Sistema decimal

O sistema decimal é um sistema numérico que usa base dez. Nesse sistema, as potências de dez e seus múltiplos gozam de representação privilegiada.

Números decimais

O sistema decimal é amplamente utilizado. Assim são constituídos, por exemplo, os números:

Sistemas de classificação

Pessoas com base decimal empregaram várias técnicas ao longo dos anos para representar números. Aqui estão alguns exemplos.

Os sistemas numéricos cujos dígitos representam potências de dez são do tipo aditivo. Esse é o caso da numeração egípcia . Exemplo: 1506 está escrito

Lotus-stylized-1000.svg Hiero figure 100.pngHiero figure 100.pngHiero figure 100.png Hiero figure 1.pngHiero figure 1.pngHiero figure 1.png
Hiero figure 100.pngHiero figure 100.png Hiero figure 1.pngHiero figure 1.pngHiero figure 1.png

na escrita hieroglífica (1000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).

Esses sistemas de numeração também são do tipo aditivo, mas envolvem um sistema quinário auxiliar. É o caso dos números áticos, etruscos, romanos e chuvásicos . Exemplo: 2604 é escrito MMDCIIII. em algarismos romanos (1000 + 1000 + 500 + 100 + 1 + 1 + 1 + 1). O algarismo romano também conhece uma variante aditiva e subtrativa: 2604, desta forma, escreve-se MMDCIV. (1000 + 1000 + 500 + 100 - 1 + 5).

Sistemas numéricos que empregam nove dígitos para unidades, bem como para dezenas, centenas, etc. ainda são do tipo aditivo. É o caso dos numerais armênios , arábicos alfabéticos, góticos , gregos e hebraicos . Exemplo: 704 é escrito ψδ em algarismos gregos iônicos (700 + 4).

Os sistemas numéricos cujos dígitos representam unidades e potências de dez são do tipo híbrido. Esse é o caso dos números chineses e japoneses . Exemplo: 41 007 é escrito 四万 千七 no sistema japonês (4 × 10.000 + 1.000 + 7). O sistema chinês também usa zero para indicar posições vazias antes das unidades: 41 007, é escrito 四 萬千 〇 七 em dígitos chineses (4 × 10 000 + 1 000 + 0 + 7).

Os sistemas numéricos cujos dígitos representam unidades são do tipo posicional . Esse é o caso dos algarismos árabes não alfabéticos, europeus, a maioria dos indianos, mongóis e tailandeses . Exemplo: 8002 é escrito ๘๐๐๒ em dígitos tailandeses (8002).

Histórico

A base dez é muito antiga. Surge de uma escolha natural, ditada pelo número de dedos das duas mãos. Os proto-indo-europeus provavelmente contados na base dez. Um sistema de notação decimal foi desenvolvido:

Observe, entretanto, o uso de sistemas não decimais, dos quais aqui estão alguns exemplos.

Bases combinadas

Numeração decimal combinada com uma base auxiliar

Os números decimais às vezes usam bases auxiliares:

Número decimal usado como sistema auxiliar

Sistemas de unidade

Na China, as medidas de capacidade e peso são dizimadas por volta de 170 aC. AD . Nos Estados Unidos, o sistema monetário era decimal em 1786. Na Europa, a decimação das unidades foi iniciada na França a partir de 22 de agosto de 1790, quando Luís XVI pediu à Académie des Sciences para nomear uma comissão para definir as unidades. Pesos e medidas . O último defende a divisão decimal.

Vantagens e desvantagens

A maioria das línguas modernas divide os números em base dez por causa de alguns de seus pontos fortes:

No entanto, não foi até a generalização da notação posicional, e a existência de um algoritmo de divisão adaptado a esta notação, que as unidades de medida perdem gradualmente seus submúltiplos não decimais - em particular, a notação que inclui 3 fatores, como senário, duodecimal e octodecimal.

Quando a libra na França incluía 20 centavos de 12 deniers (ou na Grã-Bretanha 20 xelins de 12 pence ), os agentes econômicos perceberam que essa unidade poderia ser dividida exatamente por 20 divisores diferentes (incluindo 1 e 240). Em 1971, apesar da tecnologia da informação que agora torna possível gerenciar facilmente a heterogeneidade das relações não decimais entre submúltiplos, a Grã-Bretanha não hesitou em decimalizar sua moeda.

Matemática

Conversão para base N de um número escrito em base decimal

Para ir de um número na base decimal para um número na base N , podemos aplicar o seguinte método:

Seja K o número na base decimal a ser convertido em N base .

  1. Realizando divisão de número inteiro de K por N . Seja D o resultado desta divisão e R o restante
  2. Se D > = N , comece novamente em 1
  3. Caso contrário, a escrita na base N de K é igual à concatenação do último resultado e todos os demais a partir do último.

Exemplo: conversão para base hexadecimal (base dezesseis) do número 3257 escrito em base decimal

Sabendo que 11 (onze) é escrito B e que 12 (doze) é escrito C, a escrita de 3257 (três mil duzentos e cinquenta e sete) em base hexadecimal é CB9.

Conversão para a base decimal de um número escrito na base N

Para ir de um número na base N para um número na base decimal, podemos aplicar o seguinte método:

Seja K o número na base N a ser convertido.

Para qualquer dígito c de classificação r em K , calculamos c × N r . A representação de K na base dez é a soma de todos os produtos.

A contagem de r começa em zero da direita para a esquerda.

Exemplo
O número "10110" na base dois é escrito na base dez:

1 × 2 4 + 0 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 1 + 0 × 2 0 = 22 (base dez)

Exemplo
O número "14043" na base seis é escrito na base dez:

1 × 6 4 + 4 × 6 3 + 0 × 6 2 + 4 × 6 1 + 3 × 6 0 = 2187 (base dez)

Exemplo
O número "3FA" na base dezesseis é escrito na base dez:

3 × 16 2 + 15 × 16 1 + 10 × 16 0 = 1018 (base dez)

Lembrete: F na base dezesseis vale quinze, A na base dezesseis vale dez.

Notas e referências

  1. Maurice Caveing, Ensaio sobre o conhecimento matemático: na Mesopotâmia e no antigo Egito , Villeneuve d'Ascq, Presses Univ. Norte,1994, 417  p. ( ISBN  2-85939-415-X ) , p.  243.244.
  2. Walter William Rouse Ball Um breve relato da história da matemática, Dover Publications, 2001, capítulo I, p.   2 e 4 aritmética egípcia primitiva (aritmética nos tempos egípcios antigos), p.  3 matemático egípcio antigo , p.  5 matemática egípcia e fenícia , p.  6, 7 e 8 geometria egípcia primitiva (com referência ao papiro Rhind e PI), p.   ( ISBN  1402700539 )
  3. Ver página 13 em The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: a sourcebook , Victor J. Katz & Annette Imhausen , Princeton University Press, 2007
  4. Ver página 118 no Dicionário enciclopédico de matemática - EDM 2 , Kiyosi Itô, MIT Press, 2000
  5. Temple 2007 , p.  152-154.
  6. Consulte a página 104 em Ciência antiga e medieval , René Taton, Quadrige PUF, 1966
  7. Veja as páginas 20-21 em História das Ciências , sob a direcção de Philippe de Cotardière Tallandier, 2004 - Trechos: "No início da II ª milênio, quando escrita cuneiforme está agora no lugar, um sistema digital única s'imposta. Este é um sistema numérico sexagesimal, isto é, baseado na base sessenta, e não na base decimal que nos é familiar. "
  8. Veja as páginas 40-41 em The Technology of Mesopotamia , Graham Faiella, Rosen Publishing, 2006
  9. Ver página 77 em The Princeton Companion to Mathematics editado por Timothy Gowers , June Barrow-Green e Imre Leader , Princeton University Press, 2008
  10. Veja as páginas 111-114 em 'A primeira escrita: a invenção do script como história e processo , editado por Stephen D. Houston, Cambridge University Press, 2004
  11. Ver também a página 341 em Abstração e representação: ensaios sobre a evolução cultural do pensamento , Peter Damerow, Luwer Academic Publishers, 1996
  12. Consulte a página 16 em Passos rápidos - Traçando a concepção de aritmética e álgebra na China antiga , Lay Yong Lam e Tian Se Ang, World Scientific Publishing, 2004. Trechos (relativos à base numeral maia): “começou como vigesimal após a unidade 1 a 19, mas depois passou para trezentos e sessenta e, eventualmente (no lugar quatro) para sete mil e duzentos) . "

Veja também

Bibliografia

Artigos relacionados