Círculo

Na geometria euclidiana , um círculo é uma curva plana fechada composta de pontos localizados a uma distância igual de um ponto denominado centro . O valor desta distância é chamado de raio do círculo.

No plano euclidiano , é o “redondo” que é associado em francês ao termo círculo. Em um plano não euclidiano ou no caso de definir uma distância não euclidiana, a forma pode ser mais complexa. Em um espaço de qualquer dimensão, o conjunto de pontos colocados a uma distância constante de um centro é chamado de esfera .

Outras formas podem ser qualificadas como "redondas": superfícies e sólidos dos quais certas seções planas são círculos ( cilindros , cones , toro , anel , etc.).

Usos

O círculo é um objeto matemático abstrato, que pode ser usado para modelar muitos fenômenos. Um certo número de objetos manufaturados tem uma seção circular: cilindros (rolos, rodas, silos), esferas (balão, bolas, mármores), cones (rolos, funis). As propriedades dos círculos permitem, portanto, deduzir propriedades dos objetos, como o seu volume, que permite deduzir a massa do objeto (conhecendo a sua densidade ) ou a sua capacidade. Os objetos de seção circular são interessantes por vários motivos principais:

• esses objetos rolam , o que possibilita movimentos e deslocamentos que exigem pouco esforço ( rodas , rolamentos mecânicos );
• por definição, todos os pontos são equidistantes do centro; isso significa que leva o mesmo tempo e a mesma energia para chegar a cada ponto do centro, o que deu a noção de hemiciclo ( anfiteatro ) em que o som tem o mesmo volume para todos os que estão sentados no mesmo banco;
  isso também é importante em termos de organização territorial e logística  ; de fato, se o movimento é feito da mesma maneira em todas as direções (idealmente em terreno plano e horizontal, sem obstáculo, ou o vôo de um pássaro sem vento), então um círculo representa todos os pontos que podem ser alcançados em um determinado tempo de viagem ou um dado consumo de energia do centro, é o conceito de raio de ação , e o interesse do problema do círculo mínimo  ;
  ao soprar o vidro , o vidro se afasta do ponto de sopro com uma velocidade isotrópica , o que dá ao objeto uma forma naturalmente arredondada;
• o círculo é a curva plana que, para um determinado comprimento ( perímetro ), é a maior área ; Assim, se construirmos um silo ou uma garrafa cilíndrica, temos a maior capacidade para uma dada quantidade de material (para fazer a parede), se construirmos uma cerca circular, podemos acomodar mais pessoas para uma dada quantidade de madeira ou pedra ; na mesma linha, a defesa em círculo é uma estratégia militar que permite defender uma população ou um estoque com o mínimo de meios, diante de um ataque vindo de todos os lados, tática chamada justamente de cerco  ;
• esta forma não apresenta nenhuma rugosidade, portanto, nenhuma concentração de tensões  ; um objeto com esta forma tem melhor resistência mecânica;
• esta forma não possui uma parte plana, então um projétil tem pouca chance de acertá-lo "pela frente", ele transmite menos energia e, portanto, arrisca menos dano a ele; se o objeto cair, é mais provável que ele ricocheteie sem quebrar; um objeto arredondado também tem menos risco de se ferir em caso de impacto com uma pessoa (balão, capôs arredondados e para- choques de carros modernos);
• qualquer linha que passa pelo centro é um raio e, portanto, é perpendicular ao círculo; esta propriedade é usada na ótica e deu os contra-espelhos esféricos , é também por isso que as lentes têm superfícies esféricas (pode-se prever facilmente o caminho da luz nas dioptrias );
• um objeto de seção circular e parede fina pode ser feito enrolando fio ( mola helicoidal , bobina ) ou rolando uma folha ( ponteira , tubo ); um objeto de seção circular oca ou maciça também pode ser facilmente obtido por torneamento ( cerâmica , torneamento mecânico );
• se colocamos um objeto em um recipiente circular, impomos sua posição, mas não impomos sua orientação; se a orientação não importa, isso economiza tempo, pois você não precisa girar o objeto antes de colocá-lo na posição; este é o princípio da centralização (longa ou curta) para posicionamento (MiP).

Alguns objetos respondem a mais de um desses elementos. Por exemplo, o fato de um barril ser cilíndrico:

• permite fácil fabricação, especialmente enfadonha  ;
• dá resistência mecânica (resistência à pressão de explosão);
• facilita a introdução da munição (não é necessário girar em torno de seu eixo para introduzi-la);
• praticando uma hélice no cano, pode-se imprimir um movimento de rotação durante o disparo que estabiliza a trajetória.

Se um objeto tiver uma superfície curva, ele pode ser aproximado localmente por um círculo. Assim, se conhecemos as propriedades do círculo, conhecemos as propriedades locais do objeto. Isso é o que deu as noções de círculo osculante , raio de curvatura e harmônico esférico .

Se você tem objetos ou pessoas em um círculo, sabe que pode alcançá-los com o mesmo esforço do centro, mas também pode vê-los da mesma forma, o que pode facilitar a vigilância. Eles também podem ser designados usando um único parâmetro, a direção; este é, por exemplo, o interesse dos mostradores de agulha. Isso também dá as noções de coordenadas cilíndricas e esféricas .

Por sua definição, o círculo euclidiano é muito fácil de traçar: basta ter um objeto cujas duas extremidades tenham uma distância constante, uma corda esticada por exemplo ou um galho (mesmo torcido), ou mais comumente um compasso . Portanto, é fácil desenhar um círculo “perfeito”, o que o torna uma ferramenta de estudo privilegiada para geometria.

Para problemas e formas mais complexas, podemos usar a noção de elipse .

O círculo pode ser usado para representar simbolicamente objetos "mais ou menos redondos":

• de corpos celestes ( planetas , luas , estrelas ) e suas órbitas (que são realmente elípticas);
• o oval de um rosto ( a cabeça de Totó , os sorrisos );
• um orifício.

Do ponto de vista puramente simbólico, representa:

• uma certa forma de perfeição , em virtude de sua simetria e de sua ausência de aspereza, porque, segundo Ronsard , "nada é excelente no mundo se não for redondo"  ; desde a Grécia antiga, a esfericidade tem sido associada à perfeição e, portanto, à divindade; para Kepler , o círculo representa a Santíssima Trindade , "O Pai no centro, o Filho na superfície, o Espírito Santo em igual relação do centro para a borda." E embora o centro, a superfície e o intervalo sejam obviamente três, eles são um, a tal ponto que não se pode sequer conceber que falte um sem que o todo seja destruído ”  ;
• um movimento contínuo e infinito, a noção de ciclo  ; é uma das representações do recomeço ( ouroboros ), da continuidade, da eternidade e do tempo cíclico (ver a roda do tempo do Kalachakra Tantra ), com a variante da espiral  ;
• igualdade entre as pessoas, como a Távola Redonda do Rei Arthur .

Definições

Por muito tempo, a linguagem cotidiana usou a palavra "círculo" tanto para nomear a curva ( circunferência ) quanto para a superfície que ela delimita. Hoje em dia, na matemática , o círculo designa exclusivamente a linha curva, sendo a superfície, por sua vez, chamada de disco .

A razão entre a circunferência do círculo e seu diâmetro define o número pi .

Outros termos merecem ser definidos:

• um acorde é um segmento de linha cujas extremidades estão no círculo;
• um arco é uma porção de um círculo delimitado por dois pontos;
• uma seta é o segmento que conecta os pontos médios de um arco de um círculo e uma corda definida por dois mesmos pontos do círculo;
• um raio é um segmento de linha que une o centro a um ponto no círculo;
• um diâmetro é uma corda que passa pelo centro; é um segmento de linha que delimita o disco em duas partes iguais. O diâmetro é composto por dois raios colineares  ; seu comprimento é 2 r  ;
• um disco é uma região do plano delimitada por um círculo;
• um setor circular é uma parte do disco entre dois raios;
• um segmento circular é uma porção de um disco composta por uma corda e o arco de um círculo que ele subtende;
• um ângulo central é um ângulo formado por dois raios do círculo;
• a circunferência é o perímetro do círculo e é igual a 2π r .

Equações

Equações cartesianas e paramétricas

Em um plano fornecido com um sistema de coordenadas ortonormal , a equação cartesiana do círculo com centro C ( a , b ) e raio r é:

(x-no)2+(y-b)2=r2{\ displaystyle (xa) ^ {2} + (yb) ^ {2} = r ^ {2} \,}, seja para o círculo unitário ou círculo trigonométrico (o círculo cujo centro é a origem do referencial e cujo raio é 1 ): x2+y2=1{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Esta equação é na verdade uma aplicação do teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo formado pela ponta do círculo e sua projeção nos dois raios paralelos aos eixos.

Ao destacar y , obtemos a dupla equação cartesiana do círculo (na verdade, uma equação para cada semicírculo delimitado pelo diâmetro horizontal):

y=b±r2-(x-no)2{\ displaystyle y = b \ pm {\ sqrt {r ^ {2} - (xa) ^ {2}}} \,}.

Possíveis equações paramétricas do círculo (em função do parâmetro θ que aqui expressa um ângulo orientado do vetor que une o centro do círculo a um desses pontos em relação ao vetor horizontal unitário do sistema de coordenadas) são dadas por:

x=no+rcos⁡θ;y=b+rpecado⁡θ{\ displaystyle x = a + r \ cos \ theta; \ qquad y = b + r \ sin \ theta}

ou seja, para um círculo centrado na origem (0; 0)  :

x=rcos⁡θ;y=rpecado⁡θ{\ displaystyle x = r \ cos \ theta; \ qquad y = r \ sin \ theta}

e para o círculo unitário:

x=cos⁡θ;y=pecado⁡θ{\ displaystyle x = \ cos \ theta; \ qquad y = \ sin \ theta}.

Graças ao teorema do ângulo inscrito em um semicírculo e seu recíproco , também podemos determinar uma equação para o círculo C de diâmetro [ AB ]  :

M∈VS⇔MNO→⊥MB→⇔MNO→⋅MB→=0⇔(x-xNOy-yNO)⋅(x-xBy-yB)=0⇔(x-xNO)(x-xB)+(y-yNO)(y-yB)=0⇔x2+y2-(xNO+xB)x-(yNO+yB)y+xNOxB+yNOyB=0{\ displaystyle {\ begin {align} M \ in C & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ perp {\ overrightarrow {MB}} \\ & \ Leftrightarrow {\ overrightarrow {MA}} \ cdot {\ overrightarrow { MB}} = 0 \\ & \ Leftrightarrow {\ binom {x-x_ {A}} {y-y_ {A}}} \ cdot {\ binom {x-x_ {B}} {y-y_ {B} }} = 0 \\ & \ Leftrightarrow \ left (x-x_ {A} \ right) \ left (x-x_ {B} \ right) + \ left (y-y_ {A} \ right) \ left (y - y_ {B} \ right) = 0 \\ & \ Leftrightarrow x ^ {2} + y ^ {2} - \ left (x_ {A} + x_ {B} \ right) x- \ left (y_ {A } + y_ {B} \ direita) y + x_ {A} x_ {B} + y_ {A} y_ {B} = 0. \ end {alinhado}}}

Pontos de intersecção com uma linha

A geometria analítica para determinar a interseção de um círculo e uma linha reta . Sem perda de generalidade , a origem do sistema de coordenadas é o centro do círculo e o eixo da abscissa é paralelo à linha. É então uma questão de resolver um sistema da forma:

x2+y2=r2ety=y0{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} \ quad {\ rm {e}} \ quad y = y_ {0}},

portanto, procurar as soluções x de

x2=r2-y02{\ displaystyle x ^ {2} = r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}.

Três casos surgem, dependendo se a distância entre o centro do círculo e a linha é maior que o raio, igual ou menor:

• se , a interseção está vazia;|y0|>r{\ displaystyle | y_ {0} |> r}
• se , a linha é tangente ao círculo no ponto  ;|y0|=r{\ displaystyle | y_ {0} | = r}(0,y0){\ displaystyle (0, y_ {0})}
• Se existem dois pontos de intersecção: .|y0|<r{\ displaystyle | y_ {0} | <r}(+r2-y02,y0) e (-r2-y02,y0){\ displaystyle (+ {\ sqrt {r ^ {2} -y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0}) {\ text {and}} (- {\ sqrt {r ^ {2} - y_ {0} ^ {2}}}, y_ {0})}

O círculo visto como uma seção

O círculo é uma elipse cujos focos coincidem com o centro do círculo; o comprimento do eixo maior é igual ao comprimento do eixo menor. É uma seção cônica cuja excentricidade e é igual a 0. Pode ser obtida pela intersecção de um plano com um cone de revolução quando o plano é perpendicular ao eixo de revolução do cone (às vezes falamos de "seção direita" do cone).

No desenho industrial , um círculo é mais frequentemente representado com seu eixo horizontal e seu eixo vertical (em linhas de centro: linha fina composta por traços longos e curtos), ou simplesmente com seu centro materializado por uma cruz reta "+" em linhas finas. Uma forma de revolução, sólida ou oca ( cilindro , cone , esfera ) e vista ao longo do eixo de revolução, é representada por um círculo.

Propriedades geométricas

Medidas

O comprimento de um arco de raio r subtendido por um ângulo no centro α , expresso em radianos , é igual a αr . Assim, para um ângulo de 2π (uma volta completa), o comprimento do círculo é 2π r .

A área do disco delimitada por um círculo de raio r é π r 2  ; se pegarmos uma corda de determinado comprimento l e usá-la para delimitar uma superfície fechada, a superfície com a maior área é delimitada por um círculo.

Segundo a lenda da fundação de Cartago , o soberano havia permitido que os fenícios fundassem uma cidade cuja periferia seria delimitada por uma pele de vaca  ; Dido fez uma grande tira e escolheu uma forma circular para ter a maior superfície.

Corda e flecha de um arco

O comprimento de uma corda subtendida por um ângulo α é igual a 2 r sin ( α / 2) .

Podemos expressar o raio r de um círculo, a corda ce a flecha f de qualquer um de seus arcos, de acordo com dois deles, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado por r - f , c / 2 e r que é a hipotenusa:

vs=2(2r-f)f;r=4f2+vs28f;f=r-r2-vs24{\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {(2r-f) f}}; \ qquad r = {\ frac {4f ^ {2} + c ^ {2}} {8f}}; \ qquad f = r- {\ sqrt {r ^ {2} - {\ tfrac {c ^ {2}} {4}}}}}.

A sinuosidade de dois arcos opostos semelhantes de um círculo unidos no mesmo plano continuamente diferenciável é independente do raio do círculo.

Tangente

A tangente em um ponto do círculo é perpendicular ao raio nesse ponto.

Esta propriedade tem aplicações em óptica geométrica  : um raio de luz que passa pelo centro de um espelho esférico sai novamente na direção oposta na mesma direção (temos um reflexo perpendicular ao espelho). Se colocarmos uma lâmpada no centro de um espelho esférico, a luz é devolvida ao outro lado, o que permite, por exemplo, "dobrar" a luz em direção a um espelho parabólico (princípio do contra-espelho).

Considere um círculo com centro O e um ponto A fora deste círculo. Procuramos uma tangente a este círculo que passa por A  ; o ponto de tangência é chamado T .

Nós usamos o fato de que triângulo AOT é um T- retângulo . Este triângulo retângulo está, portanto, inscrito em um círculo cujo centro é o ponto médio de [ AO ] , ou ainda, o que é equivalente, que a hipotenusa tem o comprimento duplo da mediana resultante do ângulo reto.

Portanto, determinamos o ponto médio I de [ AO ] e , em seguida, desenhamos um arco de círculo com centro I e raio IO . Este arco circular cruza o círculo nos pontos de tangência.

Mediador

A bissetriz perpendicular de uma corda passa pelo centro do círculo. Isso permite encontrar o centro de um círculo: basta desenhar duas cordas não paralelas e encontrar a intersecção de suas bissetoras perpendiculares.

Também podemos mostrar que as três bissetoras perpendiculares de um triângulo são concorrentes e que o ponto de intersecção é o centro do círculo que passa pelos três vértices, denominado círculo circunscrito ao triângulo.

Círculo e triângulo retângulo

Tomemos em um círculo três pontos A , B e C , dois dos quais - A e C - são diametralmente opostos (isto é, [ AC ] é um diâmetro). Em seguida, o triângulo ABC é retângulo B .

Isso decorre do fato de que a mediana resultante do ângulo reto vale a metade da hipotenusa (temos um raio e um diâmetro); esta é uma propriedade do triângulo chamada teorema do ângulo de semicírculo ou teorema de Thales (na Alemanha e em alguns países de língua inglesa).

Inversamente, sejam A e C dois pontos diametralmente opostos de um círculo. Ou B um ponto no plano como ABC é rectângulo B . Então B pertence ao círculo.

Ângulo inscrito, ângulo central

Tomemos dois pontos distintos A e B do círculo. O é o centro do círculo e C é outro ponto do círculo. Então nós temos

NOOB^=2×NOVSB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}} = 2 \ times {\ widehat {ACB}}}

Para o ângulo centro , devemos considerar o setor angular que intercepta o arco oposto ao arco contendo C . NOOB^{\ displaystyle {\ widehat {AOB}}}

Esta propriedade é usada em dispositivos de análise espectral de dispersão de comprimento de onda , é o conceito de círculo de foco ou círculo de Rowland .

Potência de um ponto em relação a um círculo

Se M é um ponto e Γ é um círculo com centro O e raio R , então, para qualquer linha que passa por M e encontra o círculo em A e B , temos

MNO×MB=|OM2-R2|{\ displaystyle MA \ times MB = | OM ^ {2} -R ^ {2} |}.

Este valor não depende da linha escolhida, mas apenas da posição de M em relação ao círculo.

Podemos notar que

• se M está fora do círculo, MNO×MB=OM2-R2{\ displaystyle MA \ times MB = OM ^ {2} -R ^ {2}} ;
• se M está dentro do círculo, OM2-R2=-MNO×MB{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2} = - MA \ vezes MB} ;este produto corresponde ao produto das medidas algébricas MA e MB .

A potência do ponto M em relação ao círculo Γ é então chamada de produto das medidas algébricas MA e MB . Este produto é independente da linha escolhida e é sempre válido . OM2-R2{\ displaystyle OM ^ {2} -R ^ {2}}

Quando o ponto M está fora do círculo, é possível fazer tangentes ao círculo. Ao chamar T de ponto de contato de uma dessas tangentes, de acordo com o teorema de Pitágoras no triângulo OMT , a potência de M é MT 2 .

Igualdade:

MNO×MB=MT2{\ displaystyle MA \ times MB = MT ^ {2}}

é suficiente dizer que a linha ( MT ) é tangente ao círculo.

A potência de um ponto permite verificar que quatro pontos são cocíclicos: na verdade, se

• A , B , C , D são quatro pontos tais que ( AB ) e ( CD ) se cruzam em M e
• MA × MB = MC × MD (em medidas algébricas),

então, os quatro pontos são cíclicos.

Relatório de círculos registrados

Esta seção pode conter trabalhos não publicados ou declarações não verificadas  (30/08/2015) . Você pode ajudar adicionando referências ou removendo conteúdo não publicado.

• Raio e área dos 2 círculos maiores inscritos no círculo com raio R e área S  : R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R2;2S′=S2{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {2}} \ ,; \ qquad 2 \, S' = {\ frac {S} {2}}}
• Raio e área dos 3 maiores círculos inscritos: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+43;3S′=9S7+23{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {\ frac {4} {3}}}}} \ ,; \ qquad 3 \, S' = {\ frac {9 \, S } {7 + 2 {\ sqrt {3}}}}}
• Raio e área dos 4 maiores círculos inscritos: R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '}R′=R1+2=(2-1)R;4S′=4S3+8{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2}}}} = ({\ sqrt {2}} - 1) \, R \ ,; \ qquad 4 \, S' = {\ frac {4 \, S} {3 + {\ sqrt {8}}}}}
• Raio dos 5 maiores círculos inscritos: R′{\ displaystyle R '}R′=R1+2+45{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {1 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {\ frac {4} {5}}}}}}}}}
• Raio e área dos 7 (ou 6) maiores círculos inscritos (1 círculo no centro cercado por 6): R′{\ displaystyle R '}S′{\ displaystyle S '} R′=R3;7S′=7S9{\ displaystyle R '= {\ frac {R} {3}} \ ,; \ qquad 7 \, S' = {\ frac {7 \, S} {9}}}.

Inscrição de círculos, do mesmo raio, em um círculo, um triângulo equilátero, um quadrado

Notas e referências

1. Veja a definição da rodada de adjetivos no site do CNRTL .
2. Pierre de Ronsard , Resposta aos insultos e calúnias de Não sei quais pregadores e ministros de Genebra ,1563.
3. "  avanços gregas: O círculo e a esfera  " , em galerias virtuais da Biblioteca Nacional da França .
4. Johannes Kepler , The Cosmographic Mystery ,1596.
5. Na enciclopédia de Diderot e d'Alembert, por exemplo, o círculo é "o espaço encerrado pela circunferência" ( s: L'Encyclopédie / 1re edition / CERCLE ) e o dicionário Robert, edição 1993, dá, como terceiro significado de a palavra círculo: "por extensão atual: superfície plana limitada por um círculo" .
6. Jean Dieudonné , álgebra linear e geometria elementar , Paris, Hermann ,1964, por exemplo, 2p.96
7. Encontre essas figuras de inscrição de círculos no empilhamento de páginas na planta .

Veja também

• Círculo generalizado  (em)
• Livro III dos Elementos de Euclides
• Disco - Esfera - Bola

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