Na geometria vector , uma base ortonormal ou ortonormal base ( BON ) de um euclidiana ou Hermitiana espaço é uma base de este espaço vectorial composta por vectores de norma 1 e ortogonais dois a dois. Em tal base, as coordenadas de qualquer vetor no espaço são iguais aos respectivos produtos escalares desse vetor por cada um dos vetores de base, e o produto escalar de quaisquer dois vetores tem uma expressão canônica como uma função de suas coordenadas.
Em um espaço préhilbertiano E (ou seja, um espaço vetorial real ou complexo fornecido com um produto escalar ), uma família ( v i ) i ∈ I de vetores é considerada ortogonal se esses vetores forem ortogonais em pares:
Tal família é considerada ortonormal se, além disso, todos esses vetores forem unitários :
Em resumo, uma família ( v i ) i ∈ I é ortonormal se ∀ i , j ∈ I ⟨ v i , v j ⟩ = δ i , j .
Qualquer família ortogonal formada a partir de vetores diferentes de zero é gratuita .
Uma família ortonormal é, portanto, gratuita. É chamada de base ortonormal de E se for mais geradora de E , ou seja, se for um E básico .
Se o espaço prehilbert E é euclidiana ou Hermitian , ou seja, se é de dimensão finita , uma família orthonormal é uma base, se e somente se ele contém n vetores, onde n é a dimensão de E .
No restante do artigo, E n denota um espaço euclidiano de dimensão n .
Seja A n um espaço euclidiano afim associado ao espaço vetorial euclidiano E n e O seja qualquer ponto de A n , então um sistema de coordenadas afim
é considerada ortonormal se sua base associada for ortonormal.
Na geometria do espaço , a base geralmente é notada em vez de .
Se a base for direta , então é o produto vetorial de e de (isto é, ).
A partir de qualquer base de um espaço euclidiano, o método de Gram-Schmidt fornece um método construtivo para obter uma base ortonormal desse espaço. Em particular, podemos dizer:
Em qualquer espaço euclidiano de dimensão não zero, existem bases ortonormais.
Ao aplicar este resultado ao ortogonal do espaço gerado por uma família ortonormal de p vetores de E n , estabelecemos o teorema da base ortonormal incompleta:
Qualquer família ortonormal de vetores de um espaço euclidiano pode ser completada em uma base ortonormal desse espaço.
A existência de bases ortonormais permite estabelecer que a infinidade de estruturas euclidianas com as quais um espaço vetorial pode ser fornecido - com diferentes noções de ortogonalidade - são todas isomórficas entre si.
Let Ser uma base ortonormal de E n .
A decomposição de um vetor de E n nesta base é dada por:
.
A expressão do produto escalar de dois vetores de E n é então dada por:
.
A expressão do quadrado da norma de um vetor de E n é, portanto:
.
Essas três propriedades são de fato equivalentes entre si e equivalentes ao fato de que a família é uma base ortonormal de E n .
O caráter 1- Lipschitziano de um projetor ortogonal permite deduzir dele a desigualdade de Bessel , que inclui uma generalização para uma família ortonormal infinita.
Se for uma base ortonormal e qualquer família de E n , então
é uma base ortonormal se e somente se a matriz da família na base for ortogonal.Os endomorfismos que transformam uma base ortonormal em uma base ortonormal são, portanto, automorfismos ortogonais .