Produto de ponto canônico

Um produto escalar canônico é um produto escalar que ocorre naturalmente a partir da forma como o espaço vetorial é apresentado. Também falamos de um produto escalar natural ou usual .

Dentro $\ mathbb {R} ^ {n}$

Chamamos o produto escalar canônico da aplicação que, com os vetores e de , associa a quantidade: $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle y = (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n})}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

{\ displaystyle (x \ mid y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} y_ {i}}

Dentro ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

Em , consideramos o produto escalar hermitiano canônico dado pela fórmula: ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

{\ displaystyle (x \ mid y) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ bar {x_ {i}}} y_ {i}}

Em espaços funcionais

Em alguns espaços de função (funções contínuas em um segmento ou funções quadradas somadas , por exemplo), o produto escalar canônico é dado pela fórmula:

{\ displaystyle (f \ mid g) = \ int {\ bar {f}} g}

Dentro $\ mathcal {M} _n (\ mathbb {R})$

No espaço de matrizes quadradas de dimensão com coeficientes reais, o produto escalar usual é: $não$

${\ displaystyle (M \ mid N) = \ textstyle {Tr} ({} ^ {t} MN)}$

onde denota o traço. ${\ displaystyle Tr}$

Produto de ponto canônico

Dentro Rnão{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

Dentro VSnão{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

Em espaços funcionais

Dentro Mnão(R){\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}

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Dentro $\ mathcal {M} _n (\ mathbb {R})$