S é definido por:

X \ in S \ Leftrightarrow Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0.

(Qualquer mudança no sistema de coordenadas preserva essa propriedade.) Em E visto como um espaço afim a si mesmo, as quádricas compactas não degeneradas centradas em 0 são exatamente aquelas cuja equação, em uma base bem escolhida B de E , é da forma

\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} y_ {i} ^ {2} = 1.

A primeira assertiva é, portanto, imediata, bem como, ao contrário, a existência do produto escalar P (basta escolher aquele para o qual a base B é ortonormal). A singularidade de P resulta das identidades de polarização e do fato de que uma norma é inteiramente determinada (por homogeneidade ) por sua esfera unitária.

Há um quarto critério, mais direto, para determinar se uma norma é euclidiana, sem reconstituir seu produto escalar:

Fréchet - von Neumann - Teorema de Jordan - Uma norma ║ ∙ ║ em E é euclidiana se e somente se satisfizer a regra do paralelogramo :

\ forall x, y \ in E \ quad \ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ left (\ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} \ direita).

Base ortonormal

Em um espaço vetorial euclidiano, uma família de vetores é considerada ortonormal se seus vetores forem unitários e ortogonais dois a dois. É então uma base assim que é um gerador , de acordo com a seguinte propriedade:

Ortogonalidade e vetores livres - Qualquer família de vetores diferentes de zero que sejam ortogonais dois por dois é livre .

Se E é um espaço euclidiano de dimensão n e B uma base ortonormal de E , em seguida, para todos os vectores de u e v de E , de coordenadas x e y em B , o produto escalar < u , v > é igual ao produto escalar < x , y〉 no espaço euclidiano canônico de dimensão n . Em outras palavras, a bijeção linear de E em ℝ n que associa a qualquer vetor suas coordenadas em B respeita os dois produtos escalares e, portanto, constitui um isomorfismo de espaços euclidianos.

Projeção ortogonal

Vamos F um vector subespaço de E e x um vector de E . A prova da desigualdade de Bessel permite - admitindo provisoriamente (cf. próxima seção) a existência de bases ortonormais para qualquer espaço euclidiano - construir a projeção ortogonal de x em F , ou seja, o vetor p ( x ) de F tal que x - p ( x ) é ortogonal a F . Provamos assim a existência de tal projeto, e sua singularidade é garantida pelo fato de que F e seu ortogonal têm apenas o vetor zero em comum. Pelo teorema de Pitágoras , a norma de p ( x ) é menor ou igual à de x :

Projecção ortogonal e desigualdade de Bessel - Seja ( f i ) uma base ortonormal de F . Para qualquer vetor x de E , o vetor

p (x) = \ sum \ langle x, f_ {i} \ rangle f_ {i}.

é a projecção ortogonal de x em F . Suas coordenadas 〈x , f i〉 são chamadas de coeficientes de Fourier , e a soma de seus quadrados é menor ou igual ao quadrado da norma de x .

Processo Gram-Schmidt

O teorema anterior permite, se x não pertencer a F , construir uma base ortonormal de F ⊕ ℝ x , adicionando à de F o vetor diferente de zero x - p ( x ) dividido por sua norma. Provamos assim a existência de bases ortonormais para um espaço euclidiano, por indução em sua dimensão. Este é o princípio do algoritmo de Gram - Schmidt , que calcula explicitamente, a partir dos dados anteriores de uma base comum:

Existência de uma base ortonormal - Todo espaço euclidiano tem uma base ortonormal.

Ortogonalidade e convexidade

Sejam E , F e p como acima. A projeção ortogonal p é um projetor em F , isto é uma linear e idempotent de imagem F . Seu kernel F ⊥ é, portanto, um adicional de F :

Teorema suplementar ortogonal - No espaço vetorial euclidiano, qualquer subespaço e seu ortogonal são suplementares.

Também poderíamos prever isso observando que a codimensão de F ⊥ é igual à dimensão de F (em um espaço préhilbertiano de dimensão infinita, esses argumentos não estão mais disponíveis e são substituídos pelo teorema da suplementação ortogonal de um sub-cheio espaço ).

De acordo com o teorema de Pitágoras, p ( x ) é o elemento de F mais próximo de x . Podemos também construir p ( x ) por meio dessa propriedade de minimização de distância (então deduzir sua primeira caracterização), como um caso especial do teorema a seguir. (Este teorema se aplica a F que, como qualquer subespaço vetorial de E , é fechado e convexo .)

Teorema de projecção sobre uma superfície convexa fechado - Let C ser um convexo fechado não vazio E e x um vector de E . Existe um único vetor P C ( x ) de C , chamado de projeção de x no convexo, tal que a distância de x a C é igual à de x a P C ( x ).

Espaço dual e forma bilinear

O mapa φ de E em seu dual E *, que a qualquer vetor x de E associa a forma linear x * definida por:

\ forall y \ in E \ quad x ^ {*} (y) = \ langle x, y \ rangle,

é claramente linear e de núcleo zero, portanto, injetiva . Da igualdade das dimensões de E e E * segue-se que φ também é sobrejetora . Então nós temos :

Isomorfismo entre um espaço euclidiano e seu dual - Para qualquer espaço euclidiano E , a aplicação

E \ para E ^ {*}, x \ mapsto x ^ {*}: = \ langle x, ~ \ rangle

é um isomorfismo.

Quando E * é dotado da norma dual , esse isomorfismo é mesmo uma isometria (de acordo com a desigualdade de Cauchy-Schwarz ), o que prova que essa norma é euclidiana, ou seja, associada a um produto escalar: aquele importado de E por φ. (O análogo desses resultados para um espaço de Hilbert de dimensão infinita é o teorema da representação de Riesz .)

O isomorfismo φ é muito utilizado, tanto na matemática como na física. Por exemplo, um campo escalar, isto é, um mapeamento diferenciável de E em ℝ, tem como diferencial aplicação de E no conjunto de formas lineares em E . A identificação da dupla e E utilizando o isomorfismo φ é usado para representar formas lineares de E POR ELEMENTOS E . O diferencial então recebe o nome de gradiente . Na física, a força é um elemento do dual dos vetores no espaço geométrico. É identificado com um vetor de espaço, mesmo que não seja da mesma natureza. Esta técnica permite uma representação mais intuitiva e também um cálculo simples. O trabalho de força, uma quantidade importante na física, é interpretado como o produto escalar com força.

Para qualquer espaço vetorial F , deduzimos de φ um isomorfismo canônico a ↦ φ∘ a , de L ( F , E ) em L ( F , E *), ele mesmo canonicamente isomórfico aos dois espaços de forma bilinear L 2 ( F , E ) e L 2 ( E , F ). Para F = E , obtemos assim dois isomorfismos ψ 1 e ψ 2 , de L ( E ) a L 2 ( E , E ):

\ forall a \ in {{\ rm {L}}} (E) ~ \ forall x, y \ in E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x), y \ rangle {\ text {e}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.

Assistente de um endomorfismo

Em um espaço euclidiano E , para qualquer endomorfismo a , existe um endomorfismo único a * tal que

\ forall x, y \ in E \ quad \ langle x \ ,, \, a ^ {*} (y) \ rangle \; = \; \ langle a (x) \ ,, \, y \ rangle.

De fato, essa propriedade é equivalente a a * = (ψ 2 −1 ∘ψ 1 ) ( a ), onde ψ 1 e ψ 2 são os dois isomorfismos acima.

Definições e propriedades - O adjunto de um endomorfismo a de E é o endomorfismo a *. Endomorfismos iguais (resp. Oposto) ao seu adjunto são considerados simétricos (resp. Anti- simétricos ). O automorfismo a ↦ a * de L ( E ) é involutivo .

Este automorfismo de L ( E ) é, portanto, a simetria com respeito ao subespaço dos endomorfismos simétricos, com respeito àquele, adicional, dos anti-simétricos.

A relação induzida pelo produto escalar entre formas bilineares e endomorfismos tem muitas aplicações, em campos muito diversos (ver em particular o teorema espectral do artigo no caso em que as formas e endomorfismos são simétricos).

Qualquer endomorfismo simétrico ou anti-simétrico é normal , ou seja, comuta com seu deputado.

Outra importante família de endomorfismos normais é a de automorphisms ortogonais , isto é reverter seu vice ou aquele produto escalar licença invariante, em outras palavras, que são isometries de E . Essas isometrias formam um grupo denominado grupo ortogonal e denotado O ( E ).

Construção de espaços euclidianos

Como costuma acontecer na álgebra, o datum dos espaços euclidianos possibilita a construção de novos.

Subespaço, espaço do produto

Se F é um subespaço de um vector espaço euclidiano, em seguida, a restrição do produto interno induz uma estrutura de espaço vectorial euclidiana F .

Se E 1 e E 2 são dois espaços euclidianos, então seu produto é naturalmente dotado de um produto escalar, definido por

\ forall (a, b), (a ', b') \ in E_ {1} \ times E_ {2} \ quad \ langle (a, b) \ ,, \, (a ', b') \ rangle \, = \, \ langle a \ ,, \, a '\ rangle + \ langle b \ ,, \, b' \ rangle.

Espaço quociente

Qualquer quociente de espaço vetorial normalizado E / F de um espaço euclidiano E por um subespaço vetorial F é isomórfico ao suplemento ortogonal F ⊥ , por isometria que a qualquer classe em E / F associa seu elemento de norma mínima: o ortogonal projetado em F ⊥ comum a todos os elementos desta classe. A norma sobre E / F é, portanto, euclidiana, ou seja, associada a um produto escalar: aquele importado de F ⊥ (subespaço euclidiano de E ) por esta isometria.

Produto tensor

Sejam E 1 e E 2 dois espaços euclidianos. O produto tensorial 〈⋅, ⋅〉1 ⊗ 〈⋅, ⋅〉2 de seus respectivos produtos escalares é uma forma bilinear no produto tensorial E 1 ⊗ E 2 , que é expresso nos geradores canônicos deste espaço vetorial por:

\ forall x_ {1}, y_ {1} \ in E_ {1} \; \ forall x_ {2}, y_ {2} \ in E_ {2} \ quad \ langle x_ {1} \ otimes x_ {2} , y_ {1} \ otimes y_ {2} \ rangle _ {{E_ {1} \ otimes E_ {2}}} = \ langle x_ {1}, y_ {1} \ rangle _ {1} \ langle x_ { 2}, y_ {2} \ rangle _ {2}.

Esta forma bilinear, portanto, herda a simetria dos dois produtos escalares, e se ( e i ) é uma base ortonormal de E 1 e ( f j ) uma base ortonormal de E 2, então a base ( e i ⊗ f j ) de E 1 ⊗ E 2 é ortonormal para esta forma, o que prova que é um produto escalar.

Se E 1 e E 2 são iguais ao mesmo espaço euclidiano F , a simetria de E : = F ⊗ F que os troca é ortogonal para este produto escalar. O espaço L 2 ( F , F ) é canonicamente isomórfico a E *, portanto herda uma estrutura euclidiana, transportada daquela de E pelo isomorfismo φ .

Endomorfismo

Para qualquer espaço euclidiano E , o espaço L ( E ), canonicamente isomórfico a E * ⊗ E , da mesma forma herda um produto escalar, para o qual os isomorfismos ψ 1 e ψ 2 são isometrias.

Este produto escalar é expresso de forma simples graças às noções de adjunto e traço :

\ forall a, b \ in {{\ rm {L}}} (E) \ quad \ langle a, b \ rangle = {{\ rm {Tr}}} (a ^ {*} b).

Quando os endomorfismos são representados por matrizes em uma base ortonormal fixa, encontramos o produto escalar canônico em M n (ℝ) .

Para este produto escalar, a simetria a ↦ a * é um automorfismo ortogonal de L ( E ).

Topologia

Caracterização pelo grupo ortogonal

O grupo ortogonal O ( E ) de um espaço euclidiano E é naturalmente dotado de uma estrutura de grupo topológico e mesmo de grupo de Lie : para qualquer espaço vetorial real V de dimensão finita, o espaço L ( V ) de seus endomorfismos também é finito. dimensão e, portanto, fornecido com uma topologia canônica . O grupo linear GL ( V ) de automorfismos de V , aberto em L ( V ) , herda assim uma estrutura de grupo de Lie. Se E é um espaço euclidiano, O ( E ) é um grupo de Lie compacto , como um subgrupo compacto de GL ( E ).

Funcionalidade do grupo ortogonal - Sejam E e F dois espaços euclidianos. Qualquer morfismo espaços Euclidiana E em F induzida functorially um grupo morfismo topológico O ( E ) em O ( F ).

Com efeito, E identifica-se neste caso de um subespaço de F , O e ( E ) o subgrupo de O ( F ) que consiste em fixar cada automorphisms que do vector ortogonal de E em F .

Assim, todos os espaços euclidianos de dimensão n têm o “mesmo” grupo ortogonal que, notado O ( n ), do espaço euclidiano usual ℝ n . Esses grupos são ipso facto isomórficos como grupos de Lie (ou seja, ligados por um isomorfismo de grupos que não é apenas um homeomorfismo, mas um difeomorfismo ).

Podemos reformular a "unicidade" do grupo ortogonal para cada dimensão dizendo que para qualquer espaço vetorial V de dimensão ne qualquer subgrupo G de GL ( V ), se existe em V um produto escalar do qual G é o grupo ortogonal , então G é isomórfico (como um grupo topológico) a O ( n ). O inverso é verdadeiro:

O grupo determina o produto escalar - Let V ser um espaço vectorial real de dimensão n e L um subgrupo de GL ( V ). Se G é isomórfico (como um grupo topológico) a O ( n ), então é o grupo ortogonal de um produto escalar sobre V , único até a homotetia .

A unicidade do produto escalar só é verdadeira, exceto pela homotetia, porque se 〈⋅, ⋅〉 é um produto escalar e se λ é um real diferente de zero, então o grupo ortogonal do produto escalar 〈λ⋅, λ⋅〉 é o mesmo que 〈⋅, ⋅〉.

Sua existência é muito mais profunda. Uma das abordagens possíveis para demonstrar isso se inspira na teoria da representação de grupos de Lie . É relativamente genérico (aplica-se a espaços afins euclidianos, a geometrias projetivas ou mesmo simpléticas ), mas vai além do escopo deste artigo.

Prova de singularidade e, para n = 2, de existência

Singularidade (até homotetia), para todo n :
Seja 〈⋅, ⋅〉1 e 〈⋅, ⋅〉2 dois produtos escalares em V com o mesmo grupo ortogonal G , x um vetor de norma 1 para o primeiro e R sua norma para o segundo. Então, o conjunto de vetores da forma u ( x ) quando u atravessa G é a esfera unitária de 〈⋅, ⋅〉1 e a esfera de 〈⋅, ⋅〉2 , (com centro 0 e) com raio R , portanto 〈⋅, ⋅〉2 = R 2〈⋅, ⋅〉1 .
Existência, para n = 2:
Let & Phi um isomorfismo dos grupos O topológica (2) L .
- Escolha de um produto escalar para o qual G é incluído em O ( V ):
  Deixe R denotar a matriz de rotação plana do ângulo π / 2. A sua imagem R ' por φ é da ordem , portanto, quatro valores próprios $i$ e $-i$ , de modo que não é uma base na qual a matriz R' é R . Atribuímos V com o produto escalar para o qual essa base é ortonormal. Para qualquer elemento f de O (2), os autovalores de g : = φ ( f ) têm módulo 1 (por compactação ) e o conjugado de R ' por g é R' ou R ' −1 - dependendo se f pertence a SO (2) ou ao seu complemento - portanto g é uma isometria de V (positiva no primeiro caso e negativa no segundo).
- G é igual a O ( V ):
  Por restrição, φ constitui um mapa injetivo contínuo de SO (2) em SO ( V ) ou ainda, um homeomorfismo do círculo unitário em uma parte deste círculo. Por argumentos de conectividade elementares , esta parte é o círculo inteiro, em outras palavras, G contém SO ( V ). Como observado acima, ele também contém isometries negativos de V . Portanto, contém o subgrupo gerado : O ( V ).

Espaços vetoriais normados de dimensão finita

Qualquer espaço vetorial euclidiano é, como um espaço vetorial normalizado, um exemplo de um espaço vetorial topológico separado .

Espaços vetoriais reais de dimensão finita admitem apenas essa topologia . Uma consequência é que a norma euclidiana é equivalente a todas as normas, euclidianas ou não. A estrutura topológica de um espaço vetorial normado de dimensão finita E tem muitas propriedades:

qualquer mapa linear de E em um espaço vetorial normalizado é contínuo ;
E é uniformemente homeomórfico para ℝ n ;
todo subespaço vetorial de E é fechado;
E está completo ;
os compactos de E são seus limites limitados (ver teorema de Borel-Lebesgue ). Por outro lado, um espaço vetorial normalizado no qual qualquer bola fechada é compacta é de dimensão finita (ver teorema de compactação de Riesz ).

Generalizações

Existem várias generalizações de espaços euclidianos. Ao escolher como campo base o campo dos números complexos , obtemos a noção de espaço hermitiano . Tais espaços admitem uma teoria análoga, à custa de adaptações naturais: os resultados apresentados neste artigo permanecem plenamente verificados para esses espaços.

Em dimensão infinita, uma definição análoga (existência de um produto escalar ou Hermitiano) leva primeiro à noção de pré-hilbertiano , no caso real e no caso complexo. A integridade geralmente não é verificada. Um espaço pré-hilbertiano, completo para a topologia de espaço métrico induzida pela norma pré-hilbertiana, é chamado de espaço de Hilbert . Os espaços de Hilbert são objeto de uma rica teoria e são objetos básicos na análise funcional .

Uma geometria euclidiana é definida por um espaço vetorial e uma forma bilinear particular (definida positiva). Trabalhar com algumas outras formas bilineares torna possível obter outras geometrias, por exemplo, geometria simplética .

Para corpos de base diferentes de reais ou complexos, a noção de forma bilinear definida positiva geralmente não é relevante, porque o campo não é ordenado. Esta hipótese é geralmente substituída pelo fato de que a forma não é degenerada, ou seja, não existe um vetor diferente de zero ortogonal a todo o espaço. Essa estrutura é usada, por exemplo, para geometria em grupos finitos . Grupos ortogonais em espaços vetoriais de dimensão finita sobre campos finitos fornecem, em particular, famílias infinitas de grupos simples .

Notas e referências

Uma abordagem dessa natureza pode ser encontrada em: Y. Ladegaillerie, Geometry for the CAPES of mathematics , Ellipses , 2002 ( ISBN 2729811486 ) .
De dimensão não necessariamente finita: cf. o artigo “ Espaço préhilbertiano ”.
Esta definição generaliza para espaços vetoriais complexos : cf. o artigo " Hermitian ".
Monier 2007 , p. 121
O termo espaço vetorial canônico para ℝ n é amplamente utilizado, pode-se citar: R. Godement , “Fundamental domains of arithmetic groups”, in Bourbaki Seminar , volume 8, 1962 a 1964, Exposé n o 257.
Essa técnica tem aplicações, por exemplo, em estatística , e é a base do método dos mínimos quadrados .
Para obter outra abordagem, consulte Lema da unitarização .
Esta generalização é tratada, por exemplo, em Serge Lang , Algèbre [ detalhe das edições ].
Esta generalização é tratada, por exemplo, em: Haïm Brezis , Análise funcional: teoria e aplicações [ detalhe das edições ], p. 78 a 116.
Uma referência padrão, mas técnica: RW Carter, Simple Groups of Lie Type , Wiley & Sons, 1993 ( ISBN 0-471-50683-4 ) .

Veja também

Bibliografia

Jean-Marie Monier , curso de matemática: MPSI, PCSI, PTSI e MP, PSI, PC, PT: Álgebra e geometria MP , t. 8, Paris, Dunod ,2007, 5 th ed. , 331 p. ( ISBN 978-2-10-051038-2 , leia online )
Jacqueline Lelong-Ferrand e Jean-Marie Arnaudiès , Curso de Matemática: Geometria e Cinemática , vol. 3: Geometria e cinemática, Dunod,1977, 733 p. ( ISBN 978-2-10-005716-0 )
Edmond Ramis , Claude Deschamps e Jacques Odoux , Mathematics Course , vol. 5: Aplicações de análise à geometria, Dunod,1998, 2 nd ed. ( ISBN 978-2-10-004178-7 )

links externos

Espaços euclidianos a nível do curso Matemática PCSI por S. Gonnord
Espaços euclidianos no site les-mathematiques.net, de C. Antonini et al. , 2001
Espaço euclidiano de Ross Moore da Macquarie University , traduzido por Abderemane Morame da Nantes University , 2006.
Espaços euclidianos de F. Wlazinski da Universidade da Picardia