Euclides

Euclides (após decapagem a XVI th século). Data chave

Aniversário	desconhecido
Ativo para	300 AC J.-C.
Áreas	Matemática
Reconhecido por	seus elementos

Euclides (em grego antigo : Εὐκλείδης ), às vezes chamado de Euclides de Alexandria , é um matemático da Grécia antiga , autor de um tratado de matemática , que é um dos textos fundadores dessa disciplina no Ocidente. Nenhuma informação confiável veio à luz sobre a vida ou morte de Euclides; é possível que ele tenha vivido por volta de 300 aC .

Sua obra mais famosa, os Elementos , é um dos mais antigos tratados conhecidos apresentando de forma sistemática, a partir de axiomas e postulados , um grande conjunto de teoremas acompanhados de suas provas . Trata da geometria , tanto plana quanto sólida , e da aritmética teórica. A obra teve centenas de edições em todas as línguas e seus temas continuam a ser a base da educação matemática no nível médio em muitos países.

O nome de Euclid derivou em particular do algoritmo euclidiano , da geometria euclidiana , da geometria não euclidiana e da divisão euclidiana .

Biografia

Não existe uma fonte direta sobre a vida de Euclides: não temos carta, nenhuma indicação autobiográfica (mesmo na forma de um prefácio de uma obra), nenhum documento oficial, e mesmo nenhuma alusão de qualquer de seus contemporâneos. Como resume o historiador da matemática Peter Schreiber, "sobre a vida de Euclides, não se sabe um único fato certo".

Escrevendo o mais antigo conhecido sobre aparece vida de Euclides em um resumo sobre a história da geometria escrito para V ª século dC pelo filósofo neoplatônico Proclus , comentarista do primeiro livro do Elements . Proclus não fornece nenhuma fonte para suas indicações. Ele apenas diz que “ao reunir seus Elementos , [Euclides] coordenou muitos deles [...] e evocou em demonstrações irrefutáveis aquelas que seus predecessores haviam mostrado de maneira frouxa. Este homem também viveu sob o primeiro Ptolomeu, porque Arquimedes [...] menciona Euclides. Euclides é, portanto, mais recente que os discípulos de Platão , mas mais antigo que Arquimedes e Eratóstenes ” . Assumindo a linha do tempo dada por Proclo, Euclides, Platão e Arquimedes que viveram entre contemporâneos de Ptolomeu I er , portanto viveram por volta de 300 AC. J.-C.

Nenhum documento chega a contradizer essas poucas frases, nem realmente as confirma. A menção direta de Euclides nas obras de Arquimedes vem de uma passagem considerada duvidosa. Arquimedes é bem apelar para alguns resultados Elements e ostrakon , encontrado na Ilha Elefantina e datado III ª século aC, discute números estudados no décimo terceiro livro da Elements , como decagon eo icosaedro , mas sem reproduzir as declarações euclidianas exatamente; eles poderiam, portanto, vir de fontes anteriores a Euclides. A data aproximada de 300 AC. AD é, no entanto, considerada compatível com a análise de conteúdo da obra euclidiana e é aquela adotada por historiadores da matemática.

Além disso, uma pitada de matemático IV th século AD, Pappus de Alexandria , sugere que as pupilas de Euclides têm ensinado em Alexandria . Alguns autores, com base nisso, associaram Euclides ao Mouseion de Alexandria , mas, novamente, ele não aparece em nenhum documento oficial correspondente. O qualificador frequentemente associado a Euclides na Antiguidade é simplesmente stoichéiôtês (em grego antigo : στοιχειωτής ), ou seja, "autor de Elementos".

Diversas anedotas circulam sobre Euclides, mas como aparecem também para outros matemáticos, não são consideradas realistas: é assim a famosa, relatada por Proclus, segundo a qual Euclides teria respondido a Ptolomeu - que queria uma maneira mais fácil do que os Elementos - que não havia estrada real na geometria; uma variante da mesma anedota é de fato atribuída a Menecmo e Alexandre, o Grande . Da mesma forma, desde a Antiguidade Tardia , vários detalhes foram adicionados aos relatos da vida de Euclides, sem novas fontes, e muitas vezes de maneiras contraditórias. Alguns autores dão assim à luz Euclides em Tiro , outros em Gela , são-lhe atribuídas várias genealogias , mestres particulares, diferentes datas de nascimento e morte, seja para respeitar as regras do género, seja para favorecer certas interpretações. Na Idade Média e no início da Renascença , o matemático Euclides foi muitas vezes confundido com um filósofo contemporâneo de Platão, Euclides de Megara .

Diante dessas contradições e da falta de fontes confiáveis, o historiador da matemática Jean Itard chegou a sugerir em 1961 que Euclides como indivíduo talvez não existisse e que o nome poderia designar "o título coletivo de" uma escola matemática ", seja o de um verdadeiro mestre rodeado de alunos, ou mesmo um nome puramente fictício. Mas essa hipótese não parece ser aceita.

Obras de Euclides

As citações de obras atribuídas a Euclides incluídos em vários autores, especialmente em matemática Colecção de Pappus (geralmente datada III E ou IV th século) e no Comentário aos elementos de Euclides devido a Próclus . Apenas uma parte dessas obras euclidianas sobreviveu.

Os elementos

The Elements of Mathematics, em treze livros, é a obra mais famosa de Euclides e um best-seller na publicação científica. Muitas versões do texto existem em forma de manuscrito, completas ou não, em bibliotecas ao redor do mundo. Até o início do XIX ° século , todas as versões conhecidas estavam se referindo ao de Theon de Alexandria , um escritor do IV º século (o mais antigo manuscrito completo, disse Codex Bodleianus , que data do IX th século ). Em 1808, François Peyrard identificou um manuscrito grego do X th século (descoberto na Biblioteca do Vaticano durante as campanhas de Napoleão na Itália ) como se referindo a uma versão anterior do que Theon. O primeiro texto impresso dos Elementos , em latim , é de Campanus de Novara , a partir de versões árabes do texto , e foi publicado em Veneza em 1482 pelo impressor Erhard Ratdolt . A edição crítica moderna, que ainda é a referência hoje e incorpora conhecimento extraído de vários manuscritos gregos (incluindo aquele identificado por Peyrard), é de Johan Ludvig Heiberg . Seja na versão parcial (os primeiros seis livros apenas por exemplo) ou na versão completa, as adaptações, as edições comentadas, as traduções dos Elementos foram muito numerosas até os dias de hoje.

Um dos aspectos mais famosos da obra é sua forma dedutiva e sua organização sistemática e progressiva. O autor primeiro apresenta definições, como a de uma linha ("um comprimento sem largura") no Livro I, ou de um número primo ("um número medido por uma única unidade") no Livro VII; noções comuns (por exemplo, "se coisas iguais são tiradas de coisas iguais, o resto é igual"); de suposições , como a possibilidade de construir uma linha reta passando por dois pontos dados. Ele então demonstra novas propriedades ou realiza novas construções, a partir do que já é conhecido ( definições , ou proposições já estabelecidas). Todas as construções, portanto, dependem daquelas de linhas ou círculos , uma restrição mais tarde conhecida como construções de régua e compasso .

Os primeiros seis livros são dedicados à geometria plana . O primeiro trata em particular de triângulos e linhas paralelas e inclui uma prova do teorema de Pitágoras ; a segunda trata da construção de figuras planas de uma dada forma, quadrados , por exemplo, e de área igual a de uma dada figura retilínea; a terceira trata das propriedades do círculo ; o quarto estudos da inscrição de números dentro de um círculo, ou de círculos em figuras rectilíneas, por exemplo, a construção de regulares pentágonos inscritos em ou circunscritos a uma dada círculo; o quinto trata da teoria das relações e proporções entre as quantidades, uma teoria que é aplicada à geometria no sexto livro.

Os três livros a seguir, também chamados de "livros de aritmética", lidam com números primos , a construção do maior divisor inteiro comum a dois ou mais inteiros , números em progressão geométrica e fornecem um critério para a construção de números perfeitos (c 'ou seja, números inteiros igual à soma de seus divisores próprios ). Existe um processo por subtração sucessiva e repetida, que agora é a base da divisão euclidiana e do algoritmo de Euclides .

O Livro X define e classifica quantidades irracionais; os três últimos livros, finalmente, tratam da geometria no espaço , culminando com a construção, em uma esfera , dos cinco sólidos regulares, pirâmide , cubo , octaedro , dodecaedro , icosaedro .

Os dois livros adicionais, sobre poliedros regulares, freqüentemente chamados de “livros XIV e XV ” dos Elementos em edições anteriores, foram escritos por outros autores, vários séculos depois.

A geometria conforme definida por Euclides no texto foi considerada durante séculos como a geometria e como uma representação adequada do mundo físico. Agora, entre os postulados do livro I, aparece aquele conhecido sob o nome de " postulado de Euclides " ou "postulado de paralelos", que se expressa hoje na forma: "por um ponto tirado de um direito passa um e apenas um paralelo a esta linha ”. O estudo deste postulado levou ao XIX ° século para o desenvolvimento de geometrias não-euclidianas , ou seja alternativas para Euclides, não admitindo que a premissa, e, geralmente, para renovar o conceito de geometria e seus vínculos com a representação do real mundo.

os dados

O dados é o único outro livro de Euclides da geometria endereçamento onde se tem uma versão em grego (por exemplo, ele está contido no manuscrito da X ª século descoberto Peyrard). Também é descrito em detalhes no Livro VII da Coleção Matemática de Pappus , o “Tesouro da Análise”.

Os Dados situam-se no quadro da geometria plana e são considerados pelos historiadores como um complemento aos Elementos , colocados de uma forma mais adequada para a análise de problemas. A obra contém doze definições, explicando o que significa que um objeto geométrico é dado, em posição, em forma, em tamanho e 94 teoremas. Isso explica como, se certos elementos de uma figura são dados, outras relações ou elementos podem, por sua vez, ser determinados. Por exemplo (dados 29), "se uma linha reta é dada na posição, e se, de um determinado ponto sobre ela é desenhada uma linha fazendo um determinado ângulo em relação ao primeiro, esta linha desenhada é dada", ou (dados 39) "se todos os lados de um triângulo são dados em magnitude, o triângulo é dado em forma".

Da divisão de figuras

Esta obra é descrita no Comentário a Proclo, mas está perdida em grego; é conhecido por peças em Latim ( De divisionibus ), mas na maior parte por árabe manuscrito descoberto em XIX th século , que contém 36 propostas, quatro dos quais são demonstradas.

Neste trabalho, o objetivo é construir linhas que dividam determinadas figuras em determinadas proporções e formas. Por exemplo, pedimos, um triângulo e um ponto dentro do triângulo sendo dado, para construir uma linha passando pelo ponto e cortando o triângulo em duas figuras com a mesma área; ou ainda, sendo dado um círculo, para construir duas linhas paralelas, de modo que a porção do círculo que eles limitam seja um terço da superfície do círculo.

The Pseudaria

The Fallacious Arguments (Pseudaria) é uma obra perdida, conhecida apenas pela descrição dada por Proclus . Segundo este último, o objetivo do trabalho era treinar iniciantes para detectar raciocínios falsos, em particular aqueles que mimetizam o raciocínio dedutivo e, portanto, têm aparência de verdade. Ele deu exemplos de paralogismos .

As cônicas

A cônica [Elementos em seções] , Conikai Stoicheia , é uma obra, perdida, descrita por Pappus e referida por outros autores. De acordo com Pappus, consistia em quatro livros e serviu como uma obra de referência sobre o assunto até que Apolônio o concluísse e o estendesse.

os porismos

Os porismos , em três livros, estão perdidos. A obra é mencionada em duas passagens de Proclus e, sobretudo, é objeto de uma longa apresentação no Livro VII da Coleção de Pappus , o “Tesouro da Análise”, como um exemplo significativo e de longo alcance da abordagem analítica. A palavra "porismo" tem vários usos: de acordo com Pappus, aqui ela designa uma afirmação de tipo intermediário entre teoremas e problemas. A obra de Euclides deveria conter 171 declarações desse tipo e trinta e oito lemas. Pappus dá exemplos disso, como "se, a partir de dois pontos dados, traçarmos linhas que se cruzam em uma determinada linha, e se um deles corta um segmento em uma determinada linha, o outro vai igualar em outra linha reta, com um relação fixa entre os dois segmentos de corte ” .

Interpretar o sentido exacto do que um porism é, e possivelmente restaurar a totalidade ou parte das declarações de trabalho de Euclides, a partir da informação deixada por Pappus , ocupou muitos matemáticos: as mais conhecidas tentativas são os de Pierre Fermat na XVII th século , de Robert Simson ao XVIII th século e, especialmente, Michel Chasles a XIX th século. Se a reconstrução de Chasles não é levada a sério como tal pelos historiadores atuais, ela deu ao matemático a oportunidade de desenvolver a noção de relação anarmônica .

Os locais informados à superfície

É também uma obra perdida, em dois livros, mencionados no Tesouro da análise de Pappus. As indicações dadas em Proclus ou Pappus sobre esses lugares de Euclides são ambíguas e o que exatamente se trata na obra não se sabe. Na tradição da matemática grega antiga, os lugares são conjuntos de pontos que verificam uma determinada propriedade. Esses conjuntos geralmente são linhas retas ou seções cônicas, mas também podem ser superfícies pautadas, por exemplo. A maioria dos historiadores acredita que os lugares de Euclides poderiam lidar com superfícies de revolução, esferas, cones ou cilindros.

Os fenômenos

Este livro centra-se na aplicação da geometria da esfera astronomia sobreviveu em grego, em várias versões manuscritas de que as datas mais antigas do X th século . Este texto se relaciona com o que é chamado de "pequena astronomia", em contraste com os temas tratados na Grande Composição de Ptolomeu (o Almagesto ) . Contém 18 propostas e está próximo de trabalhos mantidos sobre o mesmo tema de Autolycos de Pitane .

Ótico

Esta obra está preservada em grego, em várias versões. Dedicado a problemas que agora chamaríamos de perspectiva e aparentemente destinado ao uso em astronomia , assume a forma dos Elementos : é uma série de cinquenta e oito proposições cuja prova se baseia em definições e postulados declarados no início do texto. Essas definições seguem a visão de Platão de que a visão vem de raios (em linha reta) que vão do nosso olho ao objeto visto. Euclides mostra que os tamanhos aparentes de objetos iguais não são proporcionais à sua distância de nossos olhos (Proposição 8). Também explica, por exemplo, a nossa visão de uma esfera (e outras superfícies simples): o olho vê uma superfície menor que a metade da esfera, uma proporção tanto menor quanto mais próxima a esfera está, mesmo que a superfície da vista pareça maior, e o contorno do que é visto é um círculo. Também detalha, de acordo com as posições do olho e do objeto, em que forma um círculo nos aparece. O tratado, em particular, contradiz uma opinião sustentada por algumas escolas de pensamento de que o tamanho real dos objetos (especialmente os corpos celestes) é o seu tamanho aparente, aquilo que é visto. Por seus estudos de perspectiva, o livro de Euclides é considerado uma das obras mais importantes relativas à óptica até Newton . Artistas da Renascença - Filippo Brunelleschi , Leon Battista Alberti e Albrecht Dürer - inspiram-se nele para desenvolver seus próprios tratados sobre perspectiva.

Música

Proclus atribui a Euclides Elementos da música (assim como a astronomia, a música teórica, por exemplo na forma de teoria aplicada das proporções, está incluída entre as ciências matemáticas). Dois pequenos escritos foram preservados em grego e incluídos nas primeiras edições de Euclides, mas sua atribuição é incerta, assim como suas possíveis ligações com seus Elementos. Os dois escritos (uma seção do cânone sobre intervalos musicais e uma Introductio harmônica ) são, além disso, considerados contraditórios e o segundo, pelo menos, é agora considerado pelos especialistas como proveniente de outro autor.

Obras falsamente atribuídas a Euclides

Une Catoptrique , ou seja, uma obra sobre espelhos, é mencionada no texto de Euclides sobre óptica e no comentário de Proclus. Ele agora é considerado perdido e, em particular, o Catóptrico publicado há muito tempo após a Óptica em edições anteriores, não é mais atribuído a Euclides, é considerado uma compilação posterior.
Euclides é citado como autor de fragmentos relativos à mecânica, mais precisamente de textos sobre a alavanca e a balança, em certos manuscritos em latim ou em árabe. A atribuição agora é considerada questionável.

Edições

Existem traduções francesas de alguns dos livros de Euclides já na Renascença. Pierre Forcadel publica por exemplo no século XVI E uma tradução dos primeiros seis livros, então dos chamados livros de aritmética (VII a IX), dos Elementos . Uma versão francesa dos quinze livros dos Elementos geométricos de Euclides foi publicada em 1609 por Didier Dounot ; entre as outras edições amplamente distribuídas está, por exemplo, a de Denis Henrion .
A primeira edição moderna das obras de Euclides em grego é a de David Gregory , em Oxford em 1703 , com uma tradução para o latim.
François Peyrard deu uma edição em três volumes e três línguas (grego, latim e francês) do Elements e de dados (ou seja, de todos os textos de Euclides da matemática pura conhecidos em grego) em Paris em 1814 - 1818 . Esta edição é a primeira tentativa de reconstrução científica das obras de Euclides, com base no "manuscrito 190" descoberto por Peyrard. Será o único disponível na França até a obra de Bernard Vitrac nos anos 1990.
A edição de referência de Euclides em vestígios gregos que de Heiberg e Menge (de) a partir do final do XIX ° século: JL Heiberg (eds) e H. Menge (eds), Euclidis Opera omnia , Leipzig, Teubner, 1883–1916, oito volumes. Inclui uma tradução latina ao lado do texto grego e contém todos os escritos conhecidos (incluindo aqueles de atribuição questionável), bem como vários comentários de autores antigos.
A tradução de referência francesa para os Elementos (da edição Heiberg) é: Euclide, Les Elements , Bibliothèque d'histoire des sciences, Paris, Presses Universitaires de France, 1990-2001: voar. I , Livros I - IV , Geometria plana ; trad. do texto de Heiberg e comentários de Bernard Vitrac; introdução geral de Maurice Caveing, 1990, 531 p. ( ISBN 2-13-043240-9 ) . voar. II , Livros V a IX [Livros V - VI , Proporções e semelhanças; Livros VII - IX , Aritmética ; trad. do texto de Heiberg e comentários de Bernard Vitrac, 1994, 572 p. ( ISBN 2-13-045568-9 ) . voar. III , Livro X , Tamanhos comensuráveis e incomensuráveis, classificação de linhas irracionais ; trad. do texto de Heiberg e comentários de Bernard Vitrac, 1998, 432 p. ( ISBN 2-13-049586-9 ) . voar. IV , Livro XI - XIII , Geometria de sólidos ; trad. do texto de Heiberg e comentários de Bernard Vitrac, 2001, 482 p. ( ISBN 2-13-051927-X ) .

Notas e referências

Notas

Outros tipos de construções aparecem na Antiguidade, mas não figura na de Euclides Elements , como a construção de " neusis " ou por inclinação, um processo de construção usando uma régua graduada e que consiste na construção de um segmento de determinado comprimento cujas extremidades se encontram em dois dada curvas.
Declaração considerada correta até que o estudioso persa Alhazen (965-1040), em seu Kitab al-Manazir (livro de ótica), afirma o contrário.

Referências

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Veja também

Bibliografia

Obras gerais

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Sobre Euclides

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Sobre Dados

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