Função de variação limitada

Em análise , diz-se que uma função tem variação limitada quando satisfaz uma certa condição de regularidade. Esta condição foi introduzida em 1881 pelo matemático Camille Jordan para estender o teorema de Dirichlet sobre a convergência das séries de Fourier .

Definição

Seja $f$ uma função definida em um conjunto totalmente ordenado T e com valores em um espaço métrico ( E , d ).

Para qualquer subdivisão $σ = ( x 0 , x 1 , ..., x n )$ de qualquer intervalo de T , definimos $V ( f , σ)$ por:

V (f, \ sigma) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} d (f (x _ {{i-1}}), f (x_ {i})).

Chamamos de variação total de $f$ em T o valor $V T ( f )$ ∈ ℝ definido por:

V_ {T} (f) = \ sup _ {{\ sigma}} V (f, \ sigma).

Dizemos que $f$ tem uma variação limitada se este limite superior $V T ( f )$ for finito, em outras palavras, se o “arco” (não necessariamente contínuo) definido por $f$ for retificável no sentido de Jordan .

Interesse do conceito

As funções monótonas formam uma importante classe de funções em análise. No entanto, tem a desvantagem de não ser invariante para operações algébricas básicas: a soma de duas funções monotônicas, por exemplo, não é necessariamente monotônica. Como qualquer função com variações limitadas é a soma de duas funções monotônicas e vice- versa , as funções com variações limitadas podem ser vistas como uma generalização das funções monotônicas, mas com a vantagem de que o conjunto de funções com variações limitadas é fornecido com a adição ou com a multiplicação forma um anel : a soma e o produto de duas funções com variações limitadas é com variações limitadas.

Propriedades

A variação total (finita ou infinita) de uma função contínua $f$ sobre um segmento real [ a , b ] não é apenas o limite superior de $V$ $($ $f$ $, σ)$ quando $σ$ atravessa as subdivisões de [ a , b ], mas também seus limite, quando o passo da subdivisão $σ$ tende para 0. Deduzimos que para uma função contínua com variação limitada $f$ , o mapa $t$ $\mapsto$ $V$ $[$ $a$ $,$ $t$ $]$ $($ $f$ $)$ é contínuo.
Se φ é uma bijeção crescente outro conjunto ordenado S para T , a variação total de $f$ ∘φ em S é igual ao de $f$ no T .
Para espaço vectorial normalizado E , as funções de variação limitada formar um subespaço do espaço de funções T , em E .
Qualquer função $F$ absolutamente contínua (em particular qualquer função Lipschitziana ) tem variação limitada. Em outras palavras: se $f$ é integrável no sentido de Lebesgue em um intervalo $I$ então, para $um$ fixo em $I$ , a função $x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ {\ mathrm d} t$ é uma variação limitada. De fato, $V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ vert ~ { \ mathrm d} t.$
Qualquer função com variação limitada é definida (ou seja, limite uniforme de uma série de funções de escada ).
As funções com variação limitada de um segmento real em ℝ são exatamente as diferenças de duas funções crescentes (tal decomposição $f = g - h$ está longe de ser única; se $f$ for contínuo, $g$ e $h$ podem ser escolhidos contínuos: pelo exemplo $h ( t ) = V [ a , t ] ( f )$ e $g = f + h$ ). Deduzimos daí que suas descontinuidades não são essenciais e formam um conjunto mais contável e que essas funções são deriváveis em quase todos os lugares (no sentido da medida de Lebesgue ), a partir de derivadas localmente integráveis .
Existem funções deriváveis com variação total infinita, como a função $f$ definida em [–1, 1] por $f ( x ) = x 2 cos 2 (π / x 2 )$ se $x \neq 0$ e $f (0) = 0$ .

Generalização para funções multivariadas

Uma definição estendida para funções com múltiplas variáveis pode ser feita pela variação de Vitali. Proposto por Vitali, foi assumido por Lebesgue e Fréchet.

Seja f uma função definida em um bloco . Nós notamos : $[a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}$

\ Delta _ {{h_ {k}}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n}) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})

então, recursivamente,

\ Delta _ {{h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}}} (f, x) = \ Delta _ {{h_ {k}}} (\ Delta _ {{h_ {1 }, h_ {2}, \ cdots, h _ {{k-1}}}}, x).

Em seguida, nos damos sequências de pontos em cada direção e associamos $\ pi _ {k}$ $a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {{N_ {k} +1}} = b_ {k}$ $h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {{i + 1}} - t_ {k} ^ {i}.$

A variação no sentido de f de Vitali é dada por:

V ^ {n} (f) = \ sup _ {{(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})}} \ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} \ sum _ {{i_ {k} = 1}} ^ {{N_ {k}}} \ left | \ Delta _ {{h_ {1} ^ {{i_ {1}}}, h_ {2} ^ { {i_ {2}}}, \ cdots, h_ {k} ^ {{i_ {k}}}}} \ left (f, (x_ {1} ^ {{i_ {1}}}, x_ {2} ^ {{i_ {2}}}, \ cdots, x_ {k} ^ {{i_ {k}}}) \ right) \ right |

Esta definição de variação pode ser estendida através da definição de variação de Hardy-Krause:

A variação Hardy-Krause de f é dada por:

V (f) = \ soma V ^ {n} (f)

onde a soma é feita em todas as faces de todos os subintervalos do bloco de dimensão menor ou igual a $n$ . $[a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}$

Notas e referências

Notas

Contra - exemplo : As funções $f : x \mapsto -x$ e $g : x \mapsto x 3$ são monotônicas, mas $f + g$ não.

Referências

Godfrey Harold Hardy ( traduzido de Inglês por Alexandre Moreau), "Camille Jordan" , em Matemática e matemáticos , Nitens,2018( 1 st ed. 1922) ( ISBN 9782901122005 ).
Gustave Choquet , Curso de Análise, Volume II: Topologia , p. 99-106.
Xavier Gourdon, Maths in mind: Analysis , Paris, Ellipses,2008, 2 nd ed. ( 1 st ed. 1994), 432 p. ( ISBN 978-2-7298-3759-4 ) , cap. 2 ("Funções de uma variável real").
(em) J. Yeh , Real Analysis: Theory of Measure and Integration , World Scientific,2006, 2 nd ed. , 738 p. ( ISBN 978-981-256-653-9 , leitura online ) , p. 265 : " Jordan Decomposition of Functions of Bounded Variation "
(it) G. Vitali , " Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali " , Atti Accad. Sci. Torino , vol. 43,1908, p. 229-246
(De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Band. ,1921

Link externo

(pt) "Função da variação limitada" , em Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leia online )