Distância (matemática)

Em matemática , distância é uma aplicação que formaliza a ideia intuitiva de distância, ou seja, o comprimento que separa dois pontos. É através da análise das propriedades principais da distância usual que Fréchet introduz a noção de espaço métrico , então desenvolvida por Hausdorff . Ele introduz uma linguagem geométrica em muitas questões de análise e teoria dos números .

A partir da definição de distância, entendida como uma aplicação que satisfaz certos axiomas , outras noções de distância podem ser definidas, como a distância entre duas partes, ou a distância de um ponto a uma parte, sem que estas atendam à definição primária de uma distância.

Definição

Distância chamada em um conjunto $E$ qualquer aplicação $para$ definir o produto $E 2 = E \times E$ e valores no conjunto ℝ + do real positivo ou zero ,

d: E \ vezes E \ a \ R ^ +

verificando as seguintes propriedades:

Sobrenome	Propriedade
simetria	$\ forall (a, b) \ in E ^ 2, \ d (a, b) = d (b, a)$
separação	$\ forall (a, b) \ in E ^ 2, \ d (a, b) = 0 \ Leftrightarrow a = b$
desigualdade triangular	$\ forall (a, b, c) \ in E ^ 3, \ d (a, c) \ leq d (a, b) + d (b, c)$

Um conjunto com uma distância é chamado de espaço métrico .

Observações

Essas condições expressam as noções intuitivas do conceito de distância. Por exemplo, que a distância entre pontos distintos é estritamente positiva e a distância de x para y é a mesma que a distância de y para x . Desigualdade triangular significa que a distância percorrida diretamente entre x e z não é maior do que a distância a ser percorrida começando primeiro de x a y e depois de y a z . Euclides em suas obras demonstrou que a distância mais curta entre dois pontos é uma linha reta , que era a desigualdade triangular para sua geometria.
Na definição de uma distância, podemos ficar satisfeitos em assumir que o conjunto de chegada é ℝ, e que d satisfaz o axioma de separação e qualquer uma das seguintes três variantes da desigualdade triangular: d ( a , c ) ≤ d ( b , a ) + d ( b , c ), ou d ( a , c ) ≤ d ( a , b ) + d ( c , b ), ou d ( a , c ) ≤ d ( b , a ) + d ( c , b ). Positividade e simetria são facilmente deduzidas apenas desses axiomas.

Propriedades simples

Se $E$ é um subconjunto de $M$ e se $d : F \times F \to$ ℝ + é uma distância em $F$ , em seguida, a restrição de $d$ a $E \times E$ é uma distância em $E$ .
Se $d 1$ e $d 2$ são respectivamente distâncias em $E 1$ e $E 2$ e se $F$ é o produto $E 1 \times E 2$ , então o mapa $d : F \times F \to$ ℝ + definido por $d ((a_1, a_2), (b_1, b_2)) = d_1 (a_1, b_1) + d_2 (a_2, b_2)$ é uma distância $F$ . Para generalizações, consulte Produto de espaços métricos .
Se $d 1$ e $d 2$ são distâncias em $E$ , em seguida, $d 1 + d 2$ também (de acordo com os dois pontos anteriores, por meio da identificação $de E$ na diagonal de $E \times E$ ).

Casos especiais

Distância ultramétrica

A distância é considerada ultramétrica se, além disso:

Sobrenome	Propriedade
Ultrametria	$\ forall a, b, c \ in E: d (a, c) \ leq \ max (d (a, b), d (b, c)).$

Um exemplo de tal distância um é crucial na teoria da $p$ -adic valuations . A interpretação geométrica da desigualdade triangular em um espaço ultramétrico leva a dizer que todos os triângulos são isósceles; além disso, todas as bolas de determinado raio definidas neste conjunto constituem uma partição deste conjunto; ao aumentar este raio de 0, o espaço é dotado de uma estrutura hierárquica de proximidade, utilizável na classificação automática , em particular para agrupamento hierárquico .

Exemplos de distâncias clássicas

Distância em espaços vetoriais

Em um espaço vetorial normado , a distância $d$ "induzida por" a norma é definida por: $(E, \ | \ cdot \ |)$ $\ | \ cdot \ |$

{\ displaystyle \ forall (x, y) \ in E \ times E \ quad d (x, y) = \ | yx \ |}

Em particular, em ℝ $n$ , podemos definir de várias maneiras a distância entre dois pontos, embora seja geralmente dada pela distância euclidiana (ou distância 2 ). Dados dois pontos de $E$ , $( x 1 , x 2 , ..., x n )$ e $( y 1 , y 2 , ..., y n )$ , expressamos as diferentes distâncias da seguinte forma:

Sobrenome	Contexto	Função
Distância de manhattan	1 distância	$\ sum_ {i = 1} ^ n \| x_i-y_i \|$
Distância euclidiana	2 distâncias	$\ sqrt {\ sum_ {i = 1} ^ n (x_i-y_i) ^ 2}$
Distância de Minkowski	$p-$ distância	$\ sqrt [p] {\ sum_ {i = 1} ^ n \| x_i-y_i \| ^ p}$
distância de Chebyshev	$\infty$ -distance	$\ lim_ {p \ to \ infty} \ sqrt [p] {\ sum_ {i = 1} ^ n \| x_i-y_i \| ^ p} = \ sup_ {1 \ leq i \ leq n} {\| x_i-y_i \| }$

A distância 2 permite generalizar a aplicação do teorema de Pitágoras a um espaço de dimensão $n$ . Esta é a distância mais "intuitiva".

A distância- $p$ raramente é usada, exceto nos casos $p$ = 1, 2 ou $\infty$ . A distância $\infty$ tem a característica engraçada de permitir a definição estrita de esferas cúbicas (ver oxímoro ). A distância 1 permite definir esferas octaédricas .

Distância discreta

Em qualquer conjunto, a distância discreta d é definida por: se x = y, então d ( x , y ) = 0 e, caso contrário, d ( x , y ) = 1.

Distância em uma esfera

Distâncias entre duas permutações

Também é possível definir distâncias entre permutações . O exemplo a seguir é amplamente usado no rearranjo de genomas . Seja $S$ um conjunto de permutações modelando várias operações; então a distância entre duas permutações $π$ e $σ$ é o comprimento de uma sequência mínima formada pelo produto dos elementos de $S$ tal que esta sequência transforma $π$ em $σ$ .

Essas distâncias também podem ser usadas para medir, de várias maneiras, o distúrbio presente em uma sequência. Essas medidas são então usadas para analisar o desempenho de vários algoritmos de classificação ou para construir novos algoritmos de classificação que realizam um número ótimo de comparações com relação à medida de desordem escolhida.

Distância de Levenshtein

A distância de Levenshtein é um exemplo de distância definida no conjunto de cordas. É definido para ambos os canais $A$ e $B$ como o número mínimo de remoção de caracteres de substituição operação de adição / / para transformar a cadeia $A$ na cadeia $B$ .

Exemplos:

Levenshtein ('OLÁ', 'BONSOIR') = 2 (é necessário e suficiente substituir 'J' por 'S' e 'U' por 'I').
Levenshtein ('BEGIN', 'END') = 5
Levenshtein ('DUNKERQUE', 'PERPIGNAN') = 9 .

Este tipo de distância é comumente usado para aplicações de filtragem / correção de erros, por exemplo, correção automática para programas de processamento de texto (o programa irá procurar em um dicionário as palavras com as menores distâncias para a palavra incorreta), o emparelhamento do número óptico leituras da placa ...

Existem variações dessa distância, como a distância Damerau-Levenshtein .

O mesmo princípio geral pode ser usado para aplicativos de reconhecimento de padrões .

Exemplos de outros usos do termo distância

O termo distância às vezes é usado para designar aplicativos que não atendem à definição clássica de espaços métricos, apresentada no início do artigo.

Distância entre dois conjuntos

Sejam $E 1$ e $E 2$ duas partes não vazias de um espaço métrico $E$ dotado de uma distância $d$ , definimos a distância entre esses dois conjuntos como: $d (E_1, E_2) = \ inf \ {d (x, y) \ mid (x, y) \ em E_1 \ vezes E_2 \}.$

É um real positivo, como o limite inferior de um conjunto não vazio de reais positivos.

NB Esta “distância” não é uma distância sobre o conjunto de partes de

E

dentro do significado dos axiomas definidos acima. Em particular, se a distância entre dois conjuntos é zero, não se pode deduzir que esses conjuntos são iguais, nem mesmo que suas aderências se encontram.

No entanto, é possível definir uma distância real entre as partes compactas de um espaço métrico. Para isso veja: distância de Hausdorff .

Distância de um ponto a uma parte

Podemos particularizar a definição anterior tomando um dos dois conjuntos reduzidos a um ponto.

Se $A$ for uma parte não vazia de um espaço métrico $E$ , e se $x$ for um elemento de $E$ , definimos a distância de $x$ a $A$ como um limite inferior :

${\ displaystyle d (x, A) = \ inf \ {d (x, a) \ mid a \ in A \}.}$

Este é o raio da maior esfera aberta centro $x$ que não atende $A$ .

Cuidados devem ser tomados ao fato de que $d ( x , A ) = 0$ não implica em geral que $x$ é um elemento de $A$ . Por exemplo, em ℝ com o valor absoluto, a distância de 0 ao intervalo aberto] 0, 1 [é zero, ou a distância de qualquer real ao conjunto de racionais também é zero.

Mais precisamente, a distância de $x$ a $A$ é zero se e somente se $x$ for um ponto aderente a $A$ (em outras palavras: a implicação anterior é verdadeira se e somente se $A$ for fechado ). Mais geralmente, a distância $x$ em $A$ é igual à distância $X$ para a adesão de $um$ .

O mapa de $E$ em ℝ que para qualquer elemento $x$ de $E$ associa $d ( x , A )$ é contínuo , e mesmo 1- Lipschitziano : ${\ displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad | d (x, A) -d (y, A) | \ leq d (x, y)}$ .

Distância algébrica

Sejam dois pontos $A$ e $B$ de um espaço afim por onde passa uma linha orientada (uma linha dotada de um significado, isto é, gerada por um vetor diferente de zero). Chamamos distância algébrica de $A$ para $B$ o real, como: ${\ vec {vb}}$

seu valor absoluto é a distância (definida acima) entre $A$ e $B$
se o valor não for zero:
- o real é positivo no caso em que o vetor é da mesma direção que , ou seja, igual a , com , $\ overrightarrow {\ rm AB}$ ${\ vec {vb}}$ $k \ vec {vb}$ $k> 0$
- caso contrário, negativo.

Podemos mostrar que a distância algébrica de $A$ a $B$ (observada ) vale: $d_a (\ mathrm {A}, \ mathrm {B})$

d_a (\ mathrm {A}, \ mathrm {B}) = \ frac {\ overrightarrow {\ mathrm {AB}}. \ vec {v}} {\ | \ vec {v} \ |}

Atenção, a distância algébrica não é uma distância, pois não é simétrica :

d_a (\ mathrm {A}, \ mathrm {B}) = - d_a (\ mathrm {B}, \ mathrm {A})

Generalizações

Ao iluminar os axiomas da definição de distância, chegamos a várias generalizações desta última:

Sobrenome	valores finitos	simetria	${\ displaystyle \ mathrm {d} (x, x) = 0}$	${\ displaystyle \ mathrm {d} (x, y) = 0 \ implica x = y}$	desigualdade de $\Delta$
distância	sim	sim	sim	sim	sim
quasimétrico	sim	não	sim	sim	sim
metamétrico	sim	sim	não	sim	sim
pseudométrico	sim	sim	sim	não	sim
semimétrico	sim	sim	sim	sim	não
hemimétrico	sim	não	sim	não	sim
pramétrico	sim	não	sim	não	não
diferença	não	sim	sim	não	sim

A condição de que a distância assume seus valores em $[0, + \infty [$ também pode ser relaxada considerando “distâncias com valores em um conjunto de filtragem ordenado ”. A reformulação dos axiomas, neste caso, leva à construção de espaços uniformes : espaços topológicos com uma estrutura abstrata que permite comparar as topologias locais de diferentes pontos.

Dentre as categorias correspondentes às várias variantes de distância, a de espaços pseudométricos "estendidos" ( ou seja, para permitir o valor $+ \infty$ ), com como aplicação de morfismos 1- Lipschitz , é a que tem melhor desempenho: pode construir lá produtos arbitrários e co-produtos e objetos quocientes de forma. Se removermos o estendido , só podemos aceitar produtos acabados e coprodutos. Se removermos o apelido , não podemos mais tomar quocientes. As áreas de abordagem são uma generalização dos espaços métricos que mantêm a categoria dessas boas propriedades.

Existem também, na geometria diferencial , as noções de métricas Riemanniana e pseudo-Riemanniana em uma variedade diferencial (e não mais simplesmente em um conjunto ).

As métricas que não respeitam a simetria são geralmente chamadas de "métricas assimétricas" em vez de quasimétricas. O termo quase é freqüentemente usado em geometria para designar uma propriedade constante.

Veja também

Notas e referências

Jean-Luc Verley , “Espaços métricos” , no Dicionário de Matemática; álgebra, análise, geometria , Albin Michel ,1997, p. 651
Jean-Luc Verley, “ Metric spaces ” , em www.universalis.fr .
Adolphe Lindenbaum , “ Contribuições para o estudo do espaço métrico, I ”, Fundo. Matemática. , vol. 8,1926, p. 209-222 ( ler online )( p. 211 ).
ThomasRieutord , ThomasRieutord / distances_comparison ,25 de março de 2020( leia online ).
Por outro lado, se uma distância d sobre um espaço vetorial E satisfaz as propriedades:
- ${\ displaystyle d (x, y) = d (x + a, y + a)}$ ( invariância de tradução );
- ${\ displaystyle d (\ alpha x, \ alpha y) = | \ alpha | d (x, y)}$ ( homogeneidade ),
então podemos definir uma norma em E por: .‖⋅‖{\ displaystyle \ | \ cdot \ |} $\ | \ cdot \ |$ ‖x‖: =d(x,0){\ displaystyle \ | x \ |: = d (x, 0)} ${\ displaystyle \ | x \ |: = d (x, 0)}$
Uma calculadora online: http://planetcalc.com/1721/
Verley 1997 , p. 653.
E. Ramis, C. Deschamps e J. Odoux, Special Mathematics, T.3, topologia e elementos de análise , Masson , Paris, 1976, p. 49 .
Georges Skandalis , topologia e análise 3 rd ano: lições e exercícios com soluções , vol. 3, Paris, Dunod ,2004, p. 21.
Laurent Schwartz , Analysis , vol. 1: Teoria e topologia de conjuntos , Paris, Hermann ,1991, p. 162.
Demonstração neste exercício corrigida na Wikiversidade .