Raiz quadrada

Função de raiz quadrada Curva representativa da função raiz quadrada.

Avaliação	${\ displaystyle {\ sqrt {x}}}$
Recíproca	$x ^ 2$
Derivado	${\ displaystyle {1 \ over 2 {\ sqrt {x}}}}$
Primitivos	${\ displaystyle {2 \ over 3} x ^ {3 \ over 2} + C}$

Características principais

Conjunto de definições	${\ displaystyle \ left [0, + \ infty \ right [}$
Conjunto de imagens	${\ displaystyle \ left [0, + \ infty \ right [}$

Valores especiais

Valor zero	0
Limite em + ∞	$+ \ infty$
Mínimo	0

Particularidades

Zeros	0
Pontos fixos	0 e 1

Em matemática elementar , a raiz quadrada de um número real positivo $x$ é o único real positivo que, quando multiplicado por ele mesmo, dá $x$ , ou seja, o número positivo cujo quadrado é igual a $x$ . Denotamos isso $\sqrt x$ ou $x 1/2$ . Nessa expressão, $x$ é denominado radicando e o sinal é denominado radical . A função que associa sua raiz quadrada a qualquer real positivo é chamada de função de raiz quadrada . ${\ displaystyle {\ sqrt {\ quad}}}$

Em álgebra e análise , em um anel ou campo $A$ , chamamos a raiz quadrada de $a$ , qualquer elemento de $A$ cujo quadrado é igual a $a$ . Por exemplo, no campo dos complexos ℂ, diremos de $i$ (ou de $- i$ ) que é uma raiz quadrada de $- 1$ . Dependendo da natureza do anel e do valor de $a$ , podemos encontrar 0, 1, 2 ou mais de 2 raízes quadradas de $a$ .

Encontrar a raiz quadrada de um número, ou extrair a raiz quadrada, dá origem a muitos algoritmos. A natureza da raiz quadrada de um número natural que não é o quadrado de um inteiro é a fonte da primeira consciência da existência de números irracionais . A busca de raízes quadradas para números negativos levou à invenção dos números complexos .

História

A raiz quadrada mais antiga conhecida aparece por volta de 1700 AC. AD no tablet YBC 7289 . É a representação de um quadrado com, de um lado, o número 30 e, ao longo da diagonal, um valor aproximado de √ 2 .

Construção geométrica da raiz quadrada

A seguinte construção geométrica é realizada com uma régua e um compasso e permite, dado um segmento OB de comprimento $a$ , e um segmento de comprimento 1, construir um segmento de comprimento $\sqrt a$ :

Construir o segmento [AB] de comprimento $1 + a$ e contendo o ponto O com AO = 1
Construa o círculo $c$ de diâmetro [AB].
Construa a linha $d$ perpendicular a (OB) e passando por O.
Nomeie H o ponto de intersecção do círculo $ce da$ linha $d$ .

O segmento [OH] tem comprimento $\sqrt a$ .

A prova consiste em notar que os triângulos OAH e OHB são semelhantes , dos quais deduzimos que $OH 2 = AO \times OB = a$ e, portanto, $OH = \sqrt a$ .

Essa construção tem sua importância no estudo dos números construtíveis .

Função real

O mapa é uma bijeção de ℝ + em ℝ + cujo inverso é anotado . Essa função é chamada de função de raiz quadrada . Geometricamente, podemos dizer que a raiz quadrada da área de um quadrado no plano euclidiano é o comprimento de um de seus lados. $x \ mapsto x ^ {2}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ sqrt {x}}}$

Atenção: a área é expressa no sistema universal em metros quadrados e comprimentos em metros. Tirando a raiz quadrada de uma quantidade expressa em metros quadrados, obtemos uma quantidade expressa em metros. Os físicos atribuem especial importância à análise das unidades; este aspecto é apagado na matemática. Os números reais são constantes sem unidade e a raiz quadrada de um número real positivo é um número real positivo.

A função de raiz quadrada verifica as seguintes propriedades elementares válidas para todos os números reais positivos x e y :

{\ displaystyle {\ sqrt {x}} = x ^ {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {x \ times y}} = {\ sqrt {x}} \ times {\ sqrt {y}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {x} {y}}} = {\ frac {\ sqrt {x}} {\ sqrt {y}}}}

(sob a condição

y > 0

)

{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2}}} = | x |}

É estritamente crescente , como o recíproco de uma bijeção crescente em ℝ + .
Ela é $1 / 2$ -Höldérienne, portanto, uniformemente contínua .
É diferenciável em qualquer real $x$ estritamente positivo , mas não é diferenciável em $x = 0$ . Neste ponto, a curva representativa admite uma meia tangente vertical. Sua função derivada é dada por: ${\ frac {{\ mathrm d}} {{\ mathrm d} x}} {\ sqrt {x}} = {1 \ over 2 {\ sqrt {x}}}$ .
É de classe $C \infty$ em ℝ + *: ${\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}} {\ sqrt {x}} = {(-1)} ^ {n + 1} {(2n)! \ sobre n! 2 ^ {2n} (2n-1)} {\ frac {1} {x ^ {n-1/2}}}.}$
Seu desenvolvimento na série de Taylor no ponto 1 é, portanto, para qualquer número real $h$ tal que | $h$ | ≤ 1: ${\ sqrt {1-h}} = 1- \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} a_ {n} h ^ {n} {\ text {com}} a_ {n} = {( 2n)! \ over (n!) ^ {2} 2 ^ {{2n}} (2n-1)}> 0,$ com convergência normal em [-1, 1] (ver o § “Desenvolvimento em série inteira” do artigo “Raiz de um número” ). Os coeficientes são expressos como quocientes de números catalães em potências de 2 : $a_ {n} = {\ frac {C _ {{n-1}}} {2 ^ {{2n-1}}}}.$ Os primeiros valores são $a_ {1} = {\ frac 12}, a_ {2} = {\ frac 18}, a_ {3} = {\ frac 1 {16}}, a_ {4} = {\ frac 5 {128}}.$

Extração de raiz quadrada

Calcular a raiz quadrada de um número positivo nem sempre é fácil, especialmente para números grandes. Assim, vários algoritmos foram desenvolvidos ao longo da história para obter este número. Dentre os métodos de extração de raiz quadrada, podemos citar em particular o método Heron , que é um método histórico que pode ser visto do ponto de vista moderno como um caso especial do método de Newton . Outros métodos baseiam-se em sequências adjacentes , em frações contínuas ou no princípio da dicotomia.

Raízes quadradas especiais

Numero de ouro

Se p é um número real estritamente positivo,

{\ displaystyle {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + {\ sqrt {p + \ cdots}}}}}}}} = {\ frac {1 + {\ sqrt {4p + 1}}} {2}}}

Para p = 1, obtemos a proporção áurea :

\ varphi = {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1 + {\ sqrt {1+ \ cdots}}}}}}}}}

Números inteiros maiores que 1 como raízes quadradas

Ramanujan descobriu as seguintes fórmulas:

{\ displaystyle {\ sqrt {1 + 2 {\ sqrt {1 + 3 {\ sqrt {1+ \ dots}}}}}} = 3}

e .

{\ displaystyle {\ sqrt {6 + 2 {\ sqrt {7 + 3 {\ sqrt {8+ \ dots}}}}}} = 4}

Essas fórmulas são generalizadas, o que dá em particular, para qualquer real : $n \ geq 0$

{\ displaystyle n + 2 = {\ sqrt {1+ (n + 1) {\ sqrt {1+ (n + 2) {\ sqrt {1+ (n + 3) {\ sqrt {\ dots}}}} }}}}}

e .

{\ displaystyle n + 3 = {\ sqrt {n + 5 + (n + 1) {\ sqrt {n + 6 + (n + 2) {\ sqrt {n + 7 + \ pontos}}}}}}}

Pi

O número π é expresso como uma iteração infinita de raízes quadradas:

\ pi = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ left (2 ^ {{k}} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt 2}}}}}}}}}}} \ right)

, onde k é o número de raízes quadradas aninhadas

Ou :

\ pi = \ lim _ {{k \ to \ infty}} \ left (3 \ cdot 2 ^ {{k-1}} \ cdot {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ {\ sqrt {2+ \ cdots {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt 3}}}}}}}}}}}}} \ right)

(fórmulas que são demonstradas por cálculo trigonométrico direto: o termo do lado direito do primeiro, por exemplo, vale ). $2 ^ {k} \ sin (\ pi / 2 ^ {k})$

Conceito algébrico geral

Definição algébrica de uma raiz quadrada

Sejam $x$ e $a$ dois elementos de um anel $A$ , tal que $x 2 = a$ . O elemento $x$ é então uma raiz quadrada de $a$ . A notação $\sqrt a$ é, entretanto, freqüentemente desencorajada porque pode haver vários desses elementos $x$ .

Em geral (se o anel não for integral ou se não for comutativo), um elemento pode ter mais de duas raízes quadradas. Por exemplo, no anel ℤ / 9ℤ , as raízes quadradas de 0 são 0 , 3 e - 3 , e no campo esquerdo dos quatérnios , todo real estritamente negativo tem uma infinidade de raízes quadradas.

No caso de números reais, um autor falando de uma raiz quadrada de 2, trata de um dos dois elementos √ 2 ou - √ 2 . Por outro lado, a expressão da raiz quadrada de dois sempre evoca a solução positiva. Como a expressão √ 2 é sempre positiva e o termo função raiz definida em reais positivos sempre designa o valor positivo, evitamos essa confusão nos ensinamentos um tanto elementares da matemática fazendo uso apenas da expressão: a raiz quadrada, então sempre positiva.

Raízes quadradas de números complexos

A raiz quadrada sobre ℝ é definida apenas para números positivos. Na resolução efetiva de equações polinomiais, a introdução de uma raiz quadrada formal de um número negativo em cálculos intermediários fornece resultados exatos. É assim que o campo dos números complexos foi introduzido

Para qualquer diferente de zero complexo número $z = a + i b$ (com $um$ e $b$ real), existem exactamente dois números complexos $w$ tal que $w 2 = z$ . Eles se opõem um ao outro.

Se $b$ não for zero, eles são dados por: ${\ displaystyle w = \ pm \ left ({\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + a} {2}}} + \ mathrm {i} \ \ operatorname {sign} (b) {\ sqrt {\ frac {{\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} - a} {2}}} \ right)}$ ,
com . ${\ displaystyle \ operatorname {sign} (b) = {\ frac {b} {| b |}}}$
Se $b$ for zero e $a$ for negativo, esta fórmula se simplifica para: ${\ displaystyle w = \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt {| a |}}}$ .
Por outro lado, se $z$ não for um real negativo ( ou seja, se $b$ for diferente de zero ou se $a$ for positivo), ${\ displaystyle w = \ pm {\ frac {z + | z |} {\ sqrt {2 (a + | z |)}}}}$ .

Método de cálculo das raízes quadradas

w

de um número complexo

z = a + i b

Para encontrar $w = x + i y de$ modo que $w 2 = a + i b$ , definimos o seguinte sistema:

{\ begin {cases} w ^ {2} = z \\ | w | ^ {2} = | z | \ end {cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} (x + \ mathrm {i} y) ^ {2} = a + \ mathrm {i} b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt { a ^ {2} + b ^ {2}}} \ end {casos}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {2} -y ^ {2} + \ mathrm {i} 2xy = a + \ mathrm {i} b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ end {casos}}}

Pela identificação da parte real e imaginária, obtemos:

{\ displaystyle {\ begin {cases} x ^ {2} -y ^ {2} = a \\ 2xy = b \\ x ^ {2} + y ^ {2} = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}. \ end {casos}}}

Em seguida, deduzir $X 2$ e $Y 2$ , adicionando e subtraindo os primeiros e terceiros equações. O sinal do produto $xy$ é o de $b$ , daí a primeira expressão dos dois pares de soluções para $x$ e $y$ .

Mas uma maneira menos tradicional de resolver esse sistema é primeiro fazer a soma (da primeira e da terceira equações):

{\ displaystyle 2x = \ pm {\ sqrt {2 (a + | z |)}}}

que, se z não for um real negativo, leva à última fórmula.

Exemplo:

As duas raízes quadradas de $i$ são

1 + i / \sqrt 2

= ≈

0,707 + 0,707 i

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ frac {\ mathrm {i} \ pi} {4}} = \ cos {\ frac {\ pi} {4}} + \ mathrm {i} \ sin {\ frac {\ pi} {4}}}

e seu oposto.

Por razões topológicas, é impossível estender a função raiz quadrada, de ℝ + para ℝ + , em uma função contínua verificando $f$ $($ $z$ $)$ $2$ $=$ $z$ . ${\ displaystyle f: \ mathbb {C} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

Chamamos de determinação da raiz quadrada em um U aberto de ℂ qualquer função contínua satisfatória . ${\ displaystyle f: U \ rightarrow \ mathbb {C}}$ $f (z) ^ {2} = z$

A principal determinação da raiz quadrada é a função de ℂ em ℂ assim definida: se z é escrito na forma trigonométrica $z = r e i φ$ com $-π < φ \leq π$ , então definimos $f ( z ) = \sqrt r e i φ / 2$ . Esta determinação principal não é contínua em nenhum ponto da meia-linha dos reais estritamente negativos e é holomórfica em seu complemento.

Quando o número está em sua forma algébrica $z = a + i b$ , esta definição se traduz em:

{\ displaystyle f (a + ib) = {\ sqrt {\ frac {\ left | a + \ mathrm {i} b \ right | + a} {2}}} \ pm \ mathrm {i} {\ sqrt { \ frac {\ left | a + \ mathrm {i} b \ right | -a} {2}}}}

onde o sinal da parte imaginária da raiz é

se $b \neq 0$ : o sinal de $b$
se $b = 0$ e $a <0$ : o sinal +
se $b = 0$ e $a \geq 0$ : sem sinal (o número é zero).

Observe que, devido à natureza descontínua da determinação principal da raiz quadrada no plano complexo, a relação geralmente se torna falsa . ${\ displaystyle {\ sqrt {zz '}} = {\ sqrt {z}} {\ sqrt {z'}}}$

Raízes quadradas de matrizes e operadores

Se A é uma matriz auto-adjuntas positivo ou um auto-adjunta operador dimensão finita positiva, então não é exactamente uma matriz auto-adjuntas positiva ou positiva de um auto-adjunta operador B de tal modo que B 2 = Uma . Surge então: $\sqrt A$ = B .

Mais geralmente, para cada matriz normal ou operador normal em dimensão finita Um , existem operadores normais B de tal modo que B 2 = Uma . Essa propriedade generaliza para qualquer operador normal limitado em um espaço de Hilbert .

Em geral, existem vários operadores B para cada A e a função raiz quadrada não pode ser definida para operadores normais de forma satisfatória (contínua, por exemplo). Operadores positivos estão relacionados a números reais positivos e operadores normais estão relacionados a números complexos. Os artigos sobre a teoria do operador desenvolvem ainda mais esses aspectos.

Notas e referências

(fr) Este artigo foi retirado parcial ou totalmente do artigo da Wikipedia em inglês intitulado " Raiz quadrada " ( veja a lista de autores ) .

Mistral Collection, Mathematics 3 th , 1985, p. 20
Para uma prova elementar, consulte por exemplo "Função de raiz quadrada" na Wikiversidade .
Para uma demonstração, veja por exemplo o capítulo "Derivadas usuais" da lição "Função derivada" na Wikiversidade .
Na solução da equação do terceiro grau , o método de Cardan é aplicado formalmente e dá resultados reais, se aceitarmos introduzir em certos casos raízes quadradas "imaginárias" de reais negativos. Para mais detalhes, consulte o histórico de números complexos e também a descrição dos resultados de Bombelli .
Suite A010503 de OEIS .
No entanto, encontrará no artigo “ Superfície de Riemann ” uma forma de contornar esta dificuldade.

Veja também

Link externo

(pt) Sequências relativas à raiz quadrada na enciclopédia online de sequências de inteiros (entre outros: expansões decimais de raízes quadradas de inteiros de 2 a 99)

Bibliografia

(pt) David Eugene Smith , História da Matemática , vol. 2
(in) George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics , 2 th ed. Penguin Books , London, 2000 ( ISBN 0-691-00659-8 ) 3 e ed. aumentada : Princeton University Press , 2010 ( ISBN 978-0-691-13526-7 )
(en) PAJ Lewis, Essential Mathematics , Ratna-Sagar,2008, 440 p. ( ISBN 978-81-8332-367-3 , leitura online ) , cap. 3 ("números irracionais") (este capítulo, apesar do título, é sobre raízes quadradas)
(pt) AV Vijaya, Figuring Out Mathematics , Dorling Kindersley ,2007( ISBN 978-81-317-0359-5 , leitura online ) , p. 15