Aplicação Lipschitziana

Na análise matemática , um mapa Lipschitziano (em homenagem a Rudolf Lipschitz ) é um mapa que possui uma certa propriedade de regularidade que é mais forte do que a continuidade . Intuitivamente, é uma função limitada em sua forma de evoluir. Qualquer segmento conectando dois pontos do gráfico de tal função terá uma inclinação menor, em valor absoluto, do que uma constante chamada constante de Lipschitz .

As funções Lipschitzianas são um caso especial das funções Hölderianas .

Definições

Caso real

Seja E uma parte de ℝ, um mapa ek um número real positivo . ${\ displaystyle f: E \ to \ mathbb {R}}$

Dizemos que f é k -lipschitziano se

\ forall (x, y) \ in E ^ {2}, ~ | f (x) -f (y) | \ leq k ~ | xy |.

Caso de espaços métricos

Deixe e de espaços métricos , uma aplicação ek um real positivo. $(E, d_ {E})$ ${\ displaystyle (F, d_ {F})}$ $f: E \ a F$

Dizemos que f é k -lipschitziano se

\ forall (x, y) \ in E ^ {2}, ~ d_ {F} \ left (f (x), f (y) \ right) \ leq k ~ d_ {E} (x, y).

além disso

f é dito Lipschitziano se existe k ≥ 0 tal que f é k -lipschitziano.
Se houver k, então o menor deles existe e é chamado de constante de Lipschitz de f .
Vamos denotar por Lip ( f ) esta constante: temos ${\ displaystyle {\ text {Lip}} (f) = \ sup _ {x \ neq {y}} \ left ({\ frac {d {\ bigl (} f (x), f (y) {\ bigr )}} {d (x, y)}} \ direita)}$
f é dito para ser contrair se existe um tal modo que f é k -lipschitzian, em outras palavras, se Lip ( f ) <1. ${\ displaystyle k \ in [0,1 [}$
f é chamado localmente Lipschitziano se para qualquer ponto x de E , existe uma vizinhança V de x tal que a restrição de f a V é Lipschitziana (para uma certa constante k que pode depender de V , portanto de x ).

Propriedades

Caracterização entre as funções deriváveis

Uma função $f$ diferenciável em um intervalo real é Lipschitziana se e somente se sua derivada for limitada.

Corolários

Qualquer função real continuamente diferenciável em um intervalo real fechado e limitado é Lipschitziana.
Consequentemente, qualquer função continuamente diferenciável em um intervalo é localmente Lipschitziana.

Algumas propriedades

Qualquer função Lipschitziana é uniformemente contínua e qualquer função Lipschitziana local é contínua. De fato, as funções Lipschitzianas são exatamente as funções 1-Hölderianas , mas qualquer função Hölderiana é uniformemente contínua.
Se uma função f definida em um produto de dois espaços métricos ( E 1 , d 1 ) e ( E 2 , d 2 ) é k 1 -lipschitziana em relação à primeira variável e k 2 -lipschitziana em relação à segunda, então é ( k 1 + k 2 ) - Lipschitziano, neste produto E = E 1 × E 2 dotado com a distância d E definida por d E ( x , y ) = max ( d 1 ( x 1 , y 1 ), d 2 ( x 2 , y 2 )). Na verdade, então temos:d F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f ( x 1 , x 2 ), f ( y 1 , x 2 )) + d F ( f ( y 1 , x 2 ), f ( y 1 , y 2 )) ≤ k 1 d 1 ( x 1 , y 1 ) + k 2 d 2 ( x 2 , y 2 ) ≤ ( k 1 + k 2 ) d E ( x , y ).
Em um espaço compacto , qualquer função localmente Lipschitziana é Lipschitziana.
Qualquer função Lipschitziana real é ( absolutamente contínua, portanto, com variação limitada ) derivável quase em todos os lugares para a medida de Lebesgue e sua derivada é essencialmente limitada .
De acordo com um teorema de Rademacher , qualquer função Lipschitziana definida em ℝ n ainda é Lebesgue - diferenciável em quase todos os lugares. Isso torna as funções Lipschitzianas muito úteis em vários ramos da matemática, por exemplo, na teoria geométrica, uma vez que a diferenciabilidade em quase todos os lugares é mais do que suficiente.
Qualquer limite simples f das funções k -lipschitzianas f n : E → F é k -lipschitziano. De fato, um limite simples em um compacto é automaticamente uniforme (Lipschitzianidade uniforme implica equicontinuidade, o que implica convergência uniforme em qualquer compacto). Seja ε> 0; mostraremos que f é (k + ε) -lipschitzian. Para todos os pontos x e y de E temos a existência de um N tal que para n≥N temos d F ( f ( x ), f n ( x )) ≤ δ (tomando inteligentemente δ = d E ( x , y ) ε / 2) e da mesma forma para y (mesmo que signifique tomar o maior entre N_x e N_y):
d F ( f ( x ), f ( y )) ≤ d F ( f n ( x ), f n ( y )) + 2 δ ≤ kd E (x, y) + ε d E ( x , y ) f sendo (k + ε) -lipschitziano para todo ε, segue-se que f é k-Lipscitziano.
O teorema de Kirszbraun (en) (mostrado para dois espaços euclidianos por Mojżesz David Kirszbraun então generalizado por Frederick Valentine) garante que para dois espaços de Hilbert H 1 , H 2 , uma função de Lipschitz em uma parte de M 1 e com valores em H 2 pode ser estendido em uma função Lipschitziana de H 1 inteiro a H 2 , com a mesma constante de Lipschitz.

Exemplos

Uma aplicação é 0-Lipschitziana se e somente se for constante.
Qualquer que seja o real ε> 0, a função raiz quadrada não é Lipschitziana em [0, ε] nem mesmo (que por continuidade é de fato equivalente) em] 0, ε] (é apenas 1 ⁄ 2 - Hölderiana).
A função g definida no intervalo limitado fechado [0, 1] por g ( x ) = x 3/2 sin (1 / x ) se x ≠ 0 e g (0) = 0 é diferenciável em todo o seu domínio, mas não Lipschitzian, por causa da derivada ilimitada.

Notas e referências

Stéphane Balac e Laurent Chupin , Análise e álgebra: segunda matemática ano curso com exercícios corrigidos e ilustrações com bordo , Lausanne, pPur ,2008( leia online ) , p. 558.
Alain Yger e Jacques-Arthur Weil , Matemática Aplicada L3: Curso completo com 500 testes e exercícios corrigidos , Paris, Pearson,2009( leia online ) , p. 141.
(em) " fractais e auto-similaridade, p.716 " na Universidade de Indiana
Para uma demonstração, consulte por exemplo esta seção da lição "Funções de uma variável real" na Wikiversidade .