A álgebra é um ramo da matemática que pode expressar as propriedades das operações e o tratamento de equações e resultados no estudo de estruturas algébricas . Dependendo do tempo e do nível de estudo considerado, pode ser descrito como:
O campo de aplicação da álgebra se estende desde problemas aritméticos, que lidam com números, até aqueles de origem geométrica, como a geometria analítica de Descartes ou números complexos . A álgebra ocupa assim um lugar central entre a aritmética e a geometria, tornando possível estender e unificar o domínio digital.
A palavra "álgebra" é derivada do título de uma obra escrita por volta de 825, Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (" Compêndio de Cálculo por Restauração e Comparação "), do matemático original Persa Al- Khwarizmi . Este livro tinha objetivos práticos: o cálculo de herança, levantamento topográfico , comércio, etc., e fazia parte da era da ascensão da ciência e tecnologia islâmicas .
A palavra árabe al-djabr ( الجبر ) significa "redução de uma fratura", "reunião (das peças)", "reconstrução", "conexão", "restauração", ressalto. No contexto matemático, refere-se à transformação de uma equação ao adicionar um termo. Na linguagem de hoje, por exemplo, pode ser transformado adicionando a quantidade b para ambos os lados da equação para ter apenas termos positivos: .
Está na origem da palavra latina álgebra que deu origem a "álgebra" em francês. Em espanhol , a palavra algebrista designa tanto aqueles que praticam cálculo algébrico eo bonesetter (aqueles que sabem como reduzir fraturas ).
Já na antiguidade egípcia ou babilônica , os escribas tinham procedimentos para encontrar uma quantidade desconhecida, sujeito a certas condições. Assim, os antigos babilônios e egípcios já sabiam como resolver problemas que podem ser traduzidos em equações de primeiro ou segundo grau. Os babilônios também usavam a técnica de algoritmos , e isso muito antes de Euclides .
Por exemplo, o papiro Rhind (no Museu Britânico em Londres , datado de 1650 aC ) tem a seguinte declaração:
“Devemos dividir 100 pães entre dez homens, incluindo um navegador, um capataz e um zelador, todos os três recebendo a divisão em dobro. O que devemos dar a cada um? "
Em outro exemplo, um problema babilônico pede o lado de um quadrado de forma que obtenhamos 870 subtraindo esse lado da área do quadrado. Traduzido em termos algébricos, isso equivale a resolver a seguinte equação quadrática :, onde "x" denota o lado procurado.
No III th século, Diophantus praticar uma forma de álgebra pré-simbólico, a introdução de um desconhecido em que opera cálculos.
A matemática grega chamou de "análise" o método que consiste em nomear um desconhecido e manipulá-lo para voltar das condições impostas pelo exercício à identificação das propriedades do desconhecido que então podem ser determinadas e se tornam conhecidas.
No livro Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala (" Resumo do Cálculo por Restauração e Comparação ") do matemático Al-Khwarizmi , escrito em Bagdá , durante o reinado de Al-Ma'mūn (813- 833) , uma grande proporção dos métodos usados vêm de resultados de geometria elementar. Por esta razão, frequentemente classificamos esses primeiros resultados no ramo da álgebra geométrica .
A grande inovação foi a introdução do conceito de “equação”. Era uma igualdade entre duas expressões matemáticas compreendendo em seus termos números conhecidos e uma quantidade desconhecida. Tal igualdade era a tradução para a linguagem matemática das condições impostas pelo problema para descobrir o desconhecido. Por exemplo: "qual é o quadrado que, combinado com dez de suas raízes, dá uma soma igual a 39? " , Problema que traduziremos em álgebra contemporânea (é mais precisamente uma" transcrição "e não uma tradução, porque a notação em expoentes numéricos só começa com Descartes) na forma :, anotando" x "a raiz desconhecida do quadrado. Símbolos especiais são criados para denotar quadrado, cubo, raiz quadrada, raiz cúbica: a noção de expoente numérico, mesmo simplesmente inteiro, ainda não emergiu.
A lenda às vezes atribui a Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, a importação dos chamados algarismos arábicos que ele teria descoberto durante uma viagem à África. Isso é para esquecer que Gerbert d'Aurillac , que os estudou em Córdoba, se comprometeu a impô-los à cristandade assim que se tornou Papa no ano 1000 com o nome de Silvestre II. No entanto, é o livro de Fibonacci Liber abaci , que definirá a famosa sequência de Fibonacci e ajudará a popularizar o uso dos algarismos arábicos e do sistema decimal na Europa.
O papa Gerbert d'Aurillac trouxera zero da Espanha por volta do ano 1000 , uma invenção indiana que os próprios matemáticos Al-Khwarizmi e Abu Kamil deram a conhecer em todo o Império e também em Córdoba .
Esta numeração posicional completa bem o cálculo algébrico, primeiro por meio de algoritmos (termo derivado de "Al-Khwarizmi", mas um processo já usado no algoritmo de Euclides ), que gradualmente substituem o uso do l ' ábaco . Matemáticos italianos do XVI th Century ( del Ferro , Tartaglia e Cardan ) resolver a equação do 3 º grau (ou equação cúbica ). Ferrari , estudante Cardan resolve a equação da 4 th grau (ou equação quártico ), e o método é melhorada por Bombelli . No final do século, o francês Viète descobriu que as funções simétricas das raízes estavam ligadas aos coeficientes da equação polinomial.
Até XVII th século , álgebra pode ser amplamente caracterizada como um resultado ou o início das equações e como uma extensão da aritmética ; Consiste principalmente no estudo da resolução de equações algébricas e na codificação progressiva de operações simbólicas que permitem essa resolução. François Viète (1540-1603), “considerado o fundador da nossa linguagem algébrica” , inova ao constatar o desconhecido e o indeterminado através das letras.
Enquanto em Viète os poderes eram anotados com palavras latinas, René Descartes os nota na forma de expoentes e é esta escrita que é essencial. Mais ou menos mantivemos as notações literais de Descartes, que constituem um verdadeiro simbolismo algébrico. O termo "álgebra" então se torna sinônimo de "cálculo literal". René Descartes e Pierre de Fermat também introduziram o que sempre se chama no ensino fundamental e médio de “geometria analítica”, ou seja, a geometria das coordenadas: curvas e superfícies são representadas por equações que são manipuladas como álgebra.
Os matemáticos também começaram gradualmente a usar números "imaginários" para calcular as raízes de suas equações, às vezes mesmo quando as últimas eram muito reais.
Um passo decisivo foi dado com a escrita de expoentes fracionários , então rapidamente reais e imaginários . Isso permitirá que Euler exponha sua famosa fórmula ligando cinco números notáveis. Por meio desses expoentes imaginários, ocorre a junção contínua do mundo algébrico e do mundo trigonométrico.
Levar em consideração as soluções de equações que são números complexos leva d'Alembert a afirmar (em 1746) e Gauss a provar (em 1799) o teorema fundamental da álgebra :
Teorema - Qualquer equação polinomial de grau n em números complexos tem exatamente n raízes (cada uma contando com sua possível multiplicidade).
Em sua forma moderna, o teorema é afirmado:
Teorema - O campo de números complexos fornecido com adição e multiplicação é fechado algebricamente .
O XIX th século está agora interessada nas raízes computabilidade e, especialmente, a capacidade de expressá-las através de fórmulas radicais baseados. As falhas referentes às equações de grau 5 levam o matemático Abel (após Vandermonde , Lagrange e Gauss ) a aprofundar as transformações no conjunto de raízes de uma equação. Évariste Galois (1811 - 1832), em deslumbrante memória, estuda o conjunto de permutações das raízes de uma equação polinomial e leva à impossibilidade de resolução por radicais para equações de grau maior ou igual a 5.
A partir daí, começamos a calcular sobre objetos que não são mais necessariamente números. A álgebra moderna inicia uma jornada frutífera: Boole cria a álgebra que leva seu nome , Hamilton inventa quatérnios e os matemáticos ingleses Cayley , Hamilton e Sylvester estudam estruturas matriciais. A álgebra linear , há muito restrita a resolver sistemas de equações lineares com 2 ou 3 incógnitas, decola com o teorema de Cayley-Hamilton ("Toda matriz quadrada com coeficientes em ou cancela seu polinômio característico "). Seguem-se as transformações por mudança de base, o diagonalization e trigonalization de matrizes, e os métodos de cálculo que irá nutrir, no XX E século, a programação dos computadores. Dedekind define os ideais (já presentes mais do que germe na noção de número complexo ideal introduzida por Kummer ), que permitirão generalizar e reformular os grandes teoremas aritméticos. A álgebra linear se generaliza em álgebra multilinear e álgebra tensorial .
No início do XX ° século, sob a liderança do alemão Hilbert e francês Poincaré , os matemáticos estão questionando os fundamentos da matemática: a lógica e axiomatization centro do palco. Peano axiomatiza a aritmética, depois os espaços vetoriais . A estrutura do espaço vetorial e a estrutura da álgebra foram estudadas em profundidade por Artin em 1925, com campos de base diferentes de ou e cada vez mais operadores abstratos. Devemos também a Artin , considerado o pai da álgebra contemporânea, resultados fundamentais no campo dos números algébricos . Os campos não comutativos levam à definição da estrutura do módulo em um anel e à generalização dos resultados clássicos em espaços vetoriais.
A escola francesa " Nicolas Bourbaki ", liderada por Weil , Cartan e Dieudonné , compromete-se a reescrever todo o conhecimento matemático em uma base axiomática: este trabalho gigantesco começa com a teoria dos conjuntos e álgebra em meados do século e confirma a álgebra como a linguagem universal da matemática. Paradoxalmente, embora o número de publicações esteja crescendo exponencialmente em todo o mundo, embora nenhum matemático possa alegar dominar uma parte muito pequena do conhecimento, a matemática nunca pareceu tão unificada como hoje.
O estudo dessas estruturas pode ser feito de forma unificada no âmbito da álgebra universal .
O estudo epistemológico da álgebra foi introduzido por Jules Vuillemin .
Por extensão, o termo “algébrico” também é atribuído a outras partes da matemática cujos objetos ou métodos estão incluídos na álgebra.