Cubo

Cubo


Modelo	Sólido platônico
Rostos	6 quadrados
Arestas	12
Vértices	8
Faces / vértice	3
Característica	2

Símbolo Schläfli	{4.3}
Símbolo Wythoff	3
Diagrama de Coxeter-Dynkin
Dual	Octaedro regular
Grupo de simetria	O h
Volume	a³
Área	6a²
Ângulo diédrico	90 °
Propriedades	zonoedro convexo

Na geometria euclidiana , um cubo é um prisma direito cujas faces são quadradas e, portanto, iguais e sobreponíveis. O cubo é um dos sólidos mais notáveis do espaço . É o único dos cinco sólidos de Platão , tendo exatamente 6 faces, 12 arestas e 8 vértices. Seu outro nome é " hexaedro regular".

Como tem quatro vértices por face e três faces por vértice, seu símbolo Schläfli é {4.3}.

A etimologia da palavra cubo é grega ; cubo vem de kubos , os dados .

O termo cubo , aplicado a um número , designa o valor obtido pela multiplicação desse número por ele mesmo e pela multiplicação do resultado pelo número inicial. Essa expressão surgiu durante o período em que a álgebra geométrica era onipresente, o quadrado de um número era visto como a área de um quadrado ao lado do número inicial e o cubo de um número como o volume de um cubo ao lado do número original. A expressão " a 3 " pode ser lida como "um cubo" e "um cubo".

O esqueleto 1 do cubo - o conjunto de seus vértices conectados por suas bordas - forma um gráfico chamado de gráfico hexaédrico .

Geometria

O cubo é um dos cinco sólidos de Platão . Um cubo pertence à família dos prismas direitos . Possui 8 vértices e 12 arestas . Para vértices, podemos tomar por exemplo os pontos de coordenadas . Além disso : ${\ mathbb R} ^ {3}$ ${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1)}$

Duas arestas com uma extremidade comum são ortogonais.
As faces opostas são paralelas . Faces adjacentes são perpendiculares
Todos os ângulos diédricos são retos .
As diagonais se cruzam em um único ponto, o centro de simetria do cubo, o isobarycenter dos oito vértices.

Mas, por definição, suas arestas são todas do mesmo comprimento, digamos a . Suas faces são, portanto, quadrados de área a 2 .

A área do cubo é, portanto, 6 para 2 ;
seu volume é igual a 3 ;
o comprimento de uma diagonal é igual a um √ 3 ;
a esfera circunscrito é, por conseguinte, para o raio é √ 3 /2;
a esfera tangente às arestas tem um raio a / √ 2 ;
a esfera inscrita tem por raio a / 2;
o ângulo entre a diagonal e cada uma das bordas adjacentes é ${\ displaystyle \ arccos \ left ({\ frac {1} {\ sqrt {3}}} \ right) \ simeq 54 {,} 74 ^ {\ circ}.}$
o ângulo entre a diagonal e cada um dos planos adjacentes é $\ arctan \ left ({\ frac 1 {{\ sqrt 2}}} \ right) \ simeq 35 {,} 26 ^ {\ circ}.$

É a expressão de seu volume que levou ao uso da palavra cubo em álgebra .

Outras definições

Existem outras definições equivalentes do cubo:

cubos são os únicos poliedros cujas faces são todas quadradas;
o cubo é um antidiamundo de ordem 3 com vértices regulares e ângulos diédricos iguais.

Grupo de isometrias

O grupo de isometrias do cubo, denotado O h , e o subgrupo de suas isometrias positivas (suas rotações ), denotado O, também são chamados de grupos de simetria octaédrica , porque são iguais aos de seu poliedro dual , l ' octaedro regular .

O cubo é um dos poliedros que oferece mais simetrias:

3 eixos de rotação de ordem 4: eixos que passam pelo centro de duas faces opostas;
6 eixos de rotação de ordem 2: eixos que passam pelo meio de duas arestas opostas;
4 eixos de rotação de ordem 3: eixos que passam por dois vértices opostos;
a simetria central em relação ao centro do cubo;
9 planos de simetria : 3 planos mediando as arestas, 6 planos passando por duas arestas opostas.

Uma isometria do cubo fixa seu centro. É, portanto, inteiramente definido pela imagem de um vértice A e dois (B e C) de seus três vizinhos (já que esses três pontos formam, com o centro, um ponto de referência no espaço ). O vértice A pode ter por imagem qualquer um, A ', dos 8 vértices do cubo. Para o vértice B, existem então 3 imagens possíveis, entre os três vizinhos de A 'então, para a imagem de C, 2 imagens entre os dois vizinhos restantes. Isso prova que as isometrias que deixam o cubo globalmente invariante são 8 × 3 × 2 = 48, incluindo 24 rotações, apenas uma das duas imagens de C dando a mesma orientação de A'B'C 'em relação ao ABC. As 24 rotações são:

a aplicação de identidade, que é uma rotação (de ângulo zero e de qualquer eixo);
3 meias voltas de eixo passando pelo centro de duas faces opostas (3 eixos possíveis);
6 quartos de volta do eixo passando pelo centro de duas faces opostas (3 eixos possíveis e 2 ângulos possíveis);
6 meias voltas de eixo passando pelos pontos médios de duas arestas opostas (6 eixos possíveis);
8 terços do eixo passa por dois vértices opostos (4 eixos possíveis e 2 ângulos possíveis).

O grupo O dessas 24 rotações é isomórfico ao grupo simétrico S 4 . Na verdade, qualquer rotação permeia as quatro diagonais do cubo e, inversamente, qualquer permutação das quatro diagonais define uma única rotação.

As isometrias negativas do cubo são as anti- rotações compostas dessas rotações pela simetria central e comutam com ela. O grupo O h é, portanto, o produto interno direto do subgrupo O pelo subgrupo cíclico de ordem 2 gerado pela simetria central. É o maior dos 7 grupos ortogonais de redes tridimensionais .

As 24 isometrias negativas são respectivamente:

simetria central
3 simetrias em relação a um plano que passa pelo centro do cubo e é paralelo a uma face (3 planos possíveis);
6 composto pelas simetrias precedentes com um quarto de volta do eixo perpendicular ao plano de simetria (3 planos possíveis e 2 ângulos possíveis);
6 simetrias em relação a um plano que passa por duas arestas opostas (6 planos possíveis);
8 composta por um sexto de uma volta de eixo que passa por dois vértices opostos com simetria em relação ao plano que passa pelo centro do cubo e perpendicular a este eixo (4 eixos possíveis e 2 ângulos possíveis). O plano de simetria cruza as bordas do cubo, formando um hexágono regular.

Finalmente, os oito vértices do cubo podem ser divididos em dois tetraedros regulares , simétricos entre si por simetria central. Segue-se que, das 48 isometrias do cubo, 24 deixam cada um desses tetraedros invariantes e 24 trocam os dois tetraedros. As 24 isometrias do cubo deixando o tetraedro invariante formam o grupo de isometrias do tetraedro: 12 são rotações e 12 são isometrias indiretas. Essas 24 isometrias permutam os quatro vértices do tetraedro.

Padrões

Existem onze padrões de cubo; aqui estão quatro:

Cruz de desenvolvimento , os quadrados laterais podem ser colocados mais baixo ou mais alto
Ziguezague em desenvolvimento
Este desenvolvimento se encaixa em um retângulo de dois por cinco e minimiza o desperdício de espaço
O quadrado esquerdo pode ser colocado mais baixo ou mais alto

Seções

Um avião e um cubo podem ou não se encontrar. Se eles se encontrarem, sua interseção pode desenhar

um ponto
um segmento
um triangulo
um quadrilátero, pelo menos um trapézio, às vezes um retângulo ou mesmo um losango.
um pentágono. Este pentágono sempre tem dois pares de lados paralelos
um hexágono com três pares de lados paralelos

Como o cubo possui apenas seis lados, não é possível obter uma seção com mais de 6 lados.

Seção seguindo um triângulo
Seção seguindo um trapézio
Seção seguindo um losango
Seção seguindo um retângulo de área máxima
Seção seguindo um pentágono com dois pares de lados paralelos
Seção seguindo um hexágono com três pares de lados paralelos

A interseção de um plano e um cubo pode fornecer três tipos de polígonos regulares:

o triângulo equilátero, para planos perpendiculares a uma diagonal e cuja distância em uma das extremidades da diagonal seja menor que um terço do comprimento desta. Graças à seção do cubo ABCDEFGH pelo plano DBE (ver ilustração abaixo) que é um triângulo equilátero DBE com centro Ω, obtemos que a diagonal [AG] do cubo é dividida em duas partes [GΩ] e [ΩA] na proporção de 2: 1. Obtemos também que o cubo é composto por três sólidos de mesma altura: duas pirâmides ADBE e GCHF, e o sólido CHFDEB;
o quadrado, para planos paralelos a uma das faces. Mas também podemos obter um quadrado cortando o cubo por um plano paralelo a um plano diagonal e à distância dele; ${\ displaystyle a {\ frac {{\ sqrt {2}} - 1} {2}}}$
o hexágono regular, cortando o cubo pelo plano mediador de uma de suas diagonais.

Diagonal do cubo decomposta em duas partes na proporção 2: 1 por uma seção de triângulo equilátero
Seção do cubo de acordo com um quadrado. Os vértices superiores estão a uma distância de A igual a metade de AC
Seção hexagonal do cubo pelo plano mediador de [AG}

Não é possível obter um pentágono regular porque, tendo a seção 5 lados, o plano necessariamente cruza duas faces opostas do cubo, a figura portanto tem dois lados paralelos, o que não acontece no pentágono regular. Não é possível obter uma seção em forma de triângulo retângulo porque todos os ângulos do triângulo obtido por seção são agudos. Não é possível obter uma seção que seja um trapézio retângulo sem ser um retângulo.

A área máxima de uma seção do cubo com lado $a$ é . Esta área é obtida pela seção que segue um plano contendo duas arestas opostas do cubo. ${\ displaystyle a ^ {2} {\ sqrt {2}}}$

O cubo e o outro poliedro

O dual do cubo é o octaedro regular. Isso explica porque os dois sólidos têm o mesmo grupo de isometrias.

O cubo se encaixa em um dodecaedro regular : os vértices do cubo são vértices do dodecaedro e as bordas do cubo são formadas por segmentos que unem dois vértices não consecutivos em uma face pentagonal do dodecaedro. Existem, portanto, cinco maneiras de inscrever um cubo em um dodecaedro regular.

Também podemos inscrever o cubo em um dodecaedro rômbico . Os vértices do cubo correspondem aos vértices de ordem 3 do dodecaedro rômbico e as arestas do cubo correspondem às diagonais dos diamantes.

Fascinação do cubo

O cubo desempenhou um papel importante na geometria e cosmologia gregas. Platão o classifica como o quarto sólido, o primeiro construído usando triângulos isósceles retos :

“Agrupados por quatro com seus ângulos retos encontrando-se no centro, esses triângulos isósceles formam um quadrilátero. Seis desses quadrantes unidos deram origem a oito ângulos sólidos, cada um composto de três ângulos planos retos e a figura resultante é um cubo ( Timée , 54c - 55 d) ”

Como todo sólido platônico, o cubo está associado a um elemento. Por ser o elemento mais estável, está associado à Terra .

Em outra chave simbólica, ele simboliza o mundo material e todos os quatro elementos. Símbolo de estabilidade, geralmente é encontrado na base de tronos.

O cubo foi objeto de um problema que se revelou insolúvel: a duplicação do cubo com régua e compasso.

Na cosmologia de Kepler , o cubo está associado ao planeta Saturno .

Também encontramos o cubo no simbolismo da Maçonaria . O cubo simboliza o progresso que o companheiro deve fazer para passar da pedra bruta ao sólido perfeito.

Cube faz parte de uma sequência de três filmes canadenses. A Apple produziu o computador Cube , Nintendo o console GameCube . O Cubo de Rubik é um quebra - cabeça cuja reflexão é baseada em associações de cores. Compreender sua solução envolve um grupo de permutações .

Encontra-se um cubo truncado na tabela Melencolia de Albrecht Dürer . O Atomium de Bruxelas é um cubo. Com efeito, o cubo é uma das redes possíveis em cristalografia para prata , ouro , cobre , platina , diamante , sal , entre outras.

Notas e referências

Gerard Villemin, “ Secção du cubo ” (acedida 03 de outubro de 2019 ) .
IREM de Paris Nord, “ Section du cubes et de pyramide ” (acessado em 3 de outubro de 2019 ) .
Chuanming Zong , " O que se sabe sobre cubos de unidade ", Boletim da sociedade matemática amaricana , vol. 42, n o 226 de junho de 2005( leia online ), p. 5
Jean Chevalier e Alain Gheerbrant, Dicionário de símbolos , Laffont ,1982, p. 328.

Veja também

Link externo

Matthieu Aubry, " O caminho mais curto no cubo " , em matthieu.net