Uma simetria geométrica é uma transformação geométrica involutiva que preserva o paralelismo. Simetrias comuns incluem reflexão e simetria central .
A simetria geométrica é um caso especial de simetria . Existem vários tipos de simetrias no plano ou no espaço.
Nota : O termo simetria também tem outro significado em matemática. No grupo de simetria de expressão , uma simetria denota qualquer isometria . Este termo designa uma tradução ou um automorfismo ortogonal ou a combinação de ambos.
A simetria do centro O é a transformação que, em qualquer ponto M, associa o ponto M 'de tal forma que O é o ponto médio de [MM'].
Construção: desenhe a linha (d) passando por A e O. Prolongue-a além de O. Com uma bússola apontada para O e um espaçamento igual a OA, corte (d) em A '.
O único ponto invariante dessa simetria é o ponto O.
Uma simetria com centro O também é uma rotação com um ângulo plano e homotetia com centro O e razão -1
Centro de simetriaUma figura tem um centro de simetria C se for invariante pela simetria do centro C.
Exemplos de centro de simetria:
O composto de duas simetrias com centros O e O ', s O' os O é uma tradução vetorial
Esta propriedade permite definir um primeiro grupo de transformações do plano: o das simetrias-translações centrais. De fato, ao compor duas simetrias ou translações centrais, obtém-se uma simetria central ou uma translação. E, para obter o mapa idêntico, basta compor uma translação do vetor u pela translação do vetor - u , ou então compor uma simetria central por si só.
A simetria central preserva as distâncias e os ângulos orientados. É, portanto, uma isometria ou deslocamento positivo . O grupo definido anteriormente é, portanto, um subgrupo do grupo de deslocamento.
Também são chamadas de ( d ) reflexões de eixo . A reflexão do eixo ( d ) é a transformação do plano que deixa todos os pontos de ( d ) invariantes e que, em qualquer ponto M não localizado em ( d ), associa o ponto M 'tal que ( d ) é a perpendicular bissetriz de [MM ']. Como existem duas definições equivalentes da bissetriz perpendicular, conhecemos duas construções equivalentes do ponto M '.
ConstruçãoDados: o eixo de simetria ( d ), o ponto A .
Objetivo: construir A 'simétrica de A pela simetria ortogonal do eixo ( d ).
Uma figura tem um eixo de simetria ( d ) se e somente se for invariante pela reflexão do eixo ( d )
Exemplos de figuras comuns:
Uma figura com dois eixos perpendiculares de simetria tem como centro de simetria o ponto de intersecção das duas linhas. Por exemplo, as letras H, I, O, X em fontes simples (não cursivas e não itálicas) costumam ter dois eixos perpendiculares de simetria, assim também um centro de simetria, da mesma forma o retângulo, o losango e o quadrado.
Reflexão e grupo de isometriasA reflexão preserva distâncias e ângulos. Portanto, é uma isometria . Mas não mantém a orientação (ver quiralidade ). Dizem que é um anti-deslocamento.
O composto de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação, com uma distância igual ao dobro da distância entre esses eixos. Na imagem ao lado, as propriedades vetoriais da mídia nos permitem dizer que |
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O composto de duas reflexões de eixos secantes é uma rotação , com um ângulo igual a duas vezes o ângulo formado entre os dois eixos. Na imagem ao lado, as propriedades nas bissetoras nos permitem dizer que |
Notamos então que o conjunto de reflexões gera todo o conjunto de isometrias.
A simetria com relação a uma linha ( d ) seguindo uma direção (d ') (não paralela a ( d )) é a transformação que deixa todos os pontos de ( d ) invariantes e que, em qualquer ponto M não localizado em ( d) ) ) associar o ponto M 'de modo que a linha (MM') seja paralela a (d ') e o ponto médio de [MM'] esteja em ( d )
Essa simetria é involutiva: simétrica de M ' é M . Oferece menos interesse do que seus primos porque não guarda distâncias: distorce os números. No entanto, ele retém os baricentros e, portanto, faz parte das transformações afins.
Encontramos a mesma definição e as mesmas propriedades que para a simetria central no plano, exceto que uma simetria central não preserva a orientação no espaço.
O homem levanta a mão direita e sua imagem levanta a mão esquerda.
Encontramos a mesma definição do plano. Uma simetria ortogonal em relação a uma linha também é uma rotação do eixo ( d ) e do ângulo plano.
Ao contrário do que acontece no plano, essa simetria no espaço mantém a orientação.
O homem levanta a mão direita e sua imagem levanta a mão direita.
A simetria ortogonal em relação ao plano ( P ) é a transformação que deixa todos os pontos de ( P ) invariantes e que, em qualquer ponto M não localizado em ( P ), associa o ponto M ' tal que ( P ) é o mediador plano de [MM ']
Essa simetria preserva distâncias e ângulos, mas não preserva a orientação.
Por exemplo, quando você levanta a mão direita na frente do espelho, sua imagem levanta a mão esquerda.
Provamos que o conjunto de simetrias em relação aos planos gera por composição todo o conjunto de isometrias do espaço.
Pode-se também definir simetrias do eixo ( d ) de acordo com a direção ( P ) ou simetrias em relação a ( P ) de acordo com a direção ( d ), desde que qualquer subespaço igual ou paralelo a ( P ) não contenha inteiramente ( d ) nem está inteiramente contido em ( d ) e sua interseção se reduz a um único ponto (caso contrário, essas transformações não são simetrias, mas projeções ).
Mas essas transformações não são isometrias se ( d ) e ( P ) não forem ortogonais. Essas transformações (assim como as projeções), porém, mantêm os baricentros e são casos particulares de transformações afins do espaço.